2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題與解答(A卷)

2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試第4頁，共14頁2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試（A卷）說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準．填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1．設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，則的模為3．正實數(shù)均不等于1，若，，則的值為4．袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣．現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為5．設(shè)P為一圓錐的頂點，A，B，C是其底面圓周上的三點，滿足=90°，M為AP的中點．若AB=1，AC=2，，則二面角M—BC—A的大小為6．設(shè)函數(shù)，其中是一個正整數(shù)．若對任意實數(shù)，均有，則的最小值為7．雙曲線C的方程為，左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線C的右半支交于點P，Q，使得=90°，則的內(nèi)切圓半徑是8．設(shè)是1，2，…，100中的4個互不相同的數(shù)，滿足則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9．（本題滿分16分）在中，已知．求的最大值．10．（本題滿分20分）已知是R上的奇函數(shù)，，且對任意，均有．求…的值．11．（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個動點．以F為焦點，O為頂點作拋物線C．設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點，Q是軸負半軸上一點，使得PQ為C的切線，且｜PQ｜=2.圓均與直線OP相切于點P，且均與軸相切．求點F的坐標，使圓與的面積之和取到最小值．2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試（A卷）參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準．填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1．設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是答案：解：由可得，原不等式可變形為即，所以．又，故．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復(fù)數(shù)，則的模為答案：解：由運算性質(zhì)，，因為與為實數(shù)，，故，，又，所以，從而因此，的模為．3．正實數(shù)均不等于1，若，，則的值為答案：解：令，，則，，條件化為，，由此可得，因此．4．袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣．現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為答案：解：一種取法符合要求，等價于從A中取走的兩張紙幣的總面值小于從B中取走的兩張紙幣的總面值，從而．故只能從A中國取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為．又此時，即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣，相應(yīng)有種取法．因此，所求的概率為．5．設(shè)P為一圓錐的頂點，A，B，C是其底面圓周上的三點，滿足=90°，M為AP的中點．若AB=1，AC=2，，則二面角M—BC—A的大小為答案：解：由=90°知，AC為底面圓的直徑．設(shè)底面中心為O，則平面ABC，易知，進而．設(shè)H為M在底面上的射影，則H為AO的中點．在底面中作于點K，則由三垂線定理知，從而為二面角M—BC—A的平面角．因，結(jié)合與平行知，，即，這樣．故二面角M—BC—A的大小為．6．設(shè)函數(shù)，其中是一個正整數(shù)．若對任意實數(shù)，均有，則的最小值為答案：16解：由條件知，其中當且僅當時，取到最大值．根據(jù)條件知，任意一個長為1的開區(qū)間至少包含一個最大值點，從而，即．反之，當時，任意一個開區(qū)間均包含的一個完整周期，此時成立．綜上可知，正整數(shù)的最小值為．7．雙曲線C的方程為，左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線C的右半支交于點P，Q，使得=90°，則的內(nèi)切圓半徑是答案：解：由雙曲線的性質(zhì)知，，．因=90°，故，因此從而直角的內(nèi)切圓半徑是8．設(shè)是1，2，…，100中的4個互不相同的數(shù)，滿足則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為答案：40解：由柯西不等式知，，等號成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列．于是問題等價于計算滿足…的等比數(shù)列的個數(shù)．設(shè)等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù)．記，其中為互素的正整數(shù)，且．先考慮的情況．此時，注意到互素，故為正整數(shù)．相應(yīng)地，分別等于，它們均為正整數(shù)．這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，即．由于，故僅需考慮這些情況，相應(yīng)的等比數(shù)列的個數(shù)為．當時，由對稱性可知，亦有20個滿足條件的等比數(shù)列．綜上可知，共有40個滿足條件的有序數(shù)組．二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9．（本題滿分16分）在中，已知．求的最大值．解：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，．同理得，，．故已知條件化為即．………………8分由余弦定理及基本不等式，得所以．………………12分等號成立當且僅當．因此的最大值是．……………16分10．（本題滿分20分）已知是R上的奇函數(shù)，，且對任意，均有．求…的值．解：設(shè)=1，2，3，…），則．在中取，注意到，及為奇函數(shù)．可知……5分即，從而．……10分因此……20分11．（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個動點．以F為焦點，O為頂點作拋物線C．設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點，Q是軸負半軸上一點，使得PQ為C的切線，且｜PQ｜=2.圓均與直線OP相切于點P，且均與軸相切．求點F的坐標，使圓與的面積之和取到最小值．解：設(shè)拋物線C的方程是，點Q的坐標為，并設(shè)的圓心分別為．設(shè)直線PQ的方程為，將其與C的方程聯(lián)立，消去可知．因為PQ與C相切于點P，所以上述方程的判別式為，解得．進而可知，點P的坐標為．于是．由｜PQ｜=2可得①……5分注意到OP與圓相切于點P，所以．設(shè)圓與軸分別相切于點M，N，則分別是的平分線，故=90°．從而由射影定理知結(jié)合①，就有②……10分由共線，可得．化簡得③……15分令，則圓的面積之和為．根據(jù)題意，僅需考慮T取到最小值的情況．根據(jù)②、③可知，．作代換，由于，所以．于是．上式等號成立當且僅當，此時，因此結(jié)合①得，從而F的坐標為．………20分2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一、（本題滿分40分）設(shè)實數(shù)…滿足…。求…的最大值。解：令…，由已知得，對…，2015，均有。若，則?！?0分以下考慮的情況。約定。由平均不等式得………………20分所以?！?0分當…時，上述不等式等號成立，且有…，此時。綜上所述，所求最大值為?！?0分二、（本題滿分40分）如圖所示，在中，X，Y是直線BC上兩點（X，B，C，Y順次排列），使得。設(shè)，的外心分別為，，直線與AB，AC分別交于點U，V。證明：是等腰三角形。證法一：作的內(nèi)角平分線交BC于點P，設(shè)三角形ACX和ABY的外接圓分別為和。由內(nèi)角平分線的性質(zhì)知，。由條件可得。從而即?！?0分故P對圓和的冪相等，所以P在和的根軸上?！?0分于是，這表明點U，V關(guān)于直線AP對稱，從而三角形AUV是等腰三角形?！?0分證法二：設(shè)的外心為O，連接，。過點，分別作直線BC的垂線，垂足分別為，作于點K。我們證明。在直角三角形中，由外心性質(zhì)，。又，故。而分別是BC，CX的中點，所以。因此這里R是的外接圓半徑。同理。…………10分由已知條件可得，故?！?0分由于，所以90°。同理90°?！?0分又因為，故，從而。這樣，即是等腰三角形。………………40分三、（本題滿分50分）給定空間中10個點，其中任意四點不在一個平面上，將某些點之間用線段相連，若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值。解：以這10個點為頂點，所連線段為邊。得到一個10階簡單圖G。我們證明G的邊數(shù)不超過15.設(shè)G的頂點為…，共有條邊，用表示頂點的度。若對…，10都成立，則假設(shè)存在滿足。不妨設(shè)，且與…均相鄰。于是…之間沒有邊，否則就形成三角形，所以，…之間恰有條邊。…………10分對每個，至多與…中的一個頂點相鄰（否則設(shè)與相鄰，則就對應(yīng)了一個空間四邊形的四個頂點，這與題設(shè)條件矛盾。）從而…與…之間的邊數(shù)至多條?！?0分在…這個頂點之間，由于沒有三角形，由托蘭定理，至多條邊，因此G的邊數(shù)…………30分如圖給出的圖共有15條邊，且滿足要求。綜上所述，所求邊數(shù)的最大值為15.………5