函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

關(guān)于函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用1第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一、求極限有些未定式的極限可以將極限過程中的主要、例求解∴將sinx展開為x=0的冪級數(shù).這種方法的優(yōu)點(diǎn)是:次要成份表示得非常清楚.可以用冪級數(shù)方法求出.函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用2第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月由此例可看出:這里,sinx與其等價無窮小x相差高階無窮小這個高階無窮小不能與分子的第一項(xiàng)x抵消,它在極限中是起作用的.但如果將sinx用x代換,則相當(dāng)于將這個起作用的高階無窮小也略去了,這顯然是錯誤的.函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用在求極限時,為什么加、減項(xiàng)的無窮小不能用其等價無窮小代換.3第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用二、函數(shù)值的近似計算用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,常用方法1.若余項(xiàng)是交錯級數(shù),則可用余和的首項(xiàng)來解決;2.若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項(xiàng),使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和.可以在展開式有效的區(qū)間內(nèi)計算函數(shù)的近似值,而且可達(dá)到預(yù)先指定的精度要求.4第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月例解函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用余和:5第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用用級數(shù)作近似計算時,這樣估計誤差,常將其余和放大為幾何級數(shù).因此計算量要小一些.在一般情況下,泰勒公式比用拉格朗日估計誤差的精度更好,6第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月例解其誤差不超過函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用7第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用三、積分的近似計算有些初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)故其定積分就不能用牛頓--萊布尼茨但如果這些函數(shù)在積分區(qū)間上能表示,公式計算.能展開成冪級數(shù),性質(zhì)來計算這些定積分.則可利用冪級數(shù)逐項(xiàng)積分8第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月例解收斂的交錯級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.由于x=0是的可去間斷點(diǎn),故定義這樣被積函數(shù)在[0,1]上連續(xù).展開得9第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月第四項(xiàng)取前三項(xiàng)作為積分的近似值,得例函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用10第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用四、歐拉(Euler)公式為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).若則稱級數(shù)收斂,且其和為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂的概念若收斂,則絕對收斂,稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)絕對收斂.Euler(1707–1783)是瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家11第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用三個基本展開式12第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系.函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用歐拉(Euler)公式13第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉公式的證明求極限(求未定式的極限)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用五、小結(jié)積分的近似計算函數(shù)值的近似計算14第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的冪級數(shù)展開式的