2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識(shí)梳理第四章第四節(jié)　函數(shù)與方程

第四節(jié)函數(shù)與方程復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.函數(shù)零點(diǎn)的概念.2.f(x)=0有實(shí)根與y=f(x)有零點(diǎn)的關(guān)系.3.圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的判定方法.4.利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(指導(dǎo)意見).體驗(yàn)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、算法等數(shù)學(xué)基本思想(發(fā)展要求).1.復(fù)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)要與方程、圖象融會(huì)貫通,既要能計(jì)算又要能畫圖,所以解決零點(diǎn)問題的基本思想是數(shù)形結(jié)合.2.畫圖要準(zhǔn)確,在準(zhǔn)確把握基本初等函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上,正確變換,細(xì)致描點(diǎn),并適時(shí)利用函數(shù)性質(zhì)優(yōu)化.3.含參的函數(shù)問題要習(xí)慣于分類討論,明確分類的起點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)和層次.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)概念對(duì)于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,若f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)函數(shù)存在零點(diǎn)的判斷方法解方程f(x)=0利用零點(diǎn)存在性定理數(shù)形結(jié)合1.概念理解(1)從“數(shù)”的角度看:即是使f(x)=0的實(shí)數(shù)x;(2)從“形”的角度看:即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(3)若函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處與x軸相切,則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn);(4)若函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處與x軸相交,則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn).2.與零點(diǎn)存在性定理相關(guān)的知識(shí)(1)零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn),不能判斷不變號(hào)零點(diǎn).所以在判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)時(shí),不能完全依賴函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理,要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.(2)f(a)·f(b)<0與函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的關(guān)系①若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點(diǎn).②由函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖,f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.③若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào),且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在[a,b]上只有一個(gè)零點(diǎn).1.函數(shù)y=log2x+QUOTE1x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:據(jù)題意在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=log2x,y=1-QUOTE1x的圖象,如圖所示,觀察圖象可知共有1個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)y=log2x-1+QUOTE1x有1個(gè)零點(diǎn).故選B.2.函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(B)(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)解析:易知f(x)=2x+3x在R上是增函數(shù).而f(-2)=2-2f(-1)=2-1-3<0,f(0)=2所以f(-1)·f(0)<0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上有零點(diǎn).3.(2018·紹興市柯橋區(qū)高三上期末考試)已知x0是函數(shù)f(x)=e-x+的零點(diǎn),若x1∈(0,x0),x2∈(x0,2),則(C)(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:x0是f(x)=e-x+的零點(diǎn)等價(jià)于x0是e-x=-QUOTE1x-2的解,畫函數(shù)y=e-x與y=-(y>0)的圖象.由圖象知x1∈(0,x0)時(shí),>-,f(x1)>0;x2∈(x0,2),<-,f(x2)<0.故選C.4.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)位于區(qū)間(m-1,m),m∈Z上,則+log3m等于(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因?yàn)閒(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)x0∈(2,3),f(x)=lnx+2x-6在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=lnx+2x-6存在唯一的零點(diǎn)x0∈(2,3),則整數(shù)m=3,所以QUOTE71m+log3m=3+1=4.故選D.5.設(shè)x0是方程10-x=lgx的解,且x0∈(k,k+1)(k∈Z),則k=.

解析:令F(x)=10-x-lgx,則F(9)=10-9-lg9>0,F(10)=-1<0,所以x0∈(9,10),k=9.答案:9考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的確定[例1](1)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE13x-lnx,則函數(shù)y=f(x)()(A)在區(qū)間(QUOTE1e,1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)(B)在區(qū)間(QUOTE1e,1),(1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)(C)在區(qū)間(QUOTE1e,1)內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)(D)在區(qū)間(QUOTE1e,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)(2)函數(shù)f(x)=logax+x-b(2<a<3<b<4)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:(1)令f(x)=0得QUOTE13x=lnx.作出函數(shù)y=QUOTE13x和y=lnx的圖象,如圖,顯然y=f(x)在(QUOTE1e,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在(1,e)內(nèi)有零點(diǎn).故選D.(2)因?yàn)閒(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>0,所以函數(shù)f(x)=logax+x-b(2<a<3<b<4)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(2,3),故選C.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.1.已知函數(shù)f(x)=lnx-(QUOTE12)x-2的零點(diǎn)為x0,則x0所在的區(qū)間是(C)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:因?yàn)閒(x)=lnx-(QUOTE12)x-2在(0,+∞)上是增函數(shù),又f(1)=ln1-(QUOTE12)-1=ln1-2<0,f(2)=ln2-(QUOTE12)0=ln2-1<0,f(3)=ln3-QUOTE12>0.故f(x)的零點(diǎn)x0∈(2,3).故選C.2.已知函數(shù)f(x)=存在唯一的負(fù)數(shù)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:當(dāng)a<0時(shí),而x<a時(shí),f(x)max<3a<0,則零點(diǎn)在右段函數(shù)取得,故x≥a時(shí),f(x)min=f(QUOTEa2)=3-QUOTEa24=0,解得a=-2QUOTE3或a=2QUOTE3(舍);當(dāng)a=0時(shí),不成立;當(dāng)a>0時(shí),負(fù)零點(diǎn)在左段函數(shù)取得,于是x≥a時(shí),f(x)min=f(a)=3>0,成立.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=-2QUOTE3或a>0}.答案:{a|a=-2或a>0}考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)及個(gè)數(shù)的確定[例2](1)已知函數(shù)f(x)=則下列關(guān)于函數(shù)y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是()(A)當(dāng)k>0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k<0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn)(B)當(dāng)k>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)k<0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn)(C)無(wú)論k為何值,均有3個(gè)零點(diǎn)(D)無(wú)論k為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x-10),且當(dāng)0≤x<10時(shí),f(x)=x3-2x,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()(A)403 (B)402 (C)401 (D)201解析:(1)令f(x)=-1,得x=0或x=QUOTE1e,則有f(kx)=-1或f(kx)=QUOTE1e-1.當(dāng)k>0時(shí),①若x≤0,則kx≤0,ekx-2=-1或ekx-2=QUOTE1e-1,kx=0或kx=ln(1+QUOTE1e),解得x=0或x=(舍去);②若x>0,則kx>0,ln(kx)=-1或ln(kx)=QUOTE1e-1,解得kx=QUOTE1e或kx=,x=或x=,均滿足.所以,當(dāng)k>0時(shí),零點(diǎn)有3個(gè);同理討論可得,k<0時(shí),零點(diǎn)有3個(gè).所以,無(wú)論k為何值,均有3個(gè)零點(diǎn).故選C.(2)由f(x)滿足f(x)=f(x-10)知函數(shù)f(x)是以10為周期的周期函數(shù),且f(1)<0,f(2)>0,故函數(shù)f(x)=x3-2x在(1,2)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn),f(8)>0,f(9)>0,f(10)<0,故函數(shù)f(x)=x3-2x在(9,10)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn),故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間[0,2018]內(nèi)存在402+1=403個(gè)零點(diǎn).故選A.判斷函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)直接法.令f(x)=0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)零點(diǎn)存在性定理法.判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)數(shù)形結(jié)合法.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.(畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù))1.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=0時(shí),得或解得x=-1或x=1.故選C.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=x2,函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=lgx,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:由于f(x-1)=f(x+1),所以函數(shù)y=f(x)的周期為2,由h(x)=0,得出f(x)=g(x),問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖所示,由圖象可知,0≤f(x)≤1,當(dāng)x>10時(shí),g(x)=lgx>1,則函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象在(10,+∞)上沒有交點(diǎn),結(jié)合圖象可知,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象共有10個(gè)交點(diǎn),故選B.考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用[例3]已知函數(shù)f(x)=x-[x],其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).若關(guān)于x的方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()(A)[-1,-QUOTE12)∪(QUOTE14,QUOTE13](B)(-1,-QUOTE12]∪[QUOTE14,QUOTE13)(C)[-QUOTE13,-QUOTE14)∪(QUOTE12,1](D)(-QUOTE13,-QUOTE14]∪[QUOTE12,1)解析:當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)=x,又f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x-[x]=f(x),故函數(shù)f(x)是以1為周期的周期函數(shù).在同一坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)y=f(x),y=kx+k的圖象(過定點(diǎn)(-1,0)),可知當(dāng)方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根時(shí),k滿足或解得QUOTE14≤k<QUOTE13或-1<k≤-QUOTE12.故選B.函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù).根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步:①判斷函數(shù)的單調(diào)性;②利用零點(diǎn)存在性定理,得到參數(shù)所滿足的不等式(組);③解不等式(組),即得參數(shù)的取值范圍.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù),常利用數(shù)形結(jié)合法.(3)借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小.要比較f(a)與f(b)的大小,通常先比較f(a)f(b)與0的大小.若f(x)為奇函數(shù),且x0是y=f(x)-ex的一個(gè)零點(diǎn),則-x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(A)(A)y=f(x)ex+1 (B)y=f(-x)e-x-1(C)y=f(x)ex-1 (D)y=f(-x)ex+1解析:f(x0)=,f(-x0)=-f(x0)=-QUOTEex0,所以f(-x0)+1=-+1=0.故選A.考點(diǎn)四易錯(cuò)辨析(作圖不準(zhǔn)確)[例4]已知以T=4為周期的函數(shù)f(x)=若方程f(x)=mx恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析:因?yàn)楫?dāng)x∈[-1,1]時(shí),將函數(shù)y=化為方程x2+y2=1(y≥0),其圖象為半圓如圖所示,同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈(1,3]的圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象如圖,將y=mx代入(x-4)2+y2=1得(1+m2)x2-8x+15=0,令Δ=64-60(1+m2)>0,得m2<.即-QUOTE1515<m<QUOTE1515,當(dāng)x=6時(shí),6m>1,m>QUOTE16,由圖可知所求正實(shí)數(shù)m的取值范圍為(QUOTE16,QUOTE1515).答案:(QUOTE16,QUOTE1515)本例對(duì)圖象的要求較高(1)函數(shù)f(x)的圖象中既有曲線,又有折線,畫圓時(shí)注意自變量的取值范圍,畫折線時(shí)注意分類討論,然后利用周期性得出函數(shù)在定義域中的圖象.(2)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)畫直線y=mx時(shí),要判定直線與半圓的位置關(guān)系,同時(shí)還需確定與折線頂點(diǎn)的位置關(guān)系,這也是容易遺漏的方面.1.規(guī)定一種運(yùn)算:a?b=a2+2ab-b2,設(shè)函數(shù)f(x)=x?2.且關(guān)于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4的值是(D)(A)-4 (B)4 (C)8 (D)-8解析:由題意函數(shù)f(x)=x2+4x-4,由于函數(shù)y=f(x)、函數(shù)y=lg|x+2|的大致圖象均關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,故四個(gè)根之和為-8.故選D.2.(2019·寧波市北倉(cāng)高三模擬)設(shè)f(x)=,g(x)=ax+5-2a(a>0),若對(duì)于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,則a的取值范圍是(A)(A)[QUOTE52,4] (B)[4,+∞)(C)(0,QUOTE52] (D)[QUOTE52,+∞)解析:當(dāng)x1∈[0,1]時(shí),f(x1)∈[0,1];當(dāng)x0∈[0,1]時(shí),g(x0)∈[5-2a,5-a].因?yàn)閷?duì)于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,所以可知[0,1]?[5-2a,5-a],即解得QUOTE52≤a≤4,故選A.零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定[例題](2015·廣東卷)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a≥2時(shí),討論f(x)+QUOTE4x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解:(1)f(0)≤1?a2+|a|-a(a-1)≤1?|a|+a≤1?a≤QUOTE12,所以a的取值范圍是(-∞,QUOTE12].(2)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1)==所以f(x)在(-∞,a]內(nèi)單調(diào)遞減,在[a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(3)由(2)知f(x)min=f(a)=a-a2.①當(dāng)a=2時(shí),f(x)min=f(2)=-2,f(x)=②f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,所以f(x)>f(2)=-2.而g(x)=-QUOTE4x在(0,2)上單調(diào)遞增,所以g(x)<g(2)=-2,所以f(x)與g(x)在(0,2)上無(wú)交點(diǎn).當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x2-3x.③f(x)+QUOTE4x=0,即x3-3x2+4=0,整理得(x-2)2(x+1)=0.又x≥2,所以x=2.所以當(dāng)a=2時(shí),f(x)+QUOTE4x有一個(gè)零點(diǎn)x=2.當(dāng)a>2時(shí),f(x)min=f(a)=a-a2<0.當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,而g(x)=-QUOTE4x在(0,a)上單調(diào)遞增.當(dāng)x=a時(shí),g(a)=-QUOTE4a.④又a-a2-(-QUOTE4a)=<0,所以f(a)=a-a2<-QUOTE4a,如圖,易得當(dāng)a>2時(shí),f(x)與g(x)=-QUOTE4x有兩個(gè)交點(diǎn).綜上,當(dāng)a=2時(shí),f(x)+QUOTE4x有一個(gè)零點(diǎn)x=2;當(dāng)a>2時(shí),f(x)+QUOTE4x有兩個(gè)零點(diǎn).規(guī)范要求:(1)第①步?jīng)Q定了分類討論的標(biāo)準(zhǔn),標(biāo)準(zhǔn)的起因可根據(jù)兩個(gè)函數(shù)y=f(x),g(x)=-QUOTE4x的圖象的位置分析得出.(2)第②步結(jié)合圖象可知,圖象不能精確地判定當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),但較易觀察得出當(dāng)x∈(0,2)時(shí)無(wú)交點(diǎn),所以再次分類討論,首先用數(shù)據(jù)說明當(dāng)x∈(0,2)時(shí)無(wú)交點(diǎn).(3)第③步解方程說明兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).(4)第④步利用作差法比較當(dāng)x=a時(shí)兩個(gè)函數(shù)值的大小,從而確定零點(diǎn)存在與否,并結(jié)合函數(shù)圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).溫馨提示:(1)解決復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的基本思想是化歸與數(shù)形結(jié)合.(2)含參數(shù)的函數(shù)問題要習(xí)慣于分類討論,能準(zhǔn)確捕捉討論的起點(diǎn),分類的標(biāo)準(zhǔn),且最后要作出總結(jié)歸納.[規(guī)范訓(xùn)練](2018·寧波鎮(zhèn)海高三上期中考試)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|-+a,a∈R,若關(guān)于x的方程f(x)=2有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為.

解析:f(x)=|x-a|-QUOTE3x+a=由x-QUOTE3x=2,解得x=-1或x=3,當(dāng)a≤-1時(shí),x≥a時(shí)f(x)=2的兩個(gè)根為-1和3,因?yàn)榉匠蘤(x)=2有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,所以另一個(gè)根為-5,即-5<a且5+QUOTE35+2a=2,解得a=-QUOTE95;當(dāng)-1<a≤3時(shí),x<a時(shí)f(x)=2有兩根,設(shè)為x1,x2,x≥a時(shí)f(x)=2有一根為3,且有x1+3=2x2,-x-QUOTE3x+2a=2,即x2-(2a-2)x+3=0的兩根為x1,x2.有x1+x2=2a-2,x1x2=3,解得a=,因?yàn)?1<a≤3,所以a=;當(dāng)a>3時(shí),f(x)=2最多有兩個(gè)根,不符合題意.綜上實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為{-QUOTE95,QUOTE5+3338}.答案:{-QUOTE95,QUOTE5+3338}類型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的確定1.函數(shù)f(x)=lnx+x3-8的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(B)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+x3-8是連續(xù)不斷的函數(shù),又f(1)=0+1-8<0,f(2)=ln2+8-8>0,即f(1)·f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=lnx+x3-8的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2),故選B.類型二函數(shù)零點(diǎn)及個(gè)數(shù)的確定2.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時(shí),f(x)=1-x2,函數(shù)g(x)=則方程f(x)-g(x)=0在區(qū)間[-5,5]上的解的個(gè)數(shù)為(C)(A)5 (B)7 (C)8 (D)10解析:依題意得,函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象,結(jié)合圖象得,當(dāng)x∈[-5,5]時(shí),它們的圖象的交點(diǎn)共有8個(gè),即方程f(x)-g(x)=0在區(qū)間[-5,5]上的解的個(gè)數(shù)為8.故選C.3.若方程x2-1=存在3個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)(A)[-2,0)∪(0,QUOTE14] (B)[-2,0)∪(0,QUOTE14)(C)(-2,0)∪(0,QUOTE14] (D)(-2,0)∪(0,QUOTE14)解析:當(dāng)x=1時(shí),可知等式成立,即x=1為方程的1個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)x>1時(shí),x2-1=可化為a=x(x+1),當(dāng)x<1且x≠0時(shí),x2-1=可化為a=-x(x+1),x≠0,令f(x)=則只需y=f(x)與y=a有兩個(gè)交點(diǎn).f(x)圖象如圖所示.當(dāng)x∈(-∞,0)∪(0,1)時(shí),f(x)max=f(-QUOTE12)=QUOTE14,所以當(dāng)a∈(-2,0)∪(0,QUOTE14)時(shí),y=f(x)與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).綜上所述:當(dāng)a∈(-2,0)∪(0,QUOTE14)時(shí),x2-1=存在3個(gè)實(shí)數(shù)根,故選D.類型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用4.函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)(A)(1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)解析:因?yàn)閥=2x在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,y=-QUOTE2x在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)=2x-QUOTE2x-a在區(qū)間(1,2)有一個(gè)零點(diǎn),只需f(1)·f(2)<0,即(-a)(3-a)<0,解得0<a<3.故選C.5.(2019·杭州市期末檢測(cè))若函數(shù)f(x)=+-a(a≠0)存在零點(diǎn),則a的取值范圍是.

解析:函數(shù)f(x)=QUOTEa-