復合函數(shù)的單調(diào)性例講

PAGE13復合函數(shù)的單調(diào)性例講復合函數(shù)的單調(diào)性例講山西忻州五寨一中攝愛忠高考主要考查：①求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②討論含參復合函數(shù)的單調(diào)性或求參數(shù)范圍問題．①“中間變量”是形成問題轉(zhuǎn)化的橋梁.②函數(shù)思想是解決問題的關鍵．復合函數(shù)定義：設定義域為Ａ，的值域為Ｂ，若，則關于的函數(shù)叫做函數(shù)與的復合函數(shù)，叫中間變量．外函數(shù)：；內(nèi)函數(shù)：復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.2.若則增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)3.求解復合函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：(1)求復合函數(shù)定義域；(2)將復合函數(shù)分解為若干個常見函數(shù)(一次、二次、冪、指、對函數(shù))；(3)判斷每個常見函數(shù)的單調(diào)性；(4)將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；(5)求出復合函數(shù)的單調(diào)性。題型1：內(nèi)外函數(shù)都只有一種單調(diào)性的復合型.例題1：

已知函數(shù)y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).2，+∞)解：設y=logau，u=2-ax，∵a是底數(shù)，所以a>0，∵函數(shù)y=logau在u∈[0,1]上是減函數(shù)，而u=2-ax在區(qū)間x∈[0,1]上是減函數(shù)，∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函數(shù)，故a>1，還要使2-ax>0在區(qū)間上總成立，令g(x)=2-ax，由{eq\s(g(0)=2-a·0>0,g(1)=2-a·1>0)，解得a<2，∴1<a<2，故選(B).變式訓練：已知函數(shù)，求其單調(diào)區(qū)間.【分析】：由，得，即.而函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)在上是減函數(shù).題型2：外函數(shù)有一種單調(diào)性內(nèi)函數(shù)有兩種單調(diào)性的復合型.例題2：

求函數(shù)y=log0.5(x2+4x+3)的單調(diào)區(qū)間.解：令y=log0.5u，u=x2+4x+3，由x2+4x+3>0知函數(shù)的定義域為，因y=log0.5u在u∈(0,+∞)上是減函數(shù)，而u=x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是減函數(shù)，在(-1，+∞)上是增函數(shù)，根據(jù)復合規(guī)律知，函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4)在x∈(-∞，-3)上是增函數(shù)；在x∈(-1，+∞)上是減函數(shù).變式訓練：

討論函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)定義域為R.令u=x2-4x+3，y=0.8u。指數(shù)函數(shù)在u∈(-∞，+∞)上是減函數(shù)，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞)上是增函數(shù)，∴函數(shù)在(-∞，2]上是增函數(shù)，在[2，+∞)上是減函數(shù)。這里沒有第四步，因為中間變量允許的取值范圍是R，無需轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍。題型3：外函數(shù)有兩種單調(diào)性內(nèi)函數(shù)有一種單調(diào)性的復合型.例題3：

函數(shù)y=2sin(eq\f(π,4)-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()(A).(B).(C).(D).解：令y=sinu，u=eq\f(π,4)-2x，∵u=eq\f(π,4)-2x是R上的減函數(shù)，而y=sinu在u∈[2kπ+eq\f(π,2)，2kπ+eq\f(3π,2)](k∈Z)上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的復合規(guī)律，令2kπ+eq\f(π,2)≤eq\f(π,4)-2x≤2kπ+eq\f(3π,2)得:當k=0時，，故選(A).例題4：

討論函數(shù)y=(log2x)2+log2x的單調(diào)性.解：顯然函數(shù)定義域為(0，+∞).令u=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函數(shù)，y=u2+u在(-∞，]上是減函數(shù)，在[，+∞)上是增函數(shù)【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范圍.令，則0＜x≤，(u≥log2x≥x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是減函數(shù)，在[，+∞)上是增函數(shù)。用數(shù)軸標單調(diào)區(qū)間如下： ①求復合函數(shù)的定義域；②求內(nèi)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；③求外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④求外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)變量所對應的單調(diào)區(qū)間；⑤在數(shù)軸上標出②④按“同增異減”寫出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.變式訓練：

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）此函數(shù)的定義域：；（2）此函數(shù)是由函數(shù)復合所得；（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞減；（4）外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（5）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，寫出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．【評注】：給出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須將外層函數(shù)中的調(diào)整為復合函數(shù)的自變量等價的范圍，必須將外層函數(shù)中的調(diào)整為復合函數(shù)的自變量等價的范圍.

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.題型4：內(nèi)外函數(shù)都有兩種單調(diào)性的復合型.例題5：

已知函數(shù)則（A）在區(qū)間上是減函數(shù)（B）在區(qū)間上是減函數(shù)（C）在區(qū)間上是增函數(shù)（D）在區(qū)間上是增函數(shù)【解析】設，，外函數(shù)：增區(qū)間；減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)：增區(qū)間；減區(qū)間當時，，即＜1，x＞1或x＜-1；當時，即≥1，-1≤x≤1用數(shù)軸標出單調(diào)區(qū)間如下：顯然，A正確.變式訓練：

已知函數(shù)則的遞增區(qū)間是.【解析】設，；外函數(shù)：減區(qū)間；增區(qū)間內(nèi)函數(shù)：減區(qū)間；增區(qū)間令；再令.用數(shù)軸標出單調(diào)區(qū)間如下：故的單調(diào)遞增區(qū)間為和.①求復合函數(shù)的定義域；②求內(nèi)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；③求外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④求外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)變量所對應的單調(diào)區(qū)間；⑤在數(shù)軸上標出②④按“同增異減”寫出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.練習題組：

函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）.（A）（B）（C）（D）答案為B.【評注】：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則，不能忽視在恒成立.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是().（A）（B）（C）（D）

（2013福建）函數(shù)的圖象大致是B． C． D．

（2014天津）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（A）（B）（C）（D）

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是.

函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．

函數(shù)的單調(diào)性判斷錯誤的是（A）在遞減（B）在遞增（C）在遞減（D）在遞增

（2014年全國卷）若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是________．

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）.題型5：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍型.例題5：

已知函數(shù)在區(qū)間[2，+∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_______。【解析】如下：令u=x2-ax+3a，y=u．因為y=u在(0，+∞)上是減函數(shù)∴f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是減函數(shù)u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函數(shù)，且對任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。對稱軸x=在2的左側或過(2，0)點，且u(2)＞0。-4＜a≤4

若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_______?！窘馕觥苛顄=-ax+3＞0，y=logau，由于a作對數(shù)的底數(shù)，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x＜。在[0，1]上，且u是減函數(shù)?！鄁(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是減函數(shù)。