2023年高考數(shù)學一輪復習習題：第一章第1節(jié) 集合

第1節(jié)集合考綱要求1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算.知識梳理1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.2.集合間的基本關系(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).診斷自測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.()(4)對于任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)錯誤.空集只有一個子集.(2)錯誤.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是拋物線y＝x2＋1上的點集.(3)錯誤.當x＝1時，不滿足集合中元素的互異性.2.若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，則()A.a∈P B.{a}∈PC.{a}?P D.a?P答案D解析因為a＝2eq\r(2)不是自然數(shù)，而集合P是不大于eq\r(2021)的自然數(shù)構成的集合，所以a?P，只有D正確.3.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為________.答案2解析集合A表示以(0，0)為圓心，1為半徑的單位圓上的點的集合，集合B表示直線y＝x上的點的集合，圓x2＋y2＝1與直線y＝x相交于兩點，則A∩B中有兩個元素.4.(2020·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，則A∩B＝()A.? B.{－3，－2，2，3}C.{－2，0，2} D.{－2，2}答案D解析集合A＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，只有－2和2符合題意，所以A∩B＝{－2，2}.5.(2020·新高考山東卷)設集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∪B＝()A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}答案C解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.6.(2021·西安五校聯(lián)考)設全集U＝R，A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，則(?UA)∩B＝()A.{x|x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2} D.{x|x>2}答案D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴?UA＝{x|x<0或x>2}，故(?UA)∩B＝{x|x>2}.考點一集合的基本概念1.(2020·東北師大附中模擬)已知集合A＝{x∈Z|－2<x≤1}，B?A，則集合B中的元素個數(shù)最多是()A.1 B.2C.3 D.4答案C解析A＝{x∈Z|－2<x≤1}＝{－1，0，1}，由B?A，當B＝A＝{－1，0，1}時，B中元素最多，有3個.2.(2021·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，則a＝()A.±3，5 B.3，5C.－3 D.5答案C解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.當a＝3時，則1－a＝a－5＝－2，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當a＝5時，則A∩B＝{9，0}，與題設條件A∩B＝{9}矛盾，舍去.當a＝－3時，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，滿足A∩B＝{9}，故a＝－3.3.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，則集合A中的元素個數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為4，故選C.4.設集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，則實數(shù)a的取值范圍為________.答案(1，2]解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.感悟升華1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.考點二集合間的基本關系【例1】(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B?A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為()A.{－1} B.{1}C.{－1，1} D.{－1，0，1}(2)(2020·南陽一模)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________.答案(1)D(2)(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))解析(1)當B＝?時，a＝0，此時，B?A.當B≠?時，則a≠0，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,a))).又B?A，∴－eq\f(1,a)∈A，∴a＝±1.綜上可知，實數(shù)a所有取值的集合為{－1，0，1}.(2)A＝{x|－1≤x≤6}.∵B?A，∴B＝?或B≠?.當B＝?時，m－1>2m＋1，即m<－2.符合題意.當B≠?時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).得m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).感悟升華1.若B?A，應分B＝?和B≠?兩種情況討論.2.已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.【訓練1】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，則()A.M＝N B.M?NC.M∩N＝? D.N?M(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－∞，3]答案(1)D(2)B解析(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M.(2)由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因為A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以實數(shù)a的取值范圍為[1，3].考點三集合的運算角度1集合的基本運算【例2】(1)(2020·天津卷)設全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，則A∩(?UB)＝()A.{－3，3} B.{0，2}C.{－1，1} D.{－3，－2，－1，1，3}(2)(2021·西安測試)設全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么圖中陰影部分表示的集合為()A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}答案(1)C(2)B解析(1)?UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(?UB)＝{－1，1}.故選C.(2)圖中陰影表示的集合為(?UM)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(?UM)∩N＝{x|1≤x<2}.角度2利用集合的運算求參數(shù)【例3】(1)(2021·日照檢測)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三個元素，則實數(shù)m的取值范圍是()A.[3，6) B.[1，2)C.[2，4) D.(2，4](2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]C.[－2，1] D.[2，＋∞)答案(1)C(2)C解析(1)因為x2－4x－5<0，解得－1<x<5，則集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(m,2)})).又因為A∩B中有三個元素，所以1≤eq\f(m,2)<2，解之得2≤m<4.故實數(shù)m的取值范圍是[2，4).(2)集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，則B?A.又B≠?，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.感悟升華1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.2.數(shù)形結合思想的應用：(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；(2)連續(xù)型數(shù)集的運算，常借助數(shù)軸求解，運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.【訓練2】(1)設全集為R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝()A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}(2)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x<a}，若A∩B只有一個元素，則a＝()A.0 B.1C.2 D.1或2答案(1)B(2)C解析(1)因為B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(?RB)＝{x|0<x<1}.(2)易知A＝[0，1]，且A∩B只有一個元素，∴a－1＝1，解得a＝2.以集合為背景的創(chuàng)新問題集合的新定義問題，體現(xiàn)了高考命題從能力立意到素養(yǎng)提升的一種命題導向，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等.解答這類問題，關鍵是理解新定義的本質，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中，運用相關的數(shù)學公式、定理、性質進行解答.【例1】對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，則A*B＝________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}.∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}.【例2】若一個集合是另一個集合的子集，稱兩個集合構成“全食”；若兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，則稱兩個集合構成“偏食”.對于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若兩個集合構成“全食”或“偏食”，則a的值為________.答案0或1或4解析因為B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，則B＝?，滿足B為A的真子集，此時A與B構成“全食”，若a>0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A與B構成“全食”或“偏食”，則eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.綜上a的值為0或1或4.【例3】定義：設有限集合A＝{x|x＝ai，i≤n，n∈N*}，S＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，則S叫做集合A的模，記作|A|.若集合P＝{x|x＝2n－1，n≤5，n∈N*}，集合P含有四個元素的全體子集為P1，P2，…，Pk，k∈N*，則|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝________.答案100解析集合P＝{1，3，5，7，9}，依題意，集合P含有四個元素的全體子集為{1，3，5，7}，{1，3，5，9}，{1，3，7，9}，{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，根據(jù)“?！钡亩x，|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝(1＋3＋5＋7)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＝4×(1＋3＋5＋7＋9)＝100.A級基礎鞏固一、選擇題1.(2019·全國Ⅰ卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩(?UA)＝()A.{1，6} B.{1，7}C.{6，7} D.{1，6，7}答案C解析由題意知?UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(?UA)＝{6，7}.2.(2021·鄭州模擬)設集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2?A，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(2，5) B.[2，5)C.(2，5] D.[2，5]答案C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2?A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3.(2020·浙江卷)已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，則P∩Q＝()A.{x|1＜x≤2} B.{x|2＜x＜3}C.{x|3≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}答案B解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜x＜4，,2＜x＜3，))可得2＜x＜3，即P∩Q＝{x|2＜x＜3}.故選B.4.已知集合A＝{x|x2＋2ax＋2a≤0}，若A中只有一個元素，則實數(shù)a的值為()A.0 B.0或－2C.0或2 D.2答案C解析∵A中只有一個元素，∴只有一個實數(shù)滿足x2＋2ax＋2a≤0，因此Δ＝4a2－4×2a＝0，∴a＝0或a＝2.5.設集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))，則下列說法正確的是()A.MN B.NMC.M＝N D.M∪N＝R答案C解析集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.6.(2021·豫晉名校聯(lián)考)設全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，若P?Q，則滿足條件的集合P的個數(shù)是()A.3 B.4C.7 D.8答案D解析集合Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(5,2)，x∈N))))＝{0，1，2}，∴滿足P?Q的集合P的個數(shù)為23＝8.7.(2019·全國Ⅱ卷改編)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，則A∩(?UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)答案A解析由題意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知?UB＝{x|x<1}，∴A∩(?UB)＝{x|x<1}.8.(2020·成都診斷)設集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，則a的最大值為()A.－2B.2C.3D.4答案C解析因為A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因為B＝{a}，且A∪B＝A，所以B?A，所以a的最大值為3.二、填空題9.(2020·北京卷改編)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，則A∩B＝________.答案{1，2}解析∵A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{1，2}.10.(2021·湖南雅禮中學檢測)設集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，則(?RA)∩B＝________.答案(1，3)解析因為A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以?RA＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(?RA)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實數(shù)c的取值范圍是________.答案[1，＋∞)解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1.12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，則A∩(?UB)＝________.答案{x|x<－1或x≥2}解析由題意得集合A＝{x|x2－x－