復變函數(shù)的積分(共206張PPT)

第三章復變函數(shù)的積分

第一節(jié)復變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計算法三、積分的性質(zhì)四、小結與思考0、內(nèi)容與提要1第1頁，共206頁。學習要求與內(nèi)容提要教材及主要參考書：《復變函數(shù)》《復變函數(shù).積分變換》目的與要求：掌握復變函數(shù)積分的概念、基本定理與復合閉路定理不定積分柯西公式高階導數(shù)調(diào)和函數(shù)教學內(nèi)容與時間安排7學時教學方法：講授與提問結合教學手段：多媒體PPT軟件作業(yè)：第100頁7-3)、7-6)、7-9)、8-1)、8-3)、8-5)、9-2)、9-4)、30-1)、30-2)。2第2頁，共206頁。重點與難點重點：難點：1.復積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導數(shù)公式復合閉路定理與復積分的計算3第3頁，共206頁。內(nèi)容提要有向曲線復積分積分存在的條件及計算積分的性質(zhì)柯西積分定理原函數(shù)的定義復合閉路定理柯西積分公式高階導數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)4第4頁，共206頁。復習

一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:5第5頁，共206頁。二、對數(shù)函數(shù)6第6頁，共206頁。三、冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,7第7頁，共206頁。它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,8第8頁，共206頁。四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).復習結束9第9頁，共206頁。一、積分的定義1.有向曲線:

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,10第10頁，共206頁。簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.11第11頁，共206頁。2.積分的定義:12第12頁，共206頁。(13第13頁，共206頁。關于定義的說明:14第14頁，共206頁。二、積分存在的條件及其計算法1.存在的條件證正方向為參數(shù)增加的方向,15第15頁，共206頁。16第16頁，共206頁。根據(jù)線積分的存在定理,17第17頁，共206頁。當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,18第18頁，共206頁。在形式上可以看成是公式19第19頁，共206頁。2.積分的計算法較詳?shù)耐茖?0第20頁，共206頁。在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.21第21頁，共206頁。例1解直線方程為22第22頁，共206頁。這兩個積分都與路線C無關23第23頁，共206頁。例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x24第24頁，共206頁。(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x25第25頁，共206頁。y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為26第26頁，共206頁。例3解積分路徑的參數(shù)方程為27第27頁，共206頁。例4解積分路徑的參數(shù)方程為28第28頁，共206頁。重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.29第29頁，共206頁。三、積分的性質(zhì)復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式30第30頁，共206頁。性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]31第31頁，共206頁。例5解根據(jù)估值不等式知32第32頁，共206頁。33第33頁，共206頁。由柯西－古薩定理,第169頁，共206頁。此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.解法二線積分法.第108頁，共206頁。解法二線積分法.放映結束，按Esc退出.第134頁，共206頁。第11頁，共206頁。第103頁，共206頁。第169頁，共206頁。第67頁，共206頁。第53頁，共206頁。四、小結與思考本課我們學習了積分的定義、存在條件以及計算和性質(zhì).應注意復變函數(shù)的積分有跟微積分學中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點掌握復積分的一般方法.34第34頁，共206頁。思考題35第35頁，共206頁。思考題答案即為一元實函數(shù)的定積分.放映結束，按Esc退出.36第36頁，共206頁。設開區(qū)域G是一個單連通域，函數(shù)u(x,y),v(x,y)在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，則積分在G內(nèi)與路徑C無關的充要條件是：在G內(nèi)恒成立。37第37頁，共206頁。一、寫出平面復數(shù)參數(shù)方程的步驟：二、直線的參數(shù)方程：38第38頁，共206頁。39第39頁，共206頁。40第40頁，共206頁。第二節(jié)柯西－古薩基本定理一、問題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結與思考41第41頁，共206頁。一、問題的提出觀察上節(jié)例1,此時積分與路線無關.觀察上節(jié)例4,42第42頁，共206頁。觀察教材例3,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關,可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.43第43頁，共206頁。二、基本定理柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹44第44頁，共206頁。關于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.45第45頁，共206頁。三、典型例題例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有46第46頁，共206頁。例2證由柯西－古薩定理,47第47頁，共206頁。由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,第73頁48第48頁，共206頁。例3解根據(jù)柯西－古薩定理得49第49頁，共206頁。50第50頁，共206頁。四、小結與思考通過本課學習,重點掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.51第51頁，共206頁。思考題應用柯西–古薩定理應注意什么?52第52頁，共206頁。思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.放映結束，按Esc退出.53第53頁，共206頁。Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料54第54頁，共206頁。GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料55第55頁，共206頁。第三節(jié)基本定理的推廣一、問題的提出二、復合閉路定理三、典型例題復合閉路定理四、小結與思考56第56頁，共206頁。一、問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.57第57頁，共206頁。二、復合閉路定理1.閉路變形原理︵︵58第58頁，共206頁。︵︵︵︵︵︵︵︵59第59頁，共206頁。得︵︵︵︵60第60頁，共206頁。解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.61第61頁，共206頁。2.復合閉路定理那末62第62頁，共206頁。63第63頁，共206頁。三、典型例題例1解依題意知,64第64頁，共206頁。根據(jù)復合閉路定理,65第65頁，共206頁。例2解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,66第66頁，共206頁。例3解67第67頁，共206頁。由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.68第68頁，共206頁。例4解由上例可知69第69頁，共206頁。四、小結與思考本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結論:70第70頁，共206頁。思考題復合閉路定理在積分計算中有什么用?要注意什么問題?71第71頁，共206頁。思考題答案利用復合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復合閉路定理時,要注意曲線的方向.放映結束，按Esc退出.72第72頁，共206頁。第四節(jié)原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結與思考73第73頁，共206頁。一、主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關,(如下頁圖)1.兩個主要定理:74第74頁，共206頁。75第75頁，共206頁。定理二證利用導數(shù)的定義來證.76第76頁，共206頁。由于積分與路線無關,77第77頁，共206頁。78第78頁，共206頁。由積分的估值性質(zhì),79第79頁，共206頁。此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]80第80頁，共206頁。2.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關系:證81第81頁，共206頁。那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]82第82頁，共206頁。3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)83第83頁，共206頁。證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.84第84頁，共206頁。二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,85第85頁，共206頁。例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)86第86頁，共206頁。例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,87第87頁，共206頁。例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”88第88頁，共206頁。例4解利用分部積分法可得課堂練習答案89第89頁，共206頁。例5解90第90頁，共206頁。例6解所以積分與路線無關,根據(jù)牛—萊公式:91第91頁，共206頁。三、小結與思考本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學習中應注意與《高等數(shù)學》中相關內(nèi)容相結合,更好的理解本課內(nèi)容.92第92頁，共206頁。思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓–萊布尼茲公式與實函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?93第93頁，共206頁。思考題答案兩者的提法和結果是類似的.兩者對函數(shù)的要求差異很大.放映結束，按Esc退出.94第94頁，共206頁。第五節(jié)柯西積分公式一、問題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結與思考95第95頁，共206頁。一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個值.96第96頁，共206頁。97第97頁，共206頁。二、柯西積分公式定理證98第98頁，共206頁。99第99頁，共206頁。上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]柯西積分公式柯西介紹100第100頁，共206頁。關于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.101第101頁，共206頁。三、典型例題例1解102第102頁，共206頁。由柯西積分公式103第103頁，共206頁。例2解由柯西積分公式104第104頁，共206頁。例3解由柯西積分公式105第105頁，共206頁。例４解根據(jù)柯西積分公式知,106第106頁，共206頁。例5解107第107頁，共206頁。例5解108第108頁，共206頁。由閉路復合定理,得例5解109第109頁，共206頁。例6解根據(jù)柯西積分公式知,110第110頁，共206頁。比較兩式得111第111頁，共206頁。課堂練習答案112第112頁，共206頁。四、小結與思考柯西積分公式是復積分計算中的重要公式,它的證明基于柯西–古薩基本定理,它的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:113第113頁，共206頁。思考題柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的,能否推廣到無界區(qū)域中?114第114頁，共206頁。思考題答案可以.其中積分方向應是順時針方向.放映結束，按Esc退出.115第115頁，共206頁。Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料116第116頁，共206頁。第六節(jié)高階導數(shù)一、問題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結與思考117第117頁，共206頁。一、問題的提出問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導數(shù)?(2)若有高階導數(shù),其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導數(shù).(2)高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導數(shù)的定義是什么?118第118頁，共206頁。二、主要定理定理證119第119頁，共206頁。根據(jù)導數(shù)的定義,從柯西積分公式得120第120頁，共206頁。121第121頁，共206頁。122第122頁，共206頁。再利用以上方法求極限123第123頁，共206頁。至此我們證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學歸納法可證[證畢]高階導數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.124第124頁，共206頁。三、典型例題例1解125第125頁，共206頁。126第126頁，共206頁。根據(jù)復合閉路定理127第127頁，共206頁。推導1推導2128第128頁，共206頁。例2解129第129頁，共206頁。130第130頁，共206頁。例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得131第131頁，共206頁。132第132頁，共206頁。課堂練習答案1、由柯西－古薩基本定理得2、133第133頁，共206頁。例4解134第134頁，共206頁。根據(jù)復合閉路定理和高階導數(shù)公式,135第135頁，共206頁。136第136頁，共206頁。例5(Morera定理)證依題意可知137第137頁，共206頁。參照本章第四節(jié)定理二,可證明因為解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù),138第138頁，共206頁。例6證不等式即證.139第139頁，共206頁。四、小結與思考高階導數(shù)公式是復積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結論,同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導數(shù)公式140第140頁，共206頁。思考題解析函數(shù)的高階導數(shù)公式說明解析函數(shù)的導數(shù)與實函數(shù)的導數(shù)有何不同?141第141頁，共206頁。思考題答案這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.放映結束，按Esc退出.142第142頁，共206頁。推導1143第143頁，共206頁。推導2144第144頁，共206頁。第七節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系三、小結與思考145第145頁，共206頁。一、調(diào)和函數(shù)的定義定義調(diào)和函數(shù)在流體力學和電磁場理論等實際問題中有很重要的應用.拉普拉斯146第146頁，共206頁。二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系1.兩者的關系定理

任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證147第147頁，共206頁。根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理,[證畢]148第148頁，共206頁。2.共軛調(diào)和函數(shù)的定義區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).149第149頁，共206頁。3.偏積分法如果已知一個調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構成一個解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.解例1150第150頁，共206頁。151第151頁，共206頁。第97頁，共206頁。第59頁，共206頁。第129頁，共206頁。第17頁，共206頁。用不定積分法求解例1中的解析函數(shù)本課中重點掌握復積分的一般方法.（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分第72頁，共206頁。第94頁，共206頁。(牛頓-萊布尼茲公式)第174頁，共206頁。（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分并注意定理成立的條件.任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).第195頁，共206頁。得一個解析函數(shù)這個函數(shù)可以化為答案課堂練習152第152頁，共206頁。例2解153第153頁，共206頁。154第154頁，共206頁。所求解析函數(shù)為155第155頁，共206頁。4.不定積分法不定積分法的實施過程:156第156頁，共206頁。將上兩式積分,得157第157頁，共206頁。例3解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得158第158頁，共206頁。所求解析函數(shù)為159第159頁，共206頁。用不定積分法求解例1中的解析函數(shù)例4解160第160頁，共206頁。例5解用不定積分法求解例2中的解析函數(shù)161第161頁，共206頁。162第162頁，共206頁。例6解兩邊同時求導數(shù)所以上面兩式分別相加減可得163第163頁，共206頁。164第164頁，共206頁。三、小結與思考本節(jié)我們學習了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應注意的是:1.任意兩個調(diào)和函數(shù)u與v所構成的函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù).2.滿足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù),u與v注意的是地位不能顛倒.放映結束，按Esc退出.165第165頁，共206頁。拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,France166第166頁，共206頁。167第167頁，共206頁。一、重點與難點重點：難點：1.復積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導數(shù)公式復合閉路定理與復積分的計算168第168頁，共206頁。二、內(nèi)容提要有向曲線復積分積分存在的條件及計算積分的性質(zhì)柯西積分定理原函數(shù)的定義復合閉路定理柯西積分公式高階導數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)169第169頁，共206頁。

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那末我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,170第170頁，共206頁。171第171頁，共206頁。(172第172頁，共206頁。（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分173第173頁，共206頁。4.積分的性質(zhì)174第174頁，共206頁。5.柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)175第175頁，共206頁。由定理得176第176頁，共206頁。(牛頓-萊布尼茲公式)177第177頁，共206頁。7.閉路變形原理復合閉路定理一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末178第178頁，共206頁。179第179頁，共206頁。一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.180第180頁，共206頁。

9.高階導數(shù)公式181第181頁，共206頁。

任何在

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是