2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分專題訓(xùn)練 專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列（教師版含解析）

專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列十年大數(shù)據(jù)全景展示年份題號(hào)文17理5考點(diǎn)考查內(nèi)容等差數(shù)列與等比數(shù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，2011列綜合問(wèn)題邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)等比數(shù)列問(wèn)題2012文14文17理3等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列n項(xiàng)和公式卷2等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)，方程思想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及方程思想等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式2013卷2卷1文6卷2文5等比中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式n2014卷2理17文5等比數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題卷2等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想卷2卷2文5等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等差通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式數(shù)列前nS與a關(guān)系、等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式理16nn2015卷2理4等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想等比數(shù)列問(wèn)題卷1文13等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式卷1卷2文7等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想文17等差數(shù)列通項(xiàng)公式及對(duì)新概念的理解與應(yīng)用，運(yùn)算求解能力卷1文17理3n等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)2016卷1等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及二次函數(shù)最值問(wèn)題，卷1理15列綜合問(wèn)題函數(shù)與方程思想等比數(shù)列問(wèn)題卷3理14等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想2017卷3卷2理9等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列概念，方程思想文17等差數(shù)列與等比數(shù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前nn列的綜合問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題公式，方程思想卷2卷1卷1理3文17理4等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式及傳統(tǒng)文化等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列定義，方程思想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)，方程思想卷317等比數(shù)列問(wèn)題卷217等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想與運(yùn)算求解能力等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及前n等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式，運(yùn)算求解能力2018卷1卷1文17理4等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想卷3卷3卷2文14理5等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想文18等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式，方程思想等差數(shù)列與等比數(shù)2019卷2理19文14文18列的綜合問(wèn)題等比數(shù)問(wèn)題卷1卷1等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n想等差數(shù)列問(wèn)題卷1卷1理14理9理等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想卷1文10理4理6文6等比數(shù)列問(wèn)題等差數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列問(wèn)題等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列基本量的計(jì)算，方程思想等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想，數(shù)學(xué)文化等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想2020卷2等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想大數(shù)據(jù)分析預(yù)測(cè)高考出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)考點(diǎn)58等差數(shù)列問(wèn)題15/37202159等比數(shù)列問(wèn)題考點(diǎn)60等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題9/3713/37前n項(xiàng)和公式，題型為選擇填空題或解答題的第1小題，難度為基礎(chǔ)題或中檔題．十年試題分類探求規(guī)律考點(diǎn)58等差數(shù)列問(wèn)題(2020全國(guó)Ⅱ理(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多99塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多面形石板不含天心石)A．塊()B．塊C．塊D．塊【答案】C【思路導(dǎo)引】第n環(huán)天石心塊數(shù)為a，第一層共有n環(huán)，則a}9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，nnSa}SSSS729S，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到．3n設(shè)為n項(xiàng)和，由題意可得nn3n2n2nn【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為a，第一層共有n環(huán)，則a}9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，nnan9(n9nSa}為n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為nnS,SS,SSSSSS729，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以n2nn3n2n3n2n2nnn(927n)2n(918n)2n(918n)n(99n)729，解得n9，所以9n2222227(9927)SS3402，故選．3n2721d(2020浙江7)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和annSd0,1bS,bSS,nN，n12n1n22n下列等式不可能成立的是()2aaabbbB．2282bb28C．4D．4A．426426【答案】B【解析】A．由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2aaa，成立；426．bSSa，bSSa，bSSaaa9，456623236789若bbbaaa2aa，aa4266399639即ddd0，這與已知矛盾，故B不成立；aaadada7d，整理為：adC成立；2．a(chǎn)42281111D．bSSaaaa，當(dāng)2842bb時(shí)，即6aa，整理為328925a2dad，即2a2125ad45d120，方程有解，故D成立．綜上0，a5d111可知，等式不可能成立的是B，故選B．．(2019記S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和．已知S0，a5()nn451A．n2n5【答案】A．nn10．Snn2nD．Sn2n2n2416d01d513d2【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的公差為dS0，a5，，n45a2n5，Sn2n，故選A．nn．(2018記S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和．若SSS，a2a()nn32415A．12．10．10D．12【答案】B3243【解析】S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和，SSSa23ad)aad4ad，nn3241111122把a(bǔ)2，代入得d3，a24(10，B．15(2017記S為等差數(shù)列a}naa24，S48a}的公差為()nn456nA．1．2．4D．8【答案】Cada4d11【解析】由題知，，解得12，d4，故選C．6561d26．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，理9)等差數(shù)列a}的首項(xiàng)為1，公差不為0．若a，a，a成等比數(shù)列，則a}前6n236n項(xiàng)的和為(A．24)．3．3D．8【答案】A【解析】等差數(shù)列a}的首項(xiàng)為，公差不為0．a(chǎn)，a，a成等比數(shù)列，a2aa，n236326(1d)2(adad)，且1，d0，解得d2，an}前6項(xiàng)的和為1116565S6ad61(2)24A．6122．(2016已知等差數(shù)列a}前9項(xiàng)的和為27，a8a()n10100A．100．99．98D．97【答案】C9(aa)92a【解析】由題知，S91959a=27，∴a3，又a8=a5d35d，d1，5510522aa95d98，故選C1005(20157)已知a}是公差為1的等差數(shù)列，S為a}nS4Sa()nnn8422(A)(B)(C)(D)12【答案】B1112【解析】∵公差d1，S4S，∴8a874(4a4，解得a=，∴84111221192aa9d9，故選．12．(2015新課標(biāo)Ⅱ，文5)設(shè)S是等差數(shù)列a}項(xiàng)和，若naaa3S，則(5)nn135A．5B．7．9D．【答案】A5aa【解析】aaaa3a1，S51535A．135332(20145)等差數(shù)列a}n的公差是2成等比數(shù)a}nnSn()a,a,a248n(nn(nA．n(n【答案】A．n(n．D．22a,a,aa2428(16)2(a2)(a14)aSnn2n=2，248111A．(2017浙江)已知等差數(shù)列a的公差為dn項(xiàng)和為S，則“d0”是nn“SS2S”的()465A．充分不必要條件C．充分必要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C(SS)(SS)aadd0SS2SSS2Sd0655465465465d0”是“SS2S”充分必要條件，選．465212．(2015重慶)在等差數(shù)列a中，若a426()nA．－1．0C1D．6【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得aaa2240Ba2．6424．(2015浙江)已知a}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sa,a,a成等比數(shù)列，則()nn348．a(chǎn)d0．a(chǎn)d01414．a(chǎn)d0D．a(chǎn)d01414【答案】B5a,a,a成等比數(shù)列可得：(1+d)2=(a+2d)×(a+7d)a+5d=0a=-d，34811113(a+a)′421d<0dS4=14d=2(2a+d)d=-d12<0．23．(2014遼寧)設(shè)等差數(shù)列an}的公差為d，若數(shù)列aa1n}為遞減數(shù)列，則()A．d0．d0．1d0D．1d0【答案】C函數(shù)，∴1d0．a(chǎn)a1}為遞減數(shù)列，的一次aaaand]adnaad)nn1n11111．(2014福建)等差數(shù)列a}nSaS12a()nn136A8．10．12D．14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的公差為dSad32dd2a12．n316．(2014重慶)在等差數(shù)列a}aaaa()n1357A．5B．8C．D．14【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得aaaa，因?yàn)閍2，aa10，所以a8B．17351357．(2013遼寧)下面是關(guān)于d0的等差數(shù)列a}的四個(gè)命題：na是遞增數(shù)列；nnp:數(shù)列a是遞增數(shù)列；p:數(shù)列1n2an4:nnd3:n其中的真命題為A．1,2．3,4．2,3D．1,4【答案】Daandmpannn12n2n11nann1并非遞增所以p錯(cuò)；如果若an1，則滿足已知，但1p，是遞減數(shù)列，所以2nn3a4m，所以是遞增數(shù)列，p正確．n4n．(2012福建)等差數(shù)列aaa10，a7，則數(shù)列a的公差為()n154A1．2．3D．4【答案】B【解析】由題意有aaa，a5，又∵a7，∴aa2d2．1533443．(2012遼寧)在等差數(shù)列中，已知a+a，則該數(shù)列前S=()an48A．58．88．143D．176【答案】Ba+a【解析】aaaaS=16，故選B．48662．江西)設(shè)a}為等差數(shù)列，公差d2，S為其前n項(xiàng)和，若SS，nn則1()A18．20．22D24【答案】B【解析】由SSaSS0，aad010)．1n．天津)已知a為等差數(shù)列，其公差為2，且a是a與a的等比中項(xiàng)，S為a的前n項(xiàng)和，nnN*10的值為A．－739nB．－90．90D．【答案】D【解析】因?yàn)閍是a與a的等比中項(xiàng)，所以a27aa，又?jǐn)?shù)列a的公差為2，所以73939n(112)2(a4)(a16)，解得a，故a20(n(22n，所以111n10(aa)S15(202)110．2．(20208)在等差數(shù)列{a}a9，a1，記Taaan)，則數(shù)列{T}n15n12nn()A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)【答案】A【解析】設(shè)公差為d，a=4dd=2a，1n5使，a＜0n6時(shí)，a＞，所以n=4時(shí)，Tn51nnn0n=5T0n6T0nTT無(wú)最小nnnn項(xiàng)．故選A．a(chǎn)aa(20207)已知等差數(shù)列a}的首項(xiàng)a0aaa129．n11910278【答案】aa...a5914d27d析】由條件可知2a9da8dad，129．111add81278故答案為：．10S5．?新課標(biāo)Ⅲ，理14)記S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和，若a0，aa．nn121【答案】410S510(aa)1105(15)【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的公差為d，則由a0，aa可得，d2a，n12112(219d)214d2(2a18a)2181114．．?新課標(biāo)Ⅱ，理16)設(shè)數(shù)列a}n項(xiàng)和為Sa1，aSSS．nn1n1n1nn1【答案】n111【解析】n1SS，SSSS，1，又111，1n1nn1nn1nSnSn1111{}是以首項(xiàng)是1、公差為1的等差數(shù)列，n，S．nSSnnn1．(2015安徽)已知數(shù)列a}a1，aa(n≥2)，則數(shù)列a}9項(xiàng)和等于______．n1nn1n2【答案】2711【解析】∵a1，aa(n≥2)，所以數(shù)列a}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)1nn1n22981和S9927．22(2019江蘇8)已知數(shù)列{nnN*)S是其前naaaSS的n25898．【答案】16(ad)(a4d)a7d0a5111【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的首項(xiàng)為a，公差為，則d98，解得1，n191d27d2287dSa6(152．812(2019北京理10)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為SaSa5________．Snann25的最小值為_(kāi)______．【答案】，-10aad314d121aa4d0【解析】由題意得，，解得，所以．Sa510d1051514344110．a(chǎn)a0S的最小值為S或S，SS5n5n4542．(2018北京)設(shè)a}是等差數(shù)列，且a3，aa36，則a}的通項(xiàng)公式為_(kāi)__．n125n【答案】1412d0【解析】解法一設(shè)a}的公差為d，首項(xiàng)為a，n1a5da6d141114d276，所以S7(4)7214．2解法二2a7d14，所以d2aad2S7a7214．34374．(2018上海)記等差數(shù)列a}的前幾項(xiàng)和為Sa0，aa14S=．nn3677【答案】n6n3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，aaadad6d，∴d6，∴2511n3(n6n3．25aa4567．(2015廣東)在等差數(shù)列a中，若aaaaa．n328【答案】10【解析】由aaaaa25得a=25，所以a=5a+a=a=10．3456755285．(2014北京)若等差數(shù)列aaaa0，aa0，則當(dāng)n__時(shí)n7897an項(xiàng)和最大．n【答案】8aa090【解析】∵數(shù)列aaaaa，a0aan78988789n時(shí)，其前n項(xiàng)和最大．．(2014江西)在等差數(shù)列aa7，公差為dn項(xiàng)和為S，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)S取最大值，n1nn則d的取值范圍_________．7【答案】()8d07【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)S取最大值，可得a0，解得1d．n8890aaa7aa_____．n．(2013廣東)在等差數(shù)列【答案】20中，已知385aa3adadad【解析】依題意219d，所以．571111．(2012北京)已知a}為等差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和．若a，Sa，nn1232則2；Sn=．n(n【答案】，4121214【解析】設(shè)公差為d，則2ada2da代入得da1S=n，n(n1112．(2012江西)設(shè)數(shù)列ab}都是等差數(shù)列，若ab7，ab21ab___________．nn113355【答案】35【解析】因?yàn)閿?shù)列ab}都是等差數(shù)列，所以數(shù)列ab也是等差數(shù)列．故由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得nnnn72，解得ab35．55abab2abab55113355．(2012廣東)已知遞增的等差數(shù)列a}a1，aa3224an=____．n1【答案】ann1aaa22412dd)4d2an2n12【解析】13．廣東)等差數(shù)列a}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若a1，aa0，n1k4則k=_________．【答案】1098431【解析】設(shè)a}的公差為d，由SS及a1，得91d41d，所以d．又n94122611aa0，所以(k((4(0k．k466．?新課標(biāo)Ⅰ，文18)記S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和，已知Sa．nn95若a4a}的通項(xiàng)公式；3n若10，求使得Snan的n的取值范圍．【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列n}中，設(shè)其公差為d，(aa)9若SaS199aa，變形可得a0a4d0，555195925a3若34d2，2則aa(nd2n10，n3n(n若Snan1d1(nd，2當(dāng)n1時(shí)，不等式成立，d1(nd1，當(dāng)n2時(shí)，有，變形可得214(n2)()21(aa)9SaS199aa，則有a0a4d0，則有，9595551210，則有n，2n，綜合可得：2n，nN．．?新課標(biāo)Ⅱ，理(文)17)記S為等差數(shù)列a}n項(xiàng)和，已知a7，S15．nn13求n}的通項(xiàng)公式；求S，并求S的最小值．nn【解析】等差數(shù)列a}a7，S15，n13a7，ad15，解得a7，d2，111n72(n2n9；a7，d2，a2n9，1nn1S(aa)(2n216n)n28n(n4)16，2n1n22當(dāng)n4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為16．．?新課標(biāo)Ⅱ，文17)等差數(shù)列a}aa4，aa6．n3457Ⅰ)求n}的通項(xiàng)公式；Ⅱ)設(shè)b[a]，求數(shù)列b}10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]0，[2.6]2．nnn【解析】Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列n}的公差為d，aa4，aa6．3457215d42110d6，a11解得：2，d523an；n55Ⅱ)b[a]，nnbbb1，123bb2，45bbb3，678bb4．910故數(shù)列b}10S3122332424．n10．(2013新課標(biāo)Ⅱ，文17)已知等差數(shù)列a}的公差不為零，a25a,a,a成等比數(shù)列．n111113(Ⅰ)求an}的通項(xiàng)公式；求aaaa3n2；147【解析】Ⅰ)設(shè){an}的公差為d，由題意，a2=aa，1即(110d)2a(a12d)，11∵125，∴d=0(舍去)或d=-2，∴ann；Ⅱ)令S=aaaa3n2n147()3n2=6n31，{3n2}是首項(xiàng)為25，公差為的等差數(shù)列，nn∴S=(aa)=(6n56)=n28n．2n13n222．(2014浙江)已知等差數(shù)列a}的公差d0a}n項(xiàng)和為S，a1，nnn1SS．23(Ⅰ)求d及Sn；(Ⅱ)求,k(m,kN*)的值，使得amam1am2amk65．【解析】Ⅰ)由題意，(2adad)，11將11代入上式得d2或d5，d0，所以d2，從而an2n1，Sn2(nnN)．Ⅱ)由(1)aaa(2mkk，nn1nk(2mkk，由,kN(2mkk1，2mk1k15m5k4，所以．．(2013福建)已知等差數(shù)列an}的公差d1n項(xiàng)和為．Sn(Ⅰ)若a,a成等比數(shù)列，求a；131Ⅱ)若Saaa的取值范圍．5191【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列an}的公差d11,a成等比數(shù)列，3a21(12)，1即a21120，解得或．a(chǎn)1a211Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列an}的公差d1Saa519，511018a2；1即11100，解得5122．福建)已知等差數(shù)列=1，aa33．a(chǎn)n1(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；an()若數(shù)列kSkk的值．a(chǎn)n【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列a}的公差為daa(nd.nn1由aa可得12d12d=2．從而，n1(n(32.Ⅱ)由(I)n32n，2nS2nn.2n2S可得2kk2進(jìn)而由1即k22k350，解得kk,故k7為所求．又kN*．(2013江蘇)設(shè)a是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列d0，S是其前n項(xiàng)和．nnn記bn，nN*，其中c為實(shí)數(shù)．n2cSn2Skk,nN*()若c0，bb，b成等比數(shù)列，證明：；124Ⅱ)若b是等差數(shù)列，證明：c0．n【證明】Ⅰ)若，，，又由題，，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，成等比數(shù)列，，，，，，，，()．Ⅱ，，是等差數(shù)列，則可設(shè)，是常數(shù)，恒成立．整理得：，恒成立．，，．考點(diǎn)59等比數(shù)列問(wèn)題78．(2020全國(guó)Ⅰ文10)設(shè)a是等比數(shù)列，且aaa1,aa+a2aaa()n1232346A．12．．D．【答案】Dq【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件求得的值，再由a78aaaq5a可求得結(jié)果．6123【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q21，aaaaa1qqn1231q2aaaaqaq21q3aq1qq2，234111aaaaq51q61q71q51qq2q532D．6781Sanaaaan則．(2020全國(guó)Ⅱ文6)記Sn為等比數(shù)列n項(xiàng)和．若5364an()A．2n．2n．22n1D．n11【答案】B【思路導(dǎo)引】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列n的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．42q2aqaqq【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為aaaa11可得：，536415qa13aq1aqn)12nSnn21naaqn12n1,Sn，因此n2n，故選．n1121∴n11q122．(2020全國(guó)Ⅱ理6)數(shù)列a}a2，aaaaak2ak25k()n1mnmnk1A．2B．3C．4D．5【答案】Ca的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式n【思路導(dǎo)引】取m1，可得出數(shù)列a是等比數(shù)列，求得數(shù)列nk可得出關(guān)于的等式，由kNk可求得的值．a(chǎn)2，【解析】在等式amn中，令m1，可得aaaa，n1nmnn1n1naa22n12，n所以，數(shù)列2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則nna12k11k1，1221ak12ak2ak2k151212k4．故選：．k125k15，解得(20195)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列a}4項(xiàng)和為15aa4aa()n5313A．16．8．4D．2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列a}的公比為q(q0)，則由前4項(xiàng)和為aa4an53123，11aaqaq1q1112，3224，故選C．a(chǎn)q41q1q21(20173)增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞．3盞．5盞D．9盞【答案】B12)127【解析】設(shè)塔頂?shù)腶盞燈，由題意a}是公比為2的等比數(shù)列，S381，1n713B．．(2015已知等比數(shù)列a}a3，aaa21aaa()n1135357A．21．42．63D．8417，q【解析】a3，aaa21，aq2q4)21，q4q24q260，11351q22，aaaa(q2q4q6)3(24B．35711a1．(2015新課標(biāo)Ⅱ，文9)已知等比數(shù)列an}，aa4a1a()354241128【答案】C．a(chǎn)41q38q2aaa24a1a2412aaq3544212．(2013新課標(biāo)Ⅰ，文6)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an項(xiàng)和為Snn3A．S=2a1B．S=a2C．Sn=4anD．Sn=32annnnn【答案】D21an3【解析】Sn==32anD231．(2013新課標(biāo)Ⅱ，理3)等比數(shù)列{a}n項(xiàng)和為S，已知Saa，a=9a=nn3215113．1319D．19A．．【答案】．1【解析】由題知aaa=a10aaq12251191q99=a=aq4，∴a=，故選．123219．(2012新課標(biāo)，理5)已知數(shù)列{a}為等比數(shù)列，aa=2，aa=－aa=n47561A．7B．5C．－5D．－7【答案】D．【解析】∵aa=aa－，aa=2a=4，a－2a－，a=4，475647474714q3當(dāng)a=4，a2q3－，aa=4q6=-7，47124q3當(dāng)a=2，aq3=2，aa=4q6－，故選D．47143(2013大綱)已知數(shù)列aaa10項(xiàng)和等于anann1n21A．3)B．10)．10)D．)9【答案】C14131aa是等比數(shù)列，又43313，ana2a41Sn1n1331C．12．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A．32f【答案】D12B．32．125D．1272f2f2f2為ff122a}，n則第八個(gè)單音頻率為8f2)8127f，故選D．．(2018浙江)a，a，a，a成等比數(shù)列，且aaaaaaa)a1123412341231A．a(chǎn)a，aa．a(chǎn)a，aa413244132．a(chǎn)a，aaD．a(chǎn)a，aa1324132【答案】B【解析】x≤x1(x0)，所以aaaaaaa)1234123≤aaa1，所以a≤1a1，所以等比數(shù)列的公比q0．12341若q≤1aaaaaqq20，12341而aaa≥a1，所以ln(aaa)0，1231123與ln(aaa)aaaa≤0矛盾，12312341q0，所以aaaq2)0，aaaqq)0，2131241aa，aa，故選．1324．(2014重慶)對(duì)任意等比數(shù)列an}，下列說(shuō)法一定正確的是A．a(chǎn),a,a成等比數(shù)列．a(chǎn),a,a成等比數(shù)列139236C．a(chǎn),a,a成等比數(shù)列D．a(chǎn),a,a成等比數(shù)列269248【答案】Daaa0，因此a,a,a一定成等比數(shù)列．2【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，396269．(2012北京)已知an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是A．a(chǎn)a?a．a(chǎn)3122?222132aaaaDaaaa31421312【答案】B【解析】取特殊值可排除A、、，由均值不等式可得123?2aa2a2．1322．遼寧)若等比數(shù)列an}aa16n，則公比為nn1A2．4C8D．16【答案】Baa16n1aann1n216，兩式相除得n1n2n116，【解析】由nn116nanan1∴q16aa16n，可知公比q為正數(shù)，∴q4．2nn11．?新課標(biāo)Ⅰ，理14)記S為等比數(shù)列a}n項(xiàng)和．若a，a24aS．nn16533【答案】135)3【解析】在等比數(shù)列中，由426q6a21q5a0q0，q3S．15133．?新課標(biāo)Ⅰ，文14)記S為等比數(shù)列a}n項(xiàng)和，若a1，SS．nn134458【答案】31q331等比數(shù)列a}的前n項(xiàng)和，a1，S，q1，q2q0n1341q4411111q45161可得，qS．421q82126，則19．(2015新課標(biāo)Ⅰ，文13)數(shù)列a中aa2a,S為a的前n項(xiàng)和，若Sn1n1nnnnn．【答案】62)12n【解析】∵aaa，∴數(shù)列a是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴S，1n1nnn∴2n64，∴n=6．．?新課標(biāo)Ⅲ，理14)設(shè)等比數(shù)列a}aa1，aa3a．n12134【答案】8a}的公比為qaa1aa3aq)1aq2)311，n121311q2則4(8．3．(2012新課標(biāo)，文等比數(shù)列{a}n項(xiàng)和為SS+3S=0，則公比q=_______n32n【答案】q時(shí)，S=a，S=2aS+3S=0得，9a=0a與{a}q≠32312111n1q1q3)aq)12S+3S=00，解得q=2．321q74(2017江蘇)等比數(shù)列a}n項(xiàng)的和為SSS8=．nn364【答案】32S61q63aq3)7an}的公比為qq11q9q2331，S31q1q411得a，所以aaq727232．518144．(2017北京)若等差數(shù)列和等比數(shù)列abanb1ab8，，n114422則=_____．【答案】1dq的公比為，由題意ab13dq83【解析】設(shè)的公差為，，nna2132(2)d3，q2，所以1．．(2016年浙江)設(shè)數(shù)列a}n項(xiàng)和為SS4，a2S1，nN*nn2n1na=，S=．15【答案】．1aa41112a11aSSS1Sn，所以Sn12)a2a1n1n1nn21213S}為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，n22133n1，所以S5．Sn22．(2015安徽)已知數(shù)列a}n是遞增的等比數(shù)列，aaaa8，則數(shù)列a}n的前n項(xiàng)和等1423于．【答案】2n-1aa9144aa8aa1或a}是遞增的等比數(shù)列，naaaa8141231441aqn)12naa8q38q2nSa}n121．n14n1q12．(2014廣東)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且aa415ana+a+a+a+a=________．2122232425【答案】5【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知aaaaa2，于是，由aa4得a2，15243153故aaaaa32a+a+a+a+a=123452122232425(aaaaa)5．2123452．(2014廣東)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且aaaa2e59aaa．12【答案】50【解析】因a是等比數(shù)列，∴aaaaaaaaaa2e得5n199aae5aaaln(aaa)ln(aa10．∴1121220120．(2014江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an}aaa2aa28646是．【答案】4【解析】設(shè)等比數(shù)列a}的公比為q，q0aaaaq444q224q2(負(fù)2n864值舍去)21，所以aaq4．462．(2013廣東)設(shè)數(shù)列a}是首項(xiàng)為，公比為12的等比數(shù)列，則na|a|a|a．1234【答案】15【解析】aaaa8a|a|a|a．1234123435(2013北京)若等比數(shù)列aaa=20aa=40q=nSn=．n24【答案】2n12212naa=qaa得q2；aaaqq3a2S2n12．35242411n121．(2013江蘇)在正項(xiàng)等比數(shù)列ana5，aa3．則滿足267aaa...aaaaa的最大正整數(shù)n的值為．123n123n【答案】121211q4【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列a}首項(xiàng)為a，公比為q，則：，得：1＝，q＝2，n132aqq)315(n1)n2n1(n1)n2n1n26nTaaan12naaa22Tnn22，，n12n525212n2n51n5時(shí)，n13化簡(jiǎn)得：2n12，當(dāng)nn2．當(dāng)＝12時(shí)，T12212222當(dāng)n13Tn12．131332．(2012江西)等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，公比不為1．若a1，且對(duì)任意的nN都有nn1aaa0S=_________________．n2n1n5【答案】aaa0aqn2aq2a0a1可知aq1q2，n2n1nnn1nS5．a(chǎn)012(aa)5ann2n1，則數(shù)列n的公比33．(2012遼寧)已知等比數(shù)列an}為遞增數(shù)列，若q．，且【答案】2122(aa)a2aq2)nqq)q,qq2nn2n1n因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且1qq2．．(2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列a}n項(xiàng)和為SSa2，nn22Sa2q．4432【答案】24aq)1q22aq2aqa2q201q111【解析】依題意可得，aq)2aq4q312q201q3211q兩式相減可得21q421q21q31q02q42q2qq0，333q1()或q0或q．因?yàn)閝0，所以q．221．(2011北京)在等比數(shù)列a}a，a4，則公比q=______________；n142aaa____________．12n12n1【答案】22122)n11aaq3得4q3，解得q2，aaa2n1．【解析】4112n1222．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，文已知等差數(shù)列a}的前n項(xiàng)和為S，等比數(shù)列b}的前n項(xiàng)和為T，a1，nnnn1b1，ab2．122若ab5b}的通項(xiàng)公式；33n若T21S．33【解析】設(shè)等差數(shù)列a}的公差為d，等比數(shù)列b}的公比為q，nna1，b1，ab2，ab5，11223231dq2，1dq5，d1，q2或d3，q0(舍去)，則n}的通項(xiàng)公式為nb1，T21，2n1，nN*；13可得1qqq4或5，當(dāng)q4b4，a242，2，22d2(1，S31236；當(dāng)q5b5，a2(7，22d7(8，S3171521．a(chǎn)nn．?新課標(biāo)Ⅰ，文17)已知數(shù)列a}a1，na2(nab．n1n1nn求b，b，b；123判斷數(shù)列n}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明文由；求n}的通項(xiàng)公式．【解析】數(shù)列a}a1，na2(nn，n1n1n1n1n2常數(shù))，nnnn，n1n2，b}b為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．n1整文得：nb2n12n1，1所以：b1，b2，b4．123n}是為等比數(shù)列，n1n2常數(shù))；由(1)n2n1，nnn，所以：nn1．．?新課標(biāo)Ⅲ，理文等比數(shù)列a}a1，a4a．n153求n}的通項(xiàng)公式；記S為a}n項(xiàng)和．若S63m．nnm【解析】等比數(shù)列a}a1，a4a．n1531q44q)，2q2，當(dāng)q2n2n1，當(dāng)q2n(n1，a}的通項(xiàng)公式為，an1n(n1．nn記S為a}n項(xiàng)和．nn1q1qn)1(2)n1(2)n當(dāng)a1，q2S，1n1(2)31(2)m由S63S63，mN，無(wú)解；mm31q1qn)12n當(dāng)a1，q2S21，n1n12由S63S2m1，mN，mmm6．39(2014新課標(biāo)Ⅱ，理17)已知數(shù)列aa=1，aa1．n1n1nn12Ⅰ)a是等比數(shù)列，并求a的通項(xiàng)公式；n1113Ⅱ)證明：．12n212a11n1【解析】Ⅰ∵aa1，∴a3(a)，即：3n1nn1n122(a)n21313又a，∴a}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．1n22223n113n13，即an∴n222Ⅱ由Ⅰ)知an1，∴3n121n1(n)2nan31311()n11111∴1aaan33131323()]n23n123112311132故：2a1n3．(2013天津)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列a}n項(xiàng)和為S(nN，且2S,S,4S成等差數(shù)列．4nn232Ⅰ)求數(shù)列n}的通項(xiàng)公式；16Ⅱ)Sn(nN．Sn解析】Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列a的公比為q，因?yàn)?S，S，4S成等差數(shù)列，n234S2S4SSSSSS，可得2aa，32434324434313qa，所以等比數(shù)列a的通項(xiàng)公式為n122n13132nan(n1．221nⅡ)S1，n212,為奇數(shù)n2(2nn1121Sn1Snn111,n為偶數(shù)nn22(211113當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以Sn1S2．SnSn1611125當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨的增大而減小，所以nSn．SnSnS212113故對(duì)于nN*Sn．Sn6．江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列ab}，滿足aa(a),ba,nnba,ba．(Ⅰ)若a，求數(shù)列an}的通項(xiàng)公式；)若數(shù)列an}唯一，求a的值．【解析】(Ⅰ)設(shè)n}的公比為q，b1ab2aq2q,b3aq23q2則123由b,b,b成等比數(shù)列得(2q)2q)2123即q2q2q22,q2212所以n}的通項(xiàng)公式為n(22)n1或(2a2)n1.n)設(shè)n}的公比為q，則由(2aq)得a1由aa2a222a0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根1由n}唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a.3．(2013湖北)S是等比數(shù)列{a}n項(xiàng)和，S，S，S成等差數(shù)列，nn423且23418．()求數(shù)列{n}的通項(xiàng)公式；()是否存在正整數(shù)n，使得Sn2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】Ⅰ)設(shè)數(shù)列{a}的公比為qa0，q0．由題意得n1SSSS,aq21qaqqq131q2,124321即aaa2)q234故數(shù)列{n}的通項(xiàng)公式為nn1．3(2)]1(2)nⅡ)由()有Sn1(2)(0，上式不成立；22n11．n．若存在n，使得Sn2013，則1(nn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(nnnn綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為nnkk,k．考點(diǎn)60等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題qab}是公比為的等比數(shù)列，已知nnna}d是公差為的等差數(shù)列，b}．(202011)設(shè)nnSnn2n2nnN*)dq的值是________．【答案】3【解析】∵ab}nSnn2n2nnN)，*nn當(dāng)n1ab1；11當(dāng)n2abSnSn12n22n1，∴ab4，從而有dqab)ab)3．nn222211．(2016課標(biāo)卷115)設(shè)等比數(shù)列滿足aa=10aa=5aa的最大值為．132412n【答案】6411225=aaq(aa)10q，解得q=，所以aa()a=8，所以數(shù)列a}2413111n2n(nn2n7nn21aaqaaaa1n123(n8n()223n222n3或434112n2122時(shí)，表達(dá)式取得最大值：2264．6(2013重慶)已知是等差數(shù)列，a11d0，S為其前a,a,a125annnS8．【答案】6487a1且a,a,aa(a4d)(ad)2d2S8ad64．11251118124．江蘇)設(shè)1aaa，其中a,a,a,a成公比為q的等比數(shù)列，a,a,a成公差為11271357246的等差數(shù)列，則q的最小值是________．33【答案】2t1≤t≤q≤t1≤q2≤t2≤q3t≥1q≥t,tt2}，3故q的最小值是33．．(2017記S為等比數(shù)列a}n項(xiàng)和．已知S2，S6．nn23)求n}的通項(xiàng)公式；求S，并判斷S，S，S是否成等差數(shù)列．nn1nn2【解析】設(shè)等比數(shù)列a}首項(xiàng)為a，公比為q，n13q283q8則aSS628a，2，3321q2q88由aa2，2，整理得：q2q40，解得：q2，12q2q則12，n(n1(，na}的通項(xiàng)公式a(n；nnaq1qn)(n][2(n1]，1由(1)可知：Sn11(31n2，Sn2[2(2)n3]，[2(2)]1則Sn1331[2(2)n][2(2)n1]，由Sn1Sn223331[4(2)(2)n1(2)2(2)n1]，311[42(2)n1]2[(2(2)n1，332Sn，即Sn1Sn22Sn，S，S，S成等差數(shù)列．n1nn2(201919)已知數(shù)列a}和b}a1b04aab4bba4．nn11n1nnn1nn證明：ab}是等比數(shù)列，ab}是等差數(shù)列；nnnn求a}和b}的通項(xiàng)公式．nn【解析】證明：4n1ab4，bba4；nnn1nn4(n1b)2(ab)，4(ab)4(ab)8；n1nnn1n1nn1即n1n1(ab)，an1ab2；nnn1nn2又ab1，ab1，11111ab}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，nn2ab}是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列；nn1由(1)可得：ab()n1，nn2ab12(n2n1；nn11121a()nn，b()nn．nn222．(2019?新課標(biāo)Ⅱ，文18)已知a}的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a2，a2a16．n132求n}的通項(xiàng)公式；設(shè)ba，求數(shù)列b}n項(xiàng)和．n2nn【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a2，a2aqq，2132即q2q80，解得q2舍)或q4．a(chǎn)aqn12n12n1；n1n2n22n1n1，b1，bb2(n12n12，1n1nn}1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，n(n2則數(shù)列b}nTn1n．2nn21(201617)a}是公差為3b}b1babbn．nn12nn1n13Ⅰ)求n}的通項(xiàng)公式；Ⅱ)求n}n項(xiàng)和．【解析】Ⅰ)abbn．nn1n1當(dāng)n1abbb．12211b1，b，12312，an}是公差為3的等差數(shù)列，nn1，Ⅱ)由(I)nn1n1n．即n1n．1即數(shù)列b}1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，n311()nb}nSn)331．3nn1222n11311．課標(biāo)，文已知等比數(shù)列{a}a=，公比q=．n1331aⅠ)S{a}n項(xiàng)和，證明：S=n；nnn2Ⅱ)設(shè)b=aaa，求數(shù)列{b的通項(xiàng)公式．n31323nn11a1n1【解析】(Ⅰ)()33.nn3111)1n1n33n3Sn===12213n(nbaaa2n)n31323n2n(n所以bn}的通項(xiàng)公式為bn.2a}nS*b}n是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)n．(2018天津)設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為(nN)；nnT*b1bb2baa(nN)．已知，，，132435nbaa．；546S和Tn求nSTTT)abnn，求正整數(shù)的值．若n12nn【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為qb1，bb2，可得2qq20．n13212nq0，可得q2n2n1．所以n21．n12設(shè)等差數(shù)列a}的公差為dbaa，可得ad4．n4351由baa，可得adad1，54611n(n故an，所以S．nn2TTT(21232n)n2n1n2.由(1)12nn(n由STTT)ab2n1n2n2n1，n12nnn2整理得nn40，解得n1舍)n4．所以n的值為．2(2015四川)設(shè)數(shù)列a}nSaaa,aa成等差數(shù)列nnn1123求數(shù)列an}的通項(xiàng)公式；11記數(shù)列{}nT，求得|T1|成立的n的最小值．nnan【解析】由已知s2aa有ass，aan2n1nn1nnn1n，n1即aan2na2a,a4a．2131又因?yàn)閍,aa成等差數(shù)列，即aaa．123132a4a2(2a，解得a2．1111a2nn所以，數(shù)列an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．故．11由(1)得．n2n121n21()]11111T