千題百煉-高考數(shù)學100個熱點問題一：第22煉恒成立問題-參變分離法

第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)第22煉恒成立問題——參變分離法一、基礎知識：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數(shù)），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構造關于它的函數(shù)，另一個字母（一般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密”，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法。例如：（1—1、＜logx，上xe-依＞1等a1一x（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值）若解析式過于復雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。（可參見”恒成立問題一一最值分析法”中的相關題目）4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設x為自變量，其范圍設為D，f（x）為函數(shù)；a為參數(shù)，g（a）為其表達式）（1）若f（x）的值域為[m,M]①VxeD①VxeD,g(a)<f(x)VxeD,g(x)<f(x)②VxeD,g(a)>f(x)VxeD,g(a)>f(x)則只需要g(a)<f(x).=m則只需要g(a)<f(x).=m則只需要g(a)>f(x) =Mmax則只需要g(a)>f(x) =Mmax則只需要g(a)<f(x)max則只需要g(a)<f(x)max則只需要g(a)>f(x)min

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)3xeD,g(a)>f(x)，則只需要g(a)>f(x)=m(2)若f(x)的值域為(m,M)VxeD,g(a)<f(x)，則只需要g(a)<mVxeD,g(a)<f(x)，則只需要g(a)<m(注意與(1)中對應情況進行對比)VxeD,g(a)>f(x)，則只需要g(a)>MVxeD,g(a)>f(x)，則只需要g(a)>M(注意與(1)中對應情況進行對比)③3xeD,g(a)<f(x)，則只需要g(a)<M(注意與(1)中對應情況進行對比)3xeD,g(a)<f(x)，則只需要g(a)<M④3xeD,g(a)>f(x)，則只需要g(a)>m(注意與(1)中對應情況進行對比)3xeD,g(a)>f(x)，則只需要g(a)>m5、多變量恒成立問題：對于含兩個以上字母(通常為3個)的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知(作為變量)，那個是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理(1)選擇一個已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進行分離。則不含參數(shù)的一側可以解出最值(同時消去一元)，進而多變量恒成立問題就轉化為傳統(tǒng)的恒成立問題了。(2)將參數(shù)與變量進行分離，即不等號一側只含有參數(shù)，另一側是雙變量的表達式，然后按所需求得雙變量表達式的最值即可。二、典型例題：例1：已知函數(shù)f(x)=ex—ae-x，若f1(x)>2萬恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 思路：首先轉化不等式，f(x)=ex+ae-x,即ex+—>2-<3恒成立，觀察不等式a與exex便于分離，考慮利用參變分離法，使a,x便于分離，考慮利用參變分離法，使a,x分居不等式兩側，恒成立，只需a>((ex)+2s3e)令g(x)=-Q)a>—Ox)+2\:3ex，若不等式+2、：3ex=—Cx—\.,3)+3(解max析式可看做關于ex的二次函數(shù)，故配方求最值)g(x) =3，所以a>3答案：a>3例2：已知函數(shù)f(x)=lnx-a，若f(x)<x2在(1,+s)上恒成立，則a的取值范圍是x

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)a思路：恒成立的不等式為lnx--<x2，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法x解：lnx——<x2oxInx_a<x3oa>xInx-x3,其中xe(1,+s)x只需要a只需要a>(x1nx-x3)，令g(x)=xInx-x3g'(x)g'(x)=1+lnx-3x2成立；當x<0時，( 3\2a>3x+1+——I4x)max3 (一3、一而3x+1+———1——3x+———<-24x I 4x)（導函數(shù)無法直接確定單調區(qū)間，但再求一次導即可將1nx變?yōu)橐?，所以二階x導函數(shù)的單調性可分析，為了便于確定g'（x）的符號，不妨先驗邊界值）g'①二-2，g"（x）=x-6x=千<0,（判斷單調性時一定要先看定義域,有可能會簡化判斷的過程)g1(x)在(1,+8)單調遞減，，g1(x)<g'(1)<0ng(x)在(1,+8)單調遞減/.g(x)<g(1)=-1 二.a2—1答案：a>-1小煉有話說：求導數(shù)的目的是利用導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調性，當導函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據(jù)導函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數(shù)，進而通過單調性和關鍵點（邊界點，零點）等確定符號。3TOC\o"1-5"\h\z例3：若對任意xeR，不等式3x2-2ax>|x|-4恒成立，則實數(shù)a的范圍是 .思路：在本題中關于a,x的項僅有2ax一項，便于進行參變分離，但由于xeR,則分離參數(shù)時要對x的符號進行討論，并且利用x的符號的討論也可把絕對值去掉，進而得到a的范\o"CurrentDocument"一-- 3 -一 3一八「， .3、\o"CurrentDocument"圍,3x2-2ax>x—o2ax<3x2-x+—,當x>0時，2a<3x-1+—— ,而4 4， I4x)min\o"CurrentDocument"八- 3-3 3當x―0時，不等式恒3x—1+——3x+——1>2.13x 1—2「.2a<2^na當x―0時，不等式恒\o"CurrentDocument"4x 4x 4x「.2a>-2na>-1綜上所述：-1<a<1答案：-1<a<1小煉有話說：（1）不等式含有絕對值時，可對絕對值內部的符號進行分類討論，進而去掉絕

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)對值，在本題中對了進行符號討論一舉兩得：一是去掉了絕對值，二是參變分離時確定不等號的是否變號。（2）在求了解析式最值時根據(jù)式子特點巧妙使用均值不等式，替代了原有的構造函數(shù)求導出最值的方法，簡化了運算。（3）注意最后確定a的范圍時是三部分取交集，因為是對了的取值范圍進行的討論，而無論了取何值，a的值都要保證不等式恒成立，即a要保證三段范圍下不等式同時成立，所以取交集。一 「3 、一.—、例4：設函數(shù)f(x)=x2-1，對任意的xe-，+8,f--4m2f(x)<f(x-1)+4f(m)_2 7恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是思路：先將不等式進行化簡可得:-1-4m2(x2-1)<(x-1)2-1+4(m2-1)，即思路：先將不等式進行化簡可得:便于進行分離，考慮不等式兩邊同時除以了便于進行分離，考慮不等式兩邊同時除以了2，可得:VxVx2 7min…(2)最小值g——V37一4m2<-3n12m4-5m2—3>0即(3m2+1)Qm2—3)>0解得：me( 解得：me( 6-8,——V2答案：me(-8,-WV2小煉有話說：本題不等式看似復雜，化簡后參變分離還是比較容易的，從另一個角度看本題所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數(shù)圖像來解決呢？并不是一個很好的辦法，因為二次項系數(shù)為關于m的表達式且過于復雜，而對稱軸的形式也不利于下一步的計算。所以在解題時要注意觀察式子的結構，能夠預想到某種方法所帶來的運算量，進而做出選擇

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)例5：若不等式x2+2+x3—2x>ax對xe(0,4)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是思路:x2+2+x3—2x>axna<令f(x)=，對絕x2+2+x3—2x>axna<令f(x)=，對絕min對值內部進行符號討論， 即f(x)=x+—+x+—+x2—2,<2<x<4x2 L，而x+—+2—x2,0<x<v2xy=x+—+x2—2在 單調遞增x出f(x)min=f(也)=2"在(0,J2］單調遞減???可求答案：a<2<2e2x2+1 e2x例6：設正數(shù)f(x)= ,g(x)=——對任意2式0,+Q，不等式g(x)f(x)T&口恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是kf(x)思路：先將k放置不等號一側，可得g”fkf(x)所以一之,max先求出g(x)的最大值，g'(x)=e2-(1—x)e-x，可得g(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+s)單調遞減。故g(x) =g(1)=e，所以若原不等式恒成立，只需kf(x2)>e，不等式中只含max k+1k,x1，可以考慮再進行一次參變分離，k,x1，可以考慮再進行一次參變分離，f(x)，則只需2,mine2x2+1 1< 1f(x)= =e2x+—>2.e2x?一=2e,mink+1,所以e <2e解得：k>1k答案：k>1例7：已知函數(shù)f(x)=ax2—(2a+1)x+Inx,aeR,g(x)=ex—x—1，若對于任意的

第二早第22第二早第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)x1￡(0,+8),x2eR，不等式fG])?g(xJ恒成立，求實數(shù)a的取值范圍思路：f(x)含有參數(shù)a，而g(x)為常系數(shù)函數(shù)，且能求出最值，所以以g(x)為入手點：若f(x)<g(x)恒成立，則只需f(x)<[g(x)]?？汕蟪鰃(x)=0,進而問題轉1 2 1 min min化為Vxie(0,+8)，ax2-(2a+1)、+In\<0恒成立，此不等式不便于利用參變分離求解，考慮利用最值法分類討論解決解：??,f(5)<g(xJ恒成立???只需f(%)<g(x)i由g(x)=ex-x-1得：g1(x)=ex-1，令g1(x)>0解得：x>0?..g(x)在(-8,0)單調遞減，在(0,+8)單調遞增??.g(x)=g(0)=0/.Vxe(0,+8)，ax2-(2a+1)x+Inx<0恒成立即只需f(x) <02ax2-(2a+1)x+1(2ax-l)(x-1)f'(x)=2ax-2a-1+—= = xx x2a+1當a>0時，令x= a0，與f(x)<0矛盾當a<0時，2ax-1<0/.f1(x)>0解得x<1/f(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+8)單調遞減/f(x)=f(1)=a-(2a+1)=-a-1/.-a—1<0^^a2-1綜上所述：ae[-1,0]小煉有話說：(1)在例6,例7中對于多變量恒成立不等式，都是以其中一個函數(shù)作為突破口求得最值，進而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。(2)在本題處理f(x(2)在本題處理f(x)<0恒成立的過程中，對令x= 這個反例，是通過以下兩點確a

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)定的：①a>0時估計f（x）函數(shù)值的變化，可發(fā)現(xiàn)當xf+s時，ax2-（2a+1）X>0（平方比一次函數(shù)增長的快）②在選取特殊值時，因為發(fā)現(xiàn)X>1時，lnx已然為正數(shù)，所以只=2+1>0，剛好符a需前面兩項相消即可，所以解方程ax2—（2a+1）x=0n=2+1>0，剛好符a合反例的要求。則正數(shù)a的最小值是（）例8：若不等式X+2J2xy<a（x+y）對任意正數(shù)x,y恒成立則正數(shù)a的最小值是（）A.12<2+A.12<2+—22<2+1思路：本題無論分離了還是分離J都相對困難，所以考慮將X,J歸至不等號的一側，致力于去求x,y表達式的最值：x+2J2xy<a(x+y)na>X+2\/2Xy，從2{2xy入手考慮使用均值不等式：2{2xy=2，x?2y<x+2y考慮使用均值不等式：2{2xy=2，x?2y<x+2yn < =2，所以a>2答案：B小煉有話說：（1）在多變量不等式恒成立問題上處理方式要根據(jù)不等式特點靈活選擇合適的方法本題分離a與X,y很方便，只是在求二元表達式最值上需要一定的技巧。方法本題在求X+入’2"的最大值時，還可以從表達式分子分母齊次的特點入手，同時除x+y（或y）：-1+2：2yx+2V'2xy Xx~X，在通過換元t=:y轉化為一元表達式，再求最1+1+lnx例9：已知函數(shù)f（X）=一如果當X>1時"等式于（X）>方恒成立，求實數(shù)k1+1+lnx思路：恒成立不等式為 ，只需不等號兩側同時乘以X+1即可進行參變分離，且由于X>1,X+1>0，也不存在不等號變號問題。則可得：k<（X+1）（1+lnX），只需

第三章第22第三章第22煉恒成立問題一一參變分離法導數(shù)(x+1)(1+Inx)k<\即可，設g(x)=k<\xJ.xJ.min〃 1+lnx、k7,(x+1)(1+Inx)解：x>1/. > ok< xx+1 x即只需要k<Ix廠min(x+1)(1+Inx)設g(x)= x()[(x+1)(1+lnx)]x-(x+1)(1+Inx)令h(x)=x-lnx (分子的符號無法直接判斷，所以考慮再構造函數(shù)進行分析)「.h'(x)=1--=x~x>1/.h'(x)>0xx「.h(x)在(1,+s)單調遞增 二.h(x)>h(1)=1>0/.g,(x)>0 「.g(x)在(1,+s)單調遞增 二.g(x) =g(1)=2/.k<2答案：k<2f(x)例10：已知函數(shù)f(x)=x+xlnx,若keZ，且k<——-對任意x>1恒成立，則k的最x-1大值為..7f(x)x+xlnx7(x+xlnx) (xx+xlnxTOC\o"1-5"\h\z思路：恒成立不等式k<^—= —，：.k< — ，令g(x)= —,x-1x-1 Ix-1J x-1min則g1(x)=x/1n\2，考慮分子h(x)=x-lnx-2,h'(x)=1-1