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文檔簡介
復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第1頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/141第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)內(nèi)容提要:復(fù)變函數(shù)就是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù),本章先學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)與運(yùn)算,然后再引入平面上的點(diǎn)集、復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù).本章中的許多概念在形式上與微積分學(xué)中一些基本概念有相似之處,可以把它們看作微積分學(xué)中相應(yīng)的概念及定理在復(fù)數(shù)域中的推廣.
第2頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/142第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)1.2復(fù)數(shù)的三角表示1.3平面點(diǎn)集的一般概念1.4無窮大與復(fù)球面1.5復(fù)變函數(shù)本章小結(jié)思考題第3頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/143第一節(jié)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的基本概念
第4頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/144二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的和、差、積、商
和與差:積:商:復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.第5頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1452.共扼復(fù)數(shù)及性質(zhì)
重要性質(zhì):
復(fù)數(shù)的共扼性質(zhì)在實(shí)際計算和證明中有廣泛應(yīng)用
第6頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/146例1.計算復(fù)數(shù)
解:法一(商的公式)
法二(共軛性質(zhì))
應(yīng)用共扼性質(zhì)來計算顯得簡單,在后面計算中要靈活運(yùn)用共軛第7頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/147例2.解:由題意得
例3.解:第8頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/148例4.證明:證法二:第9頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/149第二節(jié)復(fù)數(shù)的表示法
一、復(fù)平面
定義:復(fù)數(shù)的模:
復(fù)數(shù)的幅角:主幅角:即:一復(fù)數(shù)的輻角Argz是多值的第10頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1410二、復(fù)數(shù)的表示法1.復(fù)數(shù)的向量表示法
因此
顯然有不等式:
復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)、向量之間一一對應(yīng)第11頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14112.復(fù)數(shù)的三角表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:
復(fù)數(shù)的三角表示式:3.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法利用歐拉公式:
復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式:注意:復(fù)數(shù)的三角表示式不是唯一的,因?yàn)檩椊怯袩o窮多種選擇,如果有兩個三角表示式相等:
則可以推出:第12頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1412例1.解:于是主幅角值的確定:
第13頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1413練習(xí)
模
主輻角解:
例2.解:
為復(fù)數(shù)形式的直線方程
復(fù)數(shù)形式的直線方程為
第14頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1414例3.解:
參數(shù)方程為由參數(shù)式得復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程為若平面上曲線的參數(shù)方程為:則定義定義:復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程
第15頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1415例4.求下列方程所表示的曲線解:
第16頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1416三、復(fù)數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法
即:模輻角定理1:兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積,幅角等于它們的幅角之和.說明:例如:第17頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1417例如:定理2:兩復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商,幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.證明:即:模輻角第18頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1418例5.用三角表示式和指數(shù)表示式計算下列復(fù)數(shù)解:
第19頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1419例6.解:
第20頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1420四、復(fù)數(shù)的乘方與開方、棣摩弗公式1.乘方公式這公式稱棣摩弗公式.
2.開方公式
第21頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1421例7.計算下列各題:
解:即:第22頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1422例8.解:其解為
作業(yè)習(xí)題一1.1(3)(4)1.31.41.6(2)(4)1.8(2)(3)1.9(1)(2)(3)(4)1.10(1)(2)(3)(4)1.12(1)(5)1.13(1)P28第23頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1423第三節(jié)平面點(diǎn)集的一般概念研究復(fù)變函數(shù)問題,和實(shí)函數(shù)一樣,每個復(fù)變量都有自己的變化范圍,復(fù)變量的變化范圍同于二元函數(shù)的變化范圍稱為區(qū)域.
一、開集與閉集
1.鄰域:
2.內(nèi)點(diǎn):
3.開集:
4.余集:
第24頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14245.邊界:
6.孤立點(diǎn):
7.有界集與無界集:
例如:第25頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1425二、區(qū)域1.連通:
設(shè)G中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于G的折線連接起來,則稱G是連通的.
2.區(qū)域:
連通的開集稱為區(qū)域,記為D.
3.閉區(qū)域:
區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,4.有界、無界區(qū)域:(如上定義)
5.圓環(huán)域:
例如
有界域:無界域:角形域:
帶形域:
第26頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1426例1.試說出下列各式所表示的點(diǎn)集是怎樣的圖形,并指出哪些是區(qū)域:
解:
三、平面曲線1.平面曲線的復(fù)數(shù)式
平面曲線的復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程
第27頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1427例2.圓周參數(shù)方程
解:
例3.解:
直線的參數(shù)方程
2.光滑曲線
光滑曲線
由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.
第28頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1428例4.解:
容易驗(yàn)證:
因此該曲線是分段光滑曲線.
3.簡單閉曲線
則稱這條曲線為簡單閉曲線.
簡單閉曲線
非簡單閉曲線
第29頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14294.單連通區(qū)域與多連通區(qū)域
設(shè)D為一平面區(qū)域,若在D中任作一條簡單閉曲線,而曲線內(nèi)部總屬于D,則稱D為單連通區(qū)域,否則是多連通區(qū)域.
單連通區(qū)域的特征:屬于D的任何一條簡單閉曲線,在D內(nèi)可經(jīng)過連續(xù)變形而縮成一點(diǎn).
單連通區(qū)域多連通區(qū)域洞第30頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1430第四節(jié)無窮大與復(fù)球面一、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為了討論問題方便,我們不但要討論有限復(fù)數(shù),還要討論一個特殊的復(fù)數(shù)-------無窮大,它是由下式定義的:加法:減法:乘法:除法:而實(shí)部、虛部和輻角均沒有意義,
第31頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1431這個點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn),
復(fù)平面加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為擴(kuò)充復(fù)平面,擴(kuò)充復(fù)平面上的每一條直線都通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn).(4)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域:
復(fù)球面定義:球面上的每一點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面;二、復(fù)球面(5)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域:第32頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1432第五節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念說明:
那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù),即復(fù)變函數(shù),
1.定義:設(shè)G是一個復(fù)數(shù)的集合,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,
第33頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14332.復(fù)變函數(shù)與二元函數(shù)的關(guān)系
因此可以利用兩個二元實(shí)變函數(shù)來討論例1.解:
例2.將下列兩個二元實(shí)變函數(shù)表示為復(fù)變函數(shù),解:
第34頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14343.映射的概念在“高等數(shù)學(xué)”中,常把函數(shù)用幾何圖形來表示,這樣,可以直觀地幫助我們理解和研究函數(shù)的性質(zhì).對于復(fù)變函數(shù),由于它反映了兩對變量和之間的對應(yīng)關(guān)系,因而無法用同一個平面的幾何圖形表示出來,必須把它看成兩個復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系.第35頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1435例3.第36頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1436例4.解:
第37頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1437例5.解:
(1)由乘法的模與幅角定理可知:
其象是2倍角域,
第38頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1438反函數(shù)(逆映射)二、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)1.復(fù)變函數(shù)的極限定義1.第39頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1439定理1.設(shè)函數(shù)證明:必要性充分性第40頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1440定理2.如果第41頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1441例1.證明:
另證:
第42頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/14422.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理3.函數(shù)例2.解:說明:復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實(shí)函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義形式上完全相同,因此高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理依然成立,因此又有有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).
第43頁,課件共45頁,創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1443定理4.(1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母
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