數(shù)學(xué)物理方法知識點歸納

標(biāo)準(zhǔn)實用文案大全復(fù)述和復(fù)變函數(shù)1.5連續(xù)若函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)（包括本身）已經(jīng)單值確定，并且，則稱f(z)在點連續(xù)。1.6導(dǎo)數(shù)若函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)存在，則稱函數(shù)在該點可導(dǎo)。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)數(shù)存在的條件(i)、、、在點不僅存在而且連續(xù)。(ii)C-R條件在該點成立。C-R條件為1.7解析若函數(shù)不僅在一點是可導(dǎo)的，而且在該點的領(lǐng)域內(nèi)點點是可導(dǎo)的，則稱該點是解析的。解析的必要條件：函數(shù)f(z)=u+iv在點z的領(lǐng)域內(nèi)(i)、、、存在。(ii)C-R條件在該點成立。解析的充分條件：函數(shù)f(z)=u+iv在領(lǐng)域內(nèi)(i)、、、不僅存在而且連續(xù)。(ii)C-R條件在該點成立。1.8解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系拉普拉斯方程的解都是調(diào)和函數(shù)：+=0①由此可見解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。但是任意的兩個調(diào)和函數(shù)作為虛實兩部形成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)，因為它們不一定滿足C—R條件。②當(dāng)知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)時，如何求v(x,y)?通過C—R條件列微分方程復(fù)變函數(shù)的積分2.2解析函數(shù)的積分柯西定理：若函數(shù)f(z)在單連區(qū)域D內(nèi)是解析的，則對于所有在這個區(qū)域內(nèi)而且在兩個公共端點A與B的那些曲線來講，積分的值均相等?？挛鞫ɡ硗普摚喝艉瘮?shù)f(z)在單連區(qū)域D內(nèi)解析，則它沿D內(nèi)任一圍線的積分都等于零。二連區(qū)域的柯西定理：若f(z)在二連區(qū)域D解析，邊界連續(xù)，則f(z)沿外境界線(逆時針方向)的積分等于f(z)沿內(nèi)境界線(逆時針方向)的積分。n+1連區(qū)域柯西定理：推論：在f(z)的解析區(qū)域中，圍線連續(xù)變形時，積分值不變。2.3柯西公式若f(z)在單連有界區(qū)域D內(nèi)解析，在閉區(qū)域D的邊界連續(xù)，則對于區(qū)域D的任何一個內(nèi)點a，有其中是境界線。2.5柯西導(dǎo)數(shù)公式級數(shù)3.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)外爾斯特拉斯定理：如果級數(shù)在境界上一致收斂，那么(i)這個級數(shù)在區(qū)域內(nèi)部也收斂，其值為F(z)(ii)由它們的m階導(dǎo)數(shù)組成的級數(shù)在區(qū)域內(nèi)也收斂，而且它們的和等于F(m)(z)。3.3冪級數(shù)阿貝爾(Abel)定理：如果冪級數(shù)在點z0處收斂，則在任一圓|z-a|<=p|z0-a|，0<p<1內(nèi)，冪級數(shù)一致收斂，并且絕對收斂。達(dá)朗貝爾(D’Alembert)判別法:對于冪級數(shù)，計算下列極限(i)當(dāng)極限值小于1時，冪級數(shù)在點z處絕對收斂(ii)當(dāng)極限值大于1時，冪級數(shù)在點z處發(fā)散(iii)當(dāng)極限值等于1時，斂散性不能判斷?？挛髋袆e法：計算極限當(dāng)極限值小于1時，冪級數(shù)在點z處絕對收斂;而當(dāng)極限值大于1時，冪級數(shù)在點z處發(fā)散；極限值等于1時，不能判斷3.4解析函數(shù)與冪級數(shù)定理：冪級數(shù)的和是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。Taylor級數(shù)：3.5解析函數(shù)與雙邊冪級數(shù)定理：雙邊冪級數(shù)的和是環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)可展成雙邊冪級數(shù)稱為Laurant系數(shù)3.8孤立奇點非孤立奇點：若函數(shù)f(z)在z=a點的無論多么小的領(lǐng)域內(nèi)，總有除z=a以外的奇點，則z=a是f(z)的非孤立奇點。孤立奇點：若函數(shù)在z=a不可導(dǎo)(或無定義)，而在去心領(lǐng)域0<|z-a|<ε解析，則z=a是f(z)的一個孤立奇點。3.9奇點分類有限遠(yuǎn)奇點極限性質(zhì)洛朗級數(shù)可去奇點limf(z)=有限值不含負(fù)冪項極點limf(z)=∞含有限個負(fù)冪項本性奇點limf(z)=無定值含無限個負(fù)冪項無窮遠(yuǎn)點極限性質(zhì)洛朗級數(shù)可去奇點limf(z)=有限值不含正冪項極點limf(z)=∞含有限個正冪項本性奇點limf(z)=無定值含無限個正冪項留數(shù)4.1柯西公式的另一種形式一階極點留數(shù)：若g(z)在單連區(qū)域D內(nèi)解析，a在D內(nèi)，在D內(nèi)作一環(huán)繞點a的圍線C。令f(z)=g(z)/(z-a)則有：一階極點留數(shù)的一種算法:如果那么m階極點的留數(shù)公式4.2用級數(shù)分析來分析留數(shù)定理則有Res多連區(qū)域的柯西定理:如果在圍線C的內(nèi)部包含n個孤立奇點，利用多連區(qū)域的柯西定理就有4.3無限遠(yuǎn)點的留數(shù)定理1：如果當(dāng)z→∞時，若zf(z)→0,則Resf(∞)=0定理2：4.4留數(shù)定理計算型積分第一種類型：型積分令｛在單位圓內(nèi)各個奇點的留數(shù)之和｝第二種類型：型積分注意，需要滿足條件｛在上半平面的奇點留數(shù)之和｝（界限上的乘以0.5）第三種類型：型積分注意需要符合條件｛f(z)eimz在上半平面的奇點留數(shù)之和｝4.7圍線積分方法泊松積分：菲涅爾積分：第六章積分變換6.1傅里葉級數(shù)三角函數(shù)系的正交性2π周期-展開定理：任意周期2l-展開定理：6.2傅立葉積分C(k)是偶函數(shù)，D(k)是奇函數(shù)傅里葉公式令則6.3傅立葉變換線性定理導(dǎo)數(shù)定理積分定理延遲定理相似定理卷積定理6.4拉普拉斯變幻注意當(dāng)t<0時，=0=L[]=L-1[]←→線性性質(zhì)：導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)：積分的象函數(shù)象函數(shù)的位移定理：由此可得（用來求逆變換）延遲函數(shù)的象函數(shù)卷積定理象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分公式：第八章數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出弦的橫振動方程u=弦的橫向位移a2=FT/ρFT=張力ρ=單位長度弦的質(zhì)量弦的縱振動方程u=弦的縱向位移a2=E/ρE=楊氏模量ρ=單位長度弦的質(zhì)量擴(kuò)散方程u=離子濃度，a2=DD=擴(kuò)散系數(shù)熱傳導(dǎo)方程u=溫度，a2=k/ρck=導(dǎo)熱系數(shù)，ρ=質(zhì)量密度c=比熱容波動方程u=E或B的任一分量=真空電容率=真空導(dǎo)磁系數(shù)E電場強(qiáng)度B磁場強(qiáng)度拉普拉斯方程穩(wěn)恒狀態(tài)擴(kuò)散方程u=粒子濃度穩(wěn)恒狀態(tài)傳導(dǎo)方程u=溫度靜電場方程u=靜電勢線性算符與解的疊加初始條件擴(kuò)散方程熱傳導(dǎo)方程波動方程邊界條件第九章本征函數(shù)法弦振動方程的第一類邊值問題定解問題分離變量解本證方程本征值本征函數(shù)解非本征方程的通解為定解問題的解由初始條件和傅里葉級數(shù)確定系數(shù)熱傳導(dǎo)方程第二類邊值問題定解問題分離變量解本證方程本征值本征函數(shù)解非本征方程的通解為定解問題的解由初始條件和傅里葉級數(shù)確定系數(shù)本征值和本征函數(shù)系齊次邊界條件本征值本征函數(shù)系第一類邊界條件齊次化的一般方法非齊次邊界條件齊次化方法非齊次方程按本征函數(shù)系展開的解法定解問題本征函數(shù)非齊次項按本征函數(shù)展開定解問題試解Tn(t)的確定第十章勒讓德多項式微分方程的冪級數(shù)解法二階齊次線性常微分方程將試解代入方程，求系數(shù)的遞推公式，從而求出方程的解連帶勒讓德方程勒讓德方程勒讓德方程的通解系數(shù)遞推關(guān)系勒讓德多項式對y0(x)或y1(x)乘以適當(dāng)常數(shù)，使得xl的最高項系數(shù)為時的多項式稱為勒讓德多項式，此時相應(yīng)的Cl-2n為勒讓德級數(shù)表達(dá)式導(dǎo)數(shù)表達(dá)式圍線積分表達(dá)式定積分表達(dá)式性質(zhì)勒讓德方程的本征方程劉維爾方程勒讓德方程權(quán)函數(shù)：w(x)=1本征函數(shù)：Pl(x)正交性：模：廣義傅立葉級數(shù)展開母函數(shù)遞推公式(n+1)-(2n+1)x+n=0=-2x+=x+(n+1)x-=n-=(2n+1)具有軸對稱性質(zhì)的拉普拉斯方程非本征函數(shù)本征函數(shù)本征函數(shù)1,m=0第十一