23屆老高考數(shù)學(xué)備用題：第八單元 數(shù)列

第八單元數(shù)列§8.1數(shù)列的概念1.在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應(yīng)取()A．19 B．20C．21【答案】C. D．22【解析】設(shè)題中數(shù)列{an}，則a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21.故選C.2.（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且bn=anA．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=10；由2Sn=3n2+17n當(dāng)n≥2時(shí)2Sn?1=3(n?1)2+17(n?1)，兩式相減，可得2an=6n+14解得an=3n+7，當(dāng)n=1時(shí)，也符合該式，故an=3n+73.已知，則數(shù)列的圖象是（）A．一條直線 B．一條拋物線C．一個(gè)圓 D．一群孤立的點(diǎn)【答案】D【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可以看作為關(guān)于n的一次函數(shù)，變量，數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).故選D.4.已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()A.an=(?1)n?1C.an=2sin【答案】C【解析】對(duì)n＝1，2，3，4進(jìn)行驗(yàn)證，C不合題意.故選C5.(2021·湖南三模)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，則a2021的值為()A．－1 B.eq\f(1,2)C．2 D．3【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，所以an＋1＝1－1an，所以a2＝12，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，可知數(shù)列有周期性，周期為3.而2021＝3×673＋2，所以a2021＝a2＝eq\f(1,2).故選B.6.將數(shù)列{3n-1}與{2n+1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的第10項(xiàng)為（）A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1【答案】D【解析】設(shè)bn=3n?1，cn=2則3m?1=2n+1，解得m=2n即a1=c2，a27.（2021·鄭州河南高三模擬）已知數(shù)列an滿足a1=28，aA．293 B．47?1 C．485【答案】C【解析】由an+1?an=2n知：a2?相加得：an?a1=n2?n，∴ann=n+28n8.在數(shù)列an中，a1=2，aA．lnn B．2+n?1lnn C．【答案】D【解析】由題意得，an+1n+1=ann+由累加法得，ann=a11+ln9.（2021·安徽安慶高三模擬）將三角形數(shù)列中的各項(xiàng)排列如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，，…以此類推，則數(shù)列的第2021項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，前行項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴是第45行第85個(gè)數(shù)，．故選：C．10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－λn＋1，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．【答案】(－∞，3)【解析】由題意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n210.（2021·福建高三模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a【答案】a【解析】由Sn=n2an，可得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=n?12an?1，則an=Sn?Sn?111．?dāng)?shù)列滿足，，實(shí)數(shù)為常數(shù).①數(shù)列有可能是常數(shù)列；②時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；③若，則的取值范圍是；④時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.則以上判斷正確的序號(hào)是___________.（寫出符合條件的所有序號(hào)）【答案】①②④．【解析】數(shù)列滿足，，實(shí)數(shù)為常數(shù)．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，故①正確；對(duì)于②，時(shí)，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，故②正確；對(duì)于③，若，故，解得，故的取值范圍是，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，且，所以，整理得，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故④正確．故答案為：①②④．12.（2021·上海高三模擬）已知正整數(shù)數(shù)列an滿足an+1=3a【答案】4【解析】由題意a2=4，a3=2，a4=1，a5數(shù)列{an}故答案為：4．13.（2021·江蘇常州高三模擬）已知數(shù)列an滿足1?2a11?2a【答案】n×【解析】因?yàn)閿?shù)列an滿足1?2a當(dāng)n=1時(shí)，1?2a1當(dāng)n≥2時(shí)，1?2除②得1?2an所以an是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a所以2設(shè)數(shù)列2nan前n∴∴2兩式相減得?T∴?∴故答案為：n×214.（2021·河南高三模擬）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=3a【答案】?【解析】∵an+1=3an∵a121?12又對(duì)任意的n∈N?,即3n?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ<?32n?1恒成立，此時(shí)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ>?32n?1恒成立，此時(shí)?3綜上，?32<λ<115.（2021·河南一模）設(shè)數(shù)列an滿足a1=2，2an+1【答案】a【解析】解：（1）由已知，an+1所以a2?a1=an+1各項(xiàng)累加可得an+1又a1=2，所以所以an=22(n?1)+1所以an§8.2等差數(shù)列1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，則a6＝（）A．16 B．13C．－9 D．37【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由S5＝5S2＋a4，得5a1＋d＝5(2a1＋d)＋(a1＋3d)．將a1＝1代入上式，得d＝3.故a6＝a1＋5d＝1＋15＝16.故選A.2.（2021·安徽高三開學(xué)考試）我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將、、、填入的方格內(nèi)，使三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于，如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)、、、、填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對(duì)角線上的數(shù)的和為，如圖三階幻方記為，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幻方的定義可知，每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，，所以，.故選B.3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4＝0，a5＝5，則()A.an＝2n－5 B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝eq\f(1,2)n2－2n答案A解析設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d.由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n2－4n.故選A.4.(2021·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，則a4＝0.∴d＝eq\f(a8－a4,8－4)＝2.故選D.5.已知數(shù)列中，，，若其前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A．167 B．168 C．169 D．170【答案】C【解析】∵，，∴數(shù)列為首項(xiàng)為25，公差為的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴時(shí)，取最大值，最大值為169.故選C.6.（2021·山西高三模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由，可得所以，所以，故選D.7．習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬(wàn)元.故選C.8．（2021·四川綿陽(yáng)高三模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】∴∴，故選B.9.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，故選A．10．（2021·云南曲靖高三二模）在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前13項(xiàng)和=（）A．5200 B．2600 C．1500 D．1300【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，所以，所以前13項(xiàng)和.故選D.11.（2021·黑龍江高三模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，則=（）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，成等差數(shù)列，所以，成等差數(shù)列，進(jìn)而得到，所以，.故選D.12．在等差數(shù)列中，，且，則使的前n項(xiàng)和成立的自然數(shù)n不可能為（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】∵為等差數(shù)列，，∴，又∵，∴，即，由，故使的前n項(xiàng)和成立的最大的自然數(shù)為19.故選D.13．設(shè)數(shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列與的前n項(xiàng)和，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為p，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，為等差數(shù)列，公差為，，，，，故選A.14．?dāng)?shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，，所以n的最大值為11.故選C.15．(2021·全國(guó)大聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，若eq\f(a10,a9)<－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是()A.15 B.16 C.17 D.14答案C解析∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和有最大值，∴等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，又eq\f(a10,a9)<－1，∴a9>0，a10<0，∴a9＋a10<0，又S18＝eq\f(18（a1＋a18）,2)＝9(a9＋a10)<0，且S17＝eq\f(17（a1＋a17）,2)＝17a9>0.故使得Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值為17.故選C.16.已知等差數(shù)列，則是該數(shù)列的第項(xiàng).答案20解析設(shè)該等差數(shù)列為，由已知可得,則通項(xiàng)公式為，令，則17.已知等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)分別為，則此數(shù)列的公差為.答案解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可，即，則這3項(xiàng)分別為..已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和答案解析設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則，即.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：，可得即：整理可得：解得：.根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.20.作為重要的文化傳播媒介，電影不僅可以拓寬青少年的視野，還能提高其藝術(shù)鑒賞能力．進(jìn)電影院看電影是當(dāng)下許多年輕人喜愛的休閑娛樂方式．某電影院IMAX巨幕放映廳第一排有8個(gè)座位，從第二排起，每一排都比它的前一排多1個(gè)座位，共有10排．試問該放映廳一共有多少個(gè)座位？答案125解析用表示第n排的座位數(shù)，易知｛｝為等差數(shù)列，其中，，該放映廳的座位數(shù)即為數(shù)列｛｝的前10項(xiàng)和，.所以該放映廳一共有125個(gè)座位.21.設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.解析(1)設(shè){an}的公差為d.因?yàn)閍1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因?yàn)閍2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.則當(dāng)n≥7時(shí)，an>0；當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0，當(dāng)n<6時(shí)，an<0；所以Sn的最小值為S5＝S6＝－30.22．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝eq\f(Sn,n)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.(1)解設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(k（k－1）,2)·d＝2k＋eq\f(k（k－1）,2)×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明由(1)得Sn＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝eq\f(n（n＋3）,2).23.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù).(1)證明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設(shè)知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解存在實(shí)數(shù)λ，理由如下：由題設(shè)知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.24．在等差數(shù)列中，已知，．（1）求通項(xiàng)及前項(xiàng)和；（2）求的最大值以及取得最大值時(shí)的序號(hào)的值；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解析（1）等差數(shù)列中，設(shè)公差為，，所以，；，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得；（2）由（1）得，，對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，，或時(shí)，有最大值，此時(shí)，（3）數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)時(shí)，；綜上，25.（2021·廣東高三開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，且滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿足的n的最小值．【答案】（1）證明見解析，；（2）10．【解析】（1）證明：因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以；（2）因?yàn)椋?，解得，所以滿足的n的最小值為10．26．已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得又，，故，即，即所以是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所?§8.3等比數(shù)列1.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.0<q<1 B.a6>1C.T12>1 D.T13>1答案D解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)<0，得a6<1，a7>1或a6>1，a7<1，當(dāng)a6<1，a7>1時(shí)，q>1，但由a1>1得an>1，與a6<1矛盾，因此舍去.當(dāng)a6>1，a7<1時(shí)，0<q<1，滿足題意.所以0<q<1.因?yàn)閍6a7＋1>2，所以a6a7>1，所以T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1，T13＝aeq\o\al(13,7)<1.故選D.2.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1答案B解析方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，①,a4q2－a4＝24，②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2.將q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．故選B.3．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，則S3等于()A.eq\f(26,9)B.eq\f(13,3)C.eq\f(13,9)D．6答案A解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝\f(2,3)，,\f(1,a1)＋\f(1,a1q)＋\f(1,a1q2)＝\f(13,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(2,9)，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,3)，))當(dāng)a1＝eq\f(2,9)，q＝3時(shí)，S3＝eq\f(\f(2,9)1－33,1－3)＝eq\f(26,9)；當(dāng)a1＝2，q＝eq\f(1,3)時(shí)，S3＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3)),1－\f(1,3))＝eq\f(26,9)，所以S3＝eq\f(26,9).故選A.4.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選D.5.設(shè)單調(diào)遞增等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，則正確的是()A．Sn＝2n－1－1 B．a(chǎn)n＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1 D．Sn＝2n－1答案D解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2a3a4＝64，∴aeq\o\al(3,3)＝64，解得a3＝4.又a2＋a4＝10，∴eq\f(4,q)＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或eq\f(1,2).又等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1，∴Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.故選D.6.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則的值為（）A．8 B．9C．10 D．11【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，由可得，又，.故選C.7．已知等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列，則下列命題正確的是（）A．B．，，成等差數(shù)列C．不是等比數(shù)列D．，，，，，成等差數(shù)列【答案】B【解析】由，，成等差數(shù)列，可得，，，所以不正確；，，，，成等差數(shù)列，所以正確；，所以，所以是等比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；若，，即，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，，即，顯然左邊奇數(shù)，右邊偶數(shù)，不相等，錯(cuò)誤；故選B．8．（2020·江蘇無錫高二開學(xué)考試）如圖所示，正方形一邊上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……，如此繼續(xù)下去，得到一個(gè)樹形圖形，稱其為“勾股樹”.若某勾股樹共有1023個(gè)正方形，且最小的正方形的邊長(zhǎng)為，則最大的正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】將相同的正方形看作同一“層”，自下而上每一“層”正方形的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且公比為，設(shè)一共有“層”，所以，所以，又因?yàn)樽陨隙旅恳弧皩印闭叫蔚倪呴L(zhǎng)也成等比數(shù)列，且公比為，所以最大正方形的邊長(zhǎng)為，故選C.9.（2021·全國(guó)高三模擬）九連環(huán)是一個(gè)古老的智力游戲，在多部中國(guó)古典數(shù)學(xué)典籍里都有對(duì)其解法的探究，在《九章算術(shù)》中古人對(duì)其解法的研究記載如下：記解n連環(huán)需要的步驟為，，研究發(fā)現(xiàn){an+1}是等比數(shù)列，已知，則（）A．127 B．128 C．255 D．256【答案】C【解析】由題知，，，又{an+1}是等比數(shù)列，則，，{an+1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，，.故選C.10.（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______.【答案】5【解析】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.11．（2021·湖北高三月考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為7，且，則__．【答案】32【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，即，則有，變形可得，又由，解得，又由，則，則，故，故答案為：32．12.(2021·湖北聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，若Sk＝－eq\f(11,8)，則k＝.解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，所以q3＝－eq\f(1,8)，解得q＝－eq\f(1,2)，所以a1＝－2，由Sk＝eq\f(－2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))k)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(11,8)，解得k＝5.13.在等比數(shù)列中，若，則的值是____【答案】【解析】在等比數(shù)列中，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以，故答案為?14.(2021·新高考8省聯(lián)考)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求{an}的通項(xiàng)公式.(1)證明an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因?yàn)閧an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an＋1＋an>0，所以eq\f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.(2)解由題意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝eq\f(1,2)×3n－1.15.(2020·石家莊質(zhì)量評(píng)估)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).(1)證明：數(shù)列{a2n－1}和數(shù)列{a2n}都是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng).解析：(1)證明由anan＋1＝eq\f(1,2n)，得an＋1an＋2＝eq\f(1,2n＋1).兩式相除，得eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)因?yàn)閍1＝1，a1·a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)，所以a2＝eq\f(1,2)，所以{a2n－1}是以a1＝1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，{a2n}是以a2＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列.(2)因?yàn)門2n＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝3－eq\f(3,2n)，所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝eq\f(3n（n＋1）,2n).則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(3（n＋1）（n＋2）,2n＋1)·eq\f(2n,3n（n＋1）)＝eq\f(n＋2,2n).當(dāng)n<2時(shí)，eq\f(n＋2,2n)>1，即b2>b1＝3；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(n＋2,2n)＝1，即b2＝b3＝eq\f(9,2)；當(dāng)n>2時(shí)，eq\f(n＋2,2n)<1，即bn＋1<bn.故數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)是b2或b3，為eq\f(9,2).16.（2019·北京高三期中）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求的最大值.【解析】在等比數(shù)列中，設(shè)公比為.因?yàn)樗运?即.則或.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式在等比數(shù)列中，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所?所以.所以.因?yàn)?所以.即的最大值為.17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，緊接著后面的項(xiàng)的和是，再緊接著后面的項(xiàng)的和是，求的值.【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.由題意得，，.若，則，，，①.②由②①得：，解得，或.當(dāng)時(shí)，，則，；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，.綜上所述：或.18.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)?，所?19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.§8.4數(shù)列求和1.（2021·江西銅鼓高三月考）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則不超過的最大整數(shù)是_____________．【答案】88【解析】，時(shí)，，，解得．時(shí)，，代入可得：，化為：，可得數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，，解得．，時(shí)，右邊成立）即，所以，∴所以，所以不超過的最大整數(shù)是88.2．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝1－an，記Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，則an＝________，Tn＝________.【答案】;【解析】由題意，有a1＝1－a1，故a1＝.當(dāng)n≥2時(shí)，由，得an＝－an＋an－1，則＝，∴{an}是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.由等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝，∴數(shù)列{a2n－1a2n＋1}是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，則Tn＝＋＋…＋＝＝.故答案為：;.3.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知a3＝5，S7＝49．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1由題意可得，解得，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1．（2）由（1）得，從而．4.（2021·安徽高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）若的首項(xiàng)和公差均為1，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由題意得（）兩式相減得，從而再兩式相減得又∴，于是為等差數(shù)列．（2）由（1）可得為等差數(shù)列，又，∴．于是則．5.（2021·山東濟(jì)南高三月考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求，；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：.【解析】（1）兩式相減得：令時(shí)，滿足上式數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）證明：由（1）得：，又為遞增數(shù)列6．（2021·合肥高三模擬）在數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），，是以2為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，，.（2）由（1）知：，兩邊乘以3得：，兩式相減得：7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）．（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求（）．【解析】（1）由，，令得，令得，即.由………①則當(dāng)時(shí)，……②①②可得，得，得，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，整理得，當(dāng)時(shí)，，也符合公式，故（）,即數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2),故，即.8．已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，問使的最小正整數(shù)是多少？【解析】（1）.，，則等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由為等比數(shù)列，得公比，則，；（2）由，得，當(dāng)時(shí)，，則是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，，則，作差可得.當(dāng)時(shí)，滿足上式由，得，則最小正整數(shù)為.9.（2021·廣州高三月考）已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）求證：．【解析】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以（2）由（1），，∴.（3）由，則，又，則，綜上，得證.10.（2021·重慶高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，()．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得的整數(shù)n的最小值．【解析】（1）證明：由，得，從而，∴，又，故數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由（1）得，故，∴，，令，則，解得，∵，∴．故使得的整數(shù)n的最小值為10.11.（2021·安徽蚌埠高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：為定值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，從而，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即（2），所以，從而，兩式相減，得，即，所以，而，所以為定值．12.（2021·河北高三月考）已知數(shù)列，滿足，且是公差為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，，所以.又是公比為2的等比數(shù)列，，所以，故.（2）因?yàn)?，所以為遞增數(shù)列，又，，，故當(dāng)時(shí)，恒有，故記的前n項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.單元檢測(cè)八1.已知一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列{an}，前4項(xiàng)的和是40，最后4項(xiàng)的和是80，所有項(xiàng)的和是210，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【解析】由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，兩式相加得a1＋an＝30.又因?yàn)?，所以n＝14.故選：B2.（2021·廣東深圳高三月考）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列前項(xiàng)和取最小值時(shí)，的值是（）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】A【解析】令，則n=6時(shí)取最小值.故選A.3．已知等差數(shù)列滿足，，若，則m=（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】設(shè)的公差為d，由及，得，解得，所以，因?yàn)?，所以，解得?.（2021·浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式．對(duì)任意的恒成立，則稱數(shù)列為“和保值數(shù)列”．若是公差為的等差數(shù)列，且為“和保值數(shù)列”，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】：由為“和保值數(shù)列”可得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，即，故．則．即，故，故的取值范圍為．故選C.4．高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù)，即表示不超過x的最大整數(shù).如:已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A．3 B．14 C．15 D．16【答案】B【解析】，得，整理為，當(dāng)時(shí)，，且，解得：，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，那么.故選B.5．（2021·貴州高三期末）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“美值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋瑑墒较鄿p可得：，所以，顯然滿足時(shí)，，所以，所以，可得數(shù)列是等差數(shù)列，由對(duì)任意的恒成立，可得：，，即可求解，即且，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.6.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高