中科大《線性代數(shù)與解析幾何》講義3矩陣與行列式

第三章矩陣與行列式?3.1矩陣的概念對(duì)任意正整數(shù)m和n)由m·n個(gè)數(shù)或不定元排成的m行n列的表╱a11a12...a2n、a21a22...a2nì(3.1)...(am1am2...amn．稱為一個(gè)m·n矩陣。表中的每個(gè)數(shù)或不定元稱為矩陣的元素。排在第i行第j列的元素aij稱為矩陣的第(i,j)元素:當(dāng)i=j時(shí))aii也稱為矩陣的對(duì)角元。矩陣(3.1)通常記為(aij)m×n。兩個(gè)矩陣相等)當(dāng)且僅當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)都相等)且每個(gè)位置上的元素都相等。下面介紹幾種常見的矩陣名稱?！駈·n矩陣稱為n階方陣?！裨囟际?的矩陣稱為零矩陣)通常記為O?！駥?duì)角元是1其它元素都是0的方陣稱為單位陣)通常記為I?！駥?duì)角元是a其它元素都是0的方陣稱為數(shù)量陣)通常記為aI?！袢舴疥嘇=(aij)n×n滿足aij=0對(duì)所有ij成立)A稱為對(duì)角陣)通常記為A=diag(a11,...,ann)?！袢艟仃嘇=(aij)m×n滿足aij=0對(duì)所有i>j成立)則A稱為上三角陣?！袢艟仃嘇=(aij)m×n滿足aij=0對(duì)所有i<j成立)則A稱為下三角陣。●若方陣A=(aij)n×n滿足aij=aji對(duì)所有i,j成立)則A稱為對(duì)稱陣。●若方陣A=(aij)n×n滿足aij=.aji對(duì)所有i,j成立)則A稱為反對(duì)稱陣。●若方陣A=(aij)n×n的每行、每列都恰有一個(gè)元素等于1且其他元素都等于0)則A稱為置換陣?！袢艟仃嘇的元素都取自某個(gè)數(shù)域F)則A稱為數(shù)域F上的矩陣。特別)若A的元素都是復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)、多項(xiàng)式、…)則A分別稱為復(fù)矩陣、實(shí)矩陣、有理數(shù)矩陣、整數(shù)矩陣、多項(xiàng)式矩陣、…。?3.2矩陣的運(yùn)算?3.2.1加法和數(shù)乘設(shè)矩陣A=(aij)m×n和B=(bij)m×n)λ是一個(gè)數(shù)或不定元)則aba12+b12×××a1n+b1n、A+B=．ìa21+b21a22+b22×××a2nA+B=．ì(3.2)am1+am1+bm1am2+bm2×××amn+bmn和.3)λA=．.3)分別定義了矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算)記為A+B=(aij+bij)m×n,λA=(λaij)m×n類似地)可以定義矩陣的減法運(yùn)算和負(fù)矩陣A.B=(aij.bij)m×n,.A=(.aij)m×n按照定義)只有大小相同的矩陣才可以相加減。定理3.1.矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算具有下列性質(zhì),(1)A+B=B+A:(2)(A+B)+C=A+(B+C):(3)A+O=O+A=A:(4)A+(.A)=(.A)+A=O:(5)(λ+μ)A=λA+μA:(6)λ(A+B)=λA+λB:(7)(λμ)A=λ(μA):(8)1A=A。因此)數(shù)域F上的所有m·n矩陣構(gòu)成F上的一個(gè)線性空間)記為Fm×n。設(shè)Eij為(i,j)位置元素等于1)其它位置元素等于0的m·n矩陣)則每個(gè)矩陣A=(aij)m×n都可以唯一地表示成A=么aijEij的形式。于是)Fm×n的i,j維數(shù)等于mn)且{Eij\1<i<m,1<j<nI是Fm×n的一組基。?3.2.2矩陣的乘法并非任意兩個(gè)矩陣A與B都可以相乘)只有當(dāng)A的列數(shù)等于B的行數(shù)時(shí))A與B才可以相乘。設(shè)A=(aij)m×n)B=(bij)n×p)定義A與B的乘積AB=(cij)m×p)其中ncij=ìaikbkj=ai1b1j+ai2b2j+×××+ainbnj(3.4)k=1即cij等于A的第i行與B的第j列相應(yīng)元素的乘積的和。(1)即使A與B是同階方陣)AB與BA也不一定相等。(2)兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣。(3)在A的左邊乘上對(duì)角陣相當(dāng)于將A的各行分別乘上一個(gè)數(shù))在A的右邊乘上對(duì)角陣相當(dāng)于將A的各列分別乘上一個(gè)數(shù)。特別)用數(shù)量陣λI與A相乘的效果等于矩陣的數(shù)乘λA。更特別)IA=AI=A)OA=AO=O。定理3.2.矩陣的乘法運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)(AB)C=A(BC):(2)λ(AB)=(λA)B=A(λB):(3)A(B+C)=AB+AC:(4)(B+C)A=BA+CA。其中A,B,C是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。通過矩陣的乘法)可以定義任意方陣A的正整數(shù)次幕\」\」k另外)對(duì)任意方陣A包括零方陣)規(guī)定A0=I。有了方陣的各次幕)就可以將方陣帶入多項(xiàng)式求值。設(shè)多項(xiàng)式f(x)=c0+c1x+×××+ckxk)定義fA=c0I+c1A+×××+ckAk(3.5)?3.2.3初等變換通過對(duì)線性方程組實(shí)施初等變換)可以消去方程組中的某些變?cè)?將方程組化為階梯形。對(duì)于矩陣)也可以進(jìn)行同樣的操作,●交換某兩行(列)的位置:●用某個(gè)非零數(shù)乘以某行(列):●某行(列)的若干倍加到另一行(列)。以上三種對(duì)矩陣的行的操作稱為矩陣的初等行變換)三種對(duì)矩陣的列的操作稱為矩陣的初等列變換)這六種操作統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。對(duì)單位方陣施行初等變換)得到的方陣稱為初等方陣?！窠粨Q單位陣的第i,j行)或交換第i,j列)得到Sij=(0110、ììììììììììì-第j行ì1．.6)●用數(shù)λ乘以單位陣的第i行)或用數(shù)λ乘以第i列)得到、...1Pi(λ)=λ-第i行(3.7)ì(1．●將單位陣的第j行的λ倍加到第i行)或?qū)⒌趇列的λ倍加到第j列)得到、1λ-Tij(λ)=...(3.8)11-第j行...(．定理3.3.對(duì)矩陣作初等行變換)相當(dāng)于在矩陣的左邊乘上一個(gè)初等方陣:對(duì)矩陣作初等列變換)相當(dāng)于在矩陣的右邊乘上一個(gè)初等方陣。?3.2.4矩陣的分塊在矩陣運(yùn)算過程中)如果總是把矩陣的所有元素都寫出來)這將是一個(gè)非常繁瑣的工作)有時(shí)既無必要也不可能。一個(gè)自然的方式是把m·n矩陣╱a11a12...a1n、-β1a21a22 a2n-β2A=．ì (am1am2...amn．-βmtttα1α2...αn視作n個(gè)列向量按行排在一起)或m個(gè)行向量按列排在一起。記為╱β1、A=Jα1α2...αn、或A=β..2βm(βm一般地)可以將矩陣同時(shí)按行按列分成若干塊。╱A11A12...A1s、A=(Aij)r×s=A2..1A2..2..s(3.9)(Ar1Ar2...Ars．稱為分塊矩陣)每個(gè)Aij稱為A的子塊。更一般地)由A的若干行I={i1,i2,...,irI和若干列J={j1,j2,...,jsI上的元素組成的r·s矩陣稱為A的子矩陣)通常記為A(I,J)。設(shè)矩陣╱B11B12...B1s、B=(Bij)r×s=Br1Br1Br2...Brs與A有著相同的矩陣大小和分塊方式)λ是一個(gè)數(shù)或不定元。易見╱A11+B11A12+B12...A1s+B1s、A+B=(Aij+Bij)r×s=...A+B=(Aij+Bij)r×s=...(Ar1+Br1Ar2+Br2...Ars+Brs．╱λA11λA12λA=(λAij)λA=(λAij)r×s=(λAr1λAr2對(duì)于分塊矩陣的乘法)也有類似的結(jié)論。λA1s、λA2sìλArs．定理3.4.設(shè)m·n矩陣A和n·p矩陣B被分塊成為A=(Aij)r×s,B=(Bij)s×t)其中每個(gè)Aik的列數(shù)與每個(gè)Bkj的行數(shù)相同。則有AB=AikBkj?3.2.5共軛、轉(zhuǎn)置和跡當(dāng)A是復(fù)矩陣的時(shí)候)將A的每個(gè)元素?fù)Q成它的共輒復(fù)數(shù))得到的矩陣A=(aij)m×n=a2..1a2..2..n(3.10)稱為A的共軛矩陣。映射A一A稱為共軛運(yùn)算。 定理3.5.矩陣的共輒運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)A=A(2)A+B=A+B(3)λA=λA(4)AB=AB(5)AT=AT)其中A,B是使運(yùn)算有意義的復(fù)矩陣)λ是復(fù)數(shù)或不定元。將矩陣A=(aij)m×n的行列互換)得到的矩陣AT=AT=(aji)n×m=(a1n am1、am2ìamn．1)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。映射A一AT稱為轉(zhuǎn)置運(yùn)算。定理3.6.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(λA)T=λAT(4)(AB)T=BTAT)其中A,B是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。矩陣A的對(duì)角元之和)稱為A的跡)記作tr(A)。定理3.7.矩陣的跡具有以下性質(zhì),(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(λA)=λtr(A)(3)tr(AB)=tr(BA))其中A,B是使運(yùn)算有意義的矩陣)λ是數(shù)或不定元。?3.3行列式2階行列式?2=|的幾何涵義是以α=(a1,a2),β=(b1,b2)為鄰邊的平行四邊形的有向面積:▲β′′′ ∵O3階行列式的幾何涵義是以α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),γ=(c1,c2,c3)為棱的平行六面體的有向體積。α對(duì)于一般正整數(shù)n)我們也希望能夠計(jì)算n維向量α1,α2,...,αn張成的n維平行多面體的"有向體積"?n。這就是n階行列式)記為?n=det(α1,α2,...,αn)。?3.3.1行列式的定義n,β1,β2,...,βn是任意n維向量)x,y是任意常數(shù)。滿足下面性質(zhì)(1)、(2)、(3)的函數(shù)det(α1,α2,...,αn)稱為n階行列式,(1)det(α1,α2,...,αn)對(duì)于每個(gè)變量αi都是線性的。detxiyβi,...)=xdet(...,αi,...)+ydet(...,βi,...)(2)如果α1,α2,...,αn中存在兩個(gè)向量相等)則函數(shù)值為0。tii(3)單位正方體的"有向體積"等于1。設(shè)e1,e2,...,en是單位坐標(biāo)向量)則有由性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2))我們還可以得到(4)將α1,α2,...,αn中某兩個(gè)向量互換位置)行列式變?yōu)橄喾磾?shù)。(5)將α1,α2,...,αn中某個(gè)向量乘以λ)行列式為原來的λ倍。deti(6)將α1,α2,...,αn中某個(gè)向量的λ倍加到另一個(gè)向量上)行列式不變。detiijdeti,...,αj,...)?3.3.2排列的奇偶性將自然數(shù)1,2,...,n按照任意順序排成的一個(gè)有序數(shù)組s=(s1s2...sn)稱為一個(gè)n元排列。排列(12...n)稱為標(biāo)準(zhǔn)排列。n元排列共有n!個(gè))所有n元排列的集合通常記為Sn。對(duì)于任意一個(gè)排列s=(s1s2...sn))有可能出現(xiàn)i<j且si>sj的情形。這樣的一對(duì)數(shù)(sisj)稱為一個(gè)逆序。所有逆序的個(gè)數(shù)稱為逆序數(shù))通常記為τ(s)。當(dāng)τ(s)為偶數(shù)時(shí))s稱為偶排列:當(dāng)τ(s)為奇數(shù)時(shí))s稱為奇排列。交換一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置)其它數(shù)保持不動(dòng))這稱為一次對(duì)換。定理3.8.一次對(duì)換改變排列的奇偶性。定理3.9.任意排列s可經(jīng)過τ(s)次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列。?3.3.3方陣的行列式設(shè)αi=(a1i,a2i,...,ani)是n階方陣A=(aij)n×n的第i個(gè)列向量(i=1,2,...,n))我們有det(α1,...,αn)=det/ai1ei,ai2ei,...,ainei\=zai11ai22...ainndet(ei1,ei2,...,ein)1≤i1,i2,...,in≤n=z(.1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn(3.12)(i1i2...in)eSn同理)設(shè)βi=(ai1,ai2,...,ain)是A的第i個(gè)行向量(i=1,2,...,n))我們有(j=1j=1j=1．det(β1,...,βn)=det╱a1jej,a2jej,...(j=1j=1j=1．=ìa1j1a2j2×××anjndet(ej1,ej2,...,ejn)1≤j1,j2,...,jn≤n=ì(.1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2×××anjn(3.13)(j1j2...jn)eSnainndetndet1,...,αn)(3.14)稱為方陣A的行列式)記作det(A)或者a1aa2aa1na21aa22aa2nan1an2ann許多教科書也將(3.12)式或者(3.13)式作為n階行列式的定義。由此)我們得到行列式的另一個(gè)性質(zhì)(7)將方陣轉(zhuǎn)置)行列式不變。det(A)=det(AT)利用(3.12)式或者(3.13)式)可得上三角方陣的行列式類似地)|1..r0.0a1na2n=a11a22×××annanna1,r+1ar,r+1ar+1,r+1an,r+1a1nar,nar+1,nann5)6)a11ar1更一般地)對(duì)準(zhǔn)上三角形的分塊矩陣)有A11OO?3.3.4行列式的計(jì)算計(jì)算行列式的最基本的方法是利用行列式的定義和性質(zhì)(1)_(7))通過初等變換)將一般方陣的行列式化為上(下)三角方陣的行列式。5.114.4.5.2.55.3.1計(jì)算行列式的另一個(gè)基本的方法是利用行列式的展開定理)將高階行列式化為低階行列式。刪去n階方陣A=(aij)n×n的第i行和第j列之后)剩下的n.1階方陣的行列式Mij)稱為aij的余子式)Aij=(.1)i+jMij稱為aij的代數(shù)余子式。A的所有代數(shù)余子式排列成的n階方陣A*=A*=(Aji)n×n=(A1n稱為A的伴隨方陣。定理3.11(按一列或一行展開行列式).n(1)det(A)=么aijAij)Aj=1,2,...,n。i=1n(2)det(A)=么aijAij)Ai=1,2,...,n。j=1定理3.12.A*A=AA*=det(A)I。 An1、An2ìAnn．8)例3.13.計(jì)算例3.13.計(jì)算n階行列式?n=2100121012010012當(dāng)一個(gè)方陣可以分解為若干個(gè)方陣的乘積的時(shí)候)乘積的行列式等于行列式的乘積。這種方法對(duì)于計(jì)算一些特殊方陣的行列式特別有效。定理3.14.設(shè)A,B都是n階方陣)則det(AB)=det(A)det(B)。?3.4逆矩陣在?5.2.2中)我們定義了矩陣的乘法和方陣的正整數(shù)方幕運(yùn)算)自然也希望能夠定義矩陣的"除法"和方陣的負(fù)整數(shù)方幕運(yùn)算。對(duì)于矩陣A和B)希望矩陣方程AX=B或YA=B有唯一解)從而可以定義A/B或B/A。對(duì)于方陣A)希望存在方陣X滿足AX=XA=I)從而可以定義A_1和A的負(fù)整數(shù)方幕。為此我們引入逆矩陣的概念。?3.4.1逆矩陣的定義對(duì)于方陣A)如果存在方陣X滿足AX=I或XA=I)則稱A可逆)并稱X為A的逆矩陣)記為A_1。定理3.16.方陣A可逆的充分且必要條件是det(A)0。定理3.17.當(dāng)方陣A可逆時(shí))A有唯一逆矩陣A_1=A*。定理3.18.逆矩陣運(yùn)算具有以下性質(zhì),(1)(A_1)_1=A(2)(A_1)T=(AT)_1(3)AT=AT(4)(AB)_1=B_1A_1)其中A,B都是可逆方陣。?3.4.2逆矩陣的計(jì)算計(jì)算逆矩陣的最基本的方法是利用逆矩陣的定義)通過求解線性方程組AX=I得到逆矩陣。╱210例3.19.設(shè)A=00010、0ì)計(jì)算A_1。1ì2．計(jì)算逆矩陣的另一個(gè)方法是通過計(jì)算行列式det(A)和伴隨方陣A*。當(dāng)A的階數(shù)較小或行列式和余子式容易計(jì)算時(shí))此法特別有效。ì例3.20.設(shè)n階方陣A=01......0)計(jì)算A_1。ì21當(dāng)一個(gè)方陣可以分解為若干個(gè)可逆方陣的乘積的時(shí)候)還可以通過定理3.18計(jì)算它的逆矩陣。．例3.21.設(shè)n階方陣A=1．?3.4.3Cramer法則12221、2ìì3)計(jì)算A_1。ìn．n．．．．定理3.22(Cramer法則).當(dāng)系數(shù)矩陣A=(aij)n×n的行列式?0時(shí))線性方程組(3.19)有唯一解xj=)j=1,2,...,n。其中?j是將A的第j列換