復(fù)變函數(shù)與積分變換答案(馬柏林、李丹橫、晏華輝)修訂版,習(xí)題2

------------------------------------------------------------------------復(fù)變函數(shù)與積分變換答案(馬柏林、李丹橫、晏華輝)修訂版,習(xí)題2習(xí)題二1.求映射下圓周的像.解：設(shè)則因?yàn)?所以所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）；（2）;(3)x=a,y=b.(a,b為實(shí)數(shù))解：設(shè)所以(1)記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2)記，則映成了w平面上扇形域，即(3)記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.(1);解：令,則.于是.(2);解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因?yàn)樗?4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1)解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2)解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個z平面連續(xù).5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1)(n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導(dǎo)..(2).解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3).解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4).解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有當(dāng)z=0時,從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時,即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4).解：設(shè)，則所以只有當(dāng)z=0時才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7.證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1);證明：因?yàn)?，所?.所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2)解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3)Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1,因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4)Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5.|f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z)0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6)argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得C-R條件→解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2).證明：處處可微，且所以,所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10.設(shè)求證：(1)f(z)在z=0處連續(xù)． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足C-R條件．(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件從而在D1內(nèi)解析13.計算下列各值(1)e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.設(shè)z沿通過原點(diǎn)的放射線趨于∞點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時，r→∞． 故． 所以．15.計算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)．設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)．17.計算下列各值．(1)(2)(3)18.計算下列各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19.求解下列方程(1)sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20.若z=x+iy，求證(1)sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明： (4)|cosz|2=cos2x+sh2y證