靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解優(yōu)選ppt資料

靜態(tài)(jìngtài)電磁場及其邊值問題的解第一頁，共142頁。靜態(tài)(jìngtài)電場問題按電荷靜止或運(yùn)動(dòng)(yùndòng)情況分類靜電場恒定電流場靜止(jìngzhǐ)任意勻速運(yùn)動(dòng)

有限第二頁，共142頁。面對的問題？分析方法？典型應(yīng)用(yìngyòng)？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第三頁，共142頁。3.1靜電場分析(fēnxī)學(xué)習(xí)(xuéxí)內(nèi)容3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件3.1.2電位函數(shù)3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容3.1.4靜電場的能量3.1.5靜電力第四頁，共142頁。面對的問題:存在什么源？在何媒質(zhì)環(huán)境中？有何突變邊界？分析方法？典型應(yīng)用？關(guān)聯(lián)(guānlián)的一般性物理問題？第五頁，共142頁。3.1.1靜電場的基本(jīběn)方程和邊界條件靜電場基本(jīběn)方程積分(jīfēn)形式微分形式本構(gòu)關(guān)系靜電場邊界條件兩種一般電介質(zhì)分界面上兩種理想電介質(zhì)分界面上第六頁，共142頁。第一百二十五頁，共142頁。方法：在求解域外適當(dāng)(shìdàng)位置放置虛擬等效電荷，等效電荷等效分界面存在的影響（實(shí)際為感應(yīng)面電荷或極化面電荷的作用）點(diǎn)電荷的電位(diànwèi)關(guān)聯(lián)(guānlián)的一般性物理問題？4恒定磁場(cíchǎng)能量可見，導(dǎo)體(dǎotǐ)球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。基于電流（歐姆定律）√第八十三頁，共142頁。電容(diànróng)是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。儲能、濾波、移相、隔直、旁路、選頻等4恒定磁場的能量第七十六頁，共142頁。三、分離變量，求解拉普拉斯方程(fāngchéng)通解對應(yīng)(duìyìng)物理量求解邊值問題：第一百二十頁，共142頁。討論：分界面(jièmiàn)上場矢量的折射關(guān)系介質(zhì)2介質(zhì)1在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部(nèibù)的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為或?qū)w(dǎotǐ)表面的邊界條件第七頁，共142頁。面對的問題！分析求解方法：已有方法及其適用范圍？利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？典型應(yīng)用(yìngyòng)？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第八頁，共142頁。對靜電場，由，即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量的梯度來表示。標(biāo)量稱為(chēnɡwéi)標(biāo)量位或標(biāo)量電位。3.1.2電位(diànwèi)函數(shù)電位(diànwèi)函數(shù)定義電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；

“－”表示電場指向電位減小最快的方向；在直角坐標(biāo)系中關(guān)于電位函數(shù)的討論第九頁，共142頁。即：電位(diànwèi)的泊松方程在無源(wúyuán)區(qū)域，電位(diànwèi)的拉普拉斯方程電位方程通過求解電位方程可求得空間中電位分布，進(jìn)而求得電場分布。優(yōu)越性：求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標(biāo)量函數(shù)的問題介質(zhì)2介質(zhì)1電荷區(qū)第十頁，共142頁。電位差反映(fǎnyìng)了電場空間中不同位置處電位的變化量。電位差的計(jì)算(jìsuàn)：電位差（電壓(diànyā)）電場空間中兩點(diǎn)間電位差為：第十一頁，共142頁。電位(diànwèi)參考點(diǎn)僅僅根據(jù)電位函數(shù)的定義無法唯一確定電位分布，同一電場(diànchǎng)可對應(yīng)無限多電位分布，為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，必須選定空間某一點(diǎn)作為(zuòwéi)參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值電位參考點(diǎn)的選擇原則:應(yīng)使電位表達(dá)式有意義應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)第十二頁，共142頁。幾種基本(jīběn)分布電荷的電位點(diǎn)電荷的電位(diànwèi)選取(xuǎnqǔ)Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則遵循最簡單原則，電位參考點(diǎn)Q在無窮遠(yuǎn)處，即則：點(diǎn)電荷在空間中產(chǎn)生的電位說明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)第十三頁，共142頁。無限(wúxiàn)長線電荷的電位電位(diànwèi)參考點(diǎn)不能位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，否則表達(dá)式無意義。根據(jù)表達(dá)式最簡單原則(yuánzé)，選取r=1柱面為電位參考面，即得：無限長線電流在空間中產(chǎn)生的電位第十四頁，共142頁。體電荷(diànhè)：面電荷(diànhè)：線電荷(diànhè)：式中：說明：若參考點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，則c=0。分布電荷體系在空間中產(chǎn)生的電位第十五頁，共142頁。不同媒質(zhì)分界(fēnjiè)面上的靜電位設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面(jièmiàn)兩側(cè)緊貼界面(jièmiàn)的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí)△lP1P2理想介質(zhì)(jièzhì)表面理想導(dǎo)體是等位體第十六頁，共142頁。求電偶極子在空間中產(chǎn)生(chǎnshēng)的電位和電場。分析(fēnxī)：電偶極子定義解：取無限(wúxiàn)遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。電偶極子：由兩個(gè)相距很近的帶等量異號電量的點(diǎn)電荷所組成的電荷系統(tǒng)電偶極矩：例第十七頁，共142頁。第十八頁，共142頁。兩塊無限大接地(jiēdì)導(dǎo)體板如圖放置，在兩導(dǎo)體板間放置一面密度為的均勻面電荷分布。求導(dǎo)體板間的電位及電場。解法一：極板間電荷(diànhè)滿足一維拉普拉斯方程例由電位(diànwèi)邊界條件：第十九頁，共142頁。故有：解以上(yǐshàng)四式，最終可得：第二十頁，共142頁。解法二：直接應(yīng)用(yìngyòng)場求解由于電荷為無限大面電荷，故電場方向始終指向(zhǐxiànɡ)x方向，且電場均勻分布。設(shè)極板間電場強(qiáng)度分別為，則有由高斯定理由電位(diànwèi)關(guān)系第二十一頁，共142頁。面對的問題！分析(fēnxī)求解方法！典型應(yīng)用：靜電感應(yīng)靜電屏蔽關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第二十二頁，共142頁。3.1.3導(dǎo)體(dǎotǐ)系統(tǒng)的電容電容(diànróng)是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。電容器在實(shí)際問題(wèntí)中的作用：典型的有利作用：儲能、濾波、移相、隔直、旁路、選頻等典型的不利作用：電容耦合系統(tǒng)和部件產(chǎn)生的電磁兼容問題第二十三頁，共142頁。孤立(gūlì)導(dǎo)體的電位與其所帶的電量成正比。孤立(gūlì)導(dǎo)體電容定義：孤立(gūlì)導(dǎo)體所帶電荷量與其電位之比。即孤立(gūlì)導(dǎo)體電容電容C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關(guān)，與q和無關(guān)空氣中半徑為a的孤立帶電球，關(guān)于孤立導(dǎo)體電容的說明：第二十四頁，共142頁。兩個(gè)(liǎnɡɡè)導(dǎo)體構(gòu)成電容器。兩導(dǎo)體間電位分別為和，導(dǎo)體帶電量分別為Q和-Q，則定義電容器電容為：雙導(dǎo)體(dǎotǐ)的電容*多導(dǎo)體(dǎotǐ)的電容(部分電容)式中：導(dǎo)體與地之間電容，稱導(dǎo)體自電容導(dǎo)體之間的電容，稱導(dǎo)體互電容第二十五頁，共142頁。(4)求比值，即得出(déchū)所求電容。(3)由 ，求出兩導(dǎo)體(dǎotǐ)間的電位差；計(jì)算電容(diànróng)的步驟：(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和－q；(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。計(jì)算電容的步驟：第二十六頁，共142頁。ylxPxDa-l平行(píngxíng)雙線，導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線軸線距離為D求：平行(píngxíng)雙線單位長度的電容。（a<<D)解：設(shè)導(dǎo)線單位長度帶電分別(fēnbié)為和，則易于求得，在P點(diǎn)處，導(dǎo)線(dǎoxiàn)間電位差為：例第二十七頁，共142頁。計(jì)算同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度(chángdù)電容。解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，則內(nèi)外導(dǎo)體間電場(diànchǎng)分布為：則內(nèi)外(nèiwài)導(dǎo)體間電位差為：內(nèi)外導(dǎo)體間電容為：例同軸線第二十八頁，共142頁。面對的問題！分析求解方法！典型應(yīng)用!關(guān)聯(lián)的一般性物理問題:靜電場的能量電容(diànróng)的儲能第二十九頁，共142頁。3.1.4靜電(jìngdiàn)能量

靜電場能量來源于建立(jiànlì)電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有(jùyǒu)能量。帶電系統(tǒng)從沒有電荷分布到建立某種最終電荷分布的過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。分布電荷靜電場能量

空間電荷分布為，在空間中產(chǎn)生電位為?？臻g中總電場能量為：第三十頁，共142頁。點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電場能量(néngliàng)對N個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，電荷體密度為利用(lìyòng)函數(shù)的選擇性點(diǎn)電荷相互作用能第三十一頁，共142頁。帶電導(dǎo)體(dǎotǐ)系統(tǒng)的能量對N個(gè)帶電導(dǎo)體(dǎotǐ)組成的系統(tǒng)，各導(dǎo)體(dǎotǐ)的電位為i，電量為qi,，表面積為Si，則導(dǎo)體(dǎotǐ)系統(tǒng)的電場能量為第三十二頁，共142頁。電場(diànchǎng)能量密度電場(diànchǎng)能量密度：電場(diànchǎng)總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間對于線性、各向同性介質(zhì)，有：第三十三頁，共142頁?？疾?kǎochá)第一項(xiàng)：在上式中，為整個(gè)空間，即S為包圍整個(gè)空間的閉合面，電場(diànchǎng)能量密度式中：為整個(gè)(zhěnggè)電場空間電場能量密度公式推導(dǎo)：第三十四頁，共142頁。由邊界(biānjiè)條件知在邊界(biānjiè)兩邊連續(xù)。解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位(dānwèi)長度帶電量為Q。同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a,b，導(dǎo)體間部分(bùfen)填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U。求：1)導(dǎo)體間單位長度內(nèi)的電場能量2)內(nèi)外導(dǎo)體間電容。例第三十五頁，共142頁。兩種方法求電場(diànchǎng)能量：或應(yīng)用導(dǎo)體(dǎotǐ)系統(tǒng)能量求解公式第三十六頁，共142頁。靜態(tài)(jìngtài)電場問題按電荷(diànhè)靜止或運(yùn)動(dòng)情況分類靜電場恒定電流場靜止(jìngzhǐ)任意勻速運(yùn)動(dòng)

有限第三十七頁，共142頁。面對的問題(wèntí)？分析方法？典型應(yīng)用？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題(wèntí)？第三十八頁，共142頁。3.2導(dǎo)電媒質(zhì)(méizhì)中的恒定電場分析學(xué)習(xí)內(nèi)容3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件3.2.2恒定電場的邊界條件3.2.3漏電導(dǎo)(diàndǎo)恒定電場與靜電場的比擬第三十九頁，共142頁。面對的問題:存在什么源？在何媒質(zhì)環(huán)境中？有何特殊現(xiàn)象？邊界有何物理量的突變？分析方法？典型應(yīng)用(yìngyòng)？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第四十頁，共142頁。什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？導(dǎo)電媒質(zhì)中存在(cúnzài)電場的時(shí)候！第四十一頁，共142頁。恒定電場與靜電場的區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)部，而靜電場不能（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源(diànyuán)來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。恒定(héngdìng)電場和靜電場相同點(diǎn)：1、均為有源無旋場2、大小均不隨時(shí)間改變恒定(héngdìng)電場和靜電場比較第四十二頁，共142頁。3.2.1恒定(héngdìng)電場的基本方程恒定電場(diànchǎng)的基本量：恒定電場(diànchǎng)基本方程微分形式：積分形式：均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中存在凈電荷？本構(gòu)關(guān)系：第四十三頁，共142頁。3.2.2恒定(héngdìng)電場的邊界條件用類比關(guān)系推導(dǎo)恒定電場邊界條件。比較可知(kězhī)，將靜電場基本方程中的代換為，則兩者基本方程形式完全相同。的邊界條件的邊界條件討論：媒質(zhì)2媒質(zhì)1第四十四頁，共142頁。導(dǎo)電媒質(zhì)（2≈1）：介質(zhì)表面上電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，導(dǎo)電媒質(zhì)表面不是等位面；媒質(zhì)2為良導(dǎo)體（2>>1）：1＝0，即電場線近似垂直于與導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為(zuòwéi)等位面；媒質(zhì)1為理想介質(zhì)（1＝0）：則J1=0，故J2n=0且E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。關(guān)于恒定(héngdìng)電場邊界條件的幾點(diǎn)說明第四十五頁，共142頁。面對(miànduì)的問題！分析方法：哪些方法最適合？典型應(yīng)用？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第四十六頁，共142頁。什么情況下會產(chǎn)生恒定電流場的問題？導(dǎo)電媒質(zhì)中存在(cúnzài)電場的時(shí)候！分析解決問題的關(guān)鍵是求電場強(qiáng)度基于已知電荷的方法基于電流（歐姆定律）√基于電位的方法√第四十七頁，共142頁。（1）利用歐姆定律（導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系(guānxì)）表示電場強(qiáng)度基于電流求解(qiújiě)分析恒定電場問題的方法（2）用已知量（通常(tōngcháng)是激勵(lì)電壓）表示出未知量第四十八頁，共142頁。電位函數(shù)滿足(mǎnzú)Laplace方程基于電位(diànwèi)求解分析恒定電場問題的方法電位(diànwèi)的邊界條件第四十九頁，共142頁。例一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)(cānshù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。解：極板(jíbǎn)是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。第五十頁，共142頁。面對的問題！分析方法！典型應(yīng)用：導(dǎo)體的電阻(diànzǔ)和電導(dǎo)關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第五十一頁，共142頁。電阻(diànzǔ)和電導(dǎo)3.2.3恒定(héngdìng)電場與靜電場比擬第五十二頁，共142頁。如果兩種場具有相同形式場的方程、相同的邊界(biānjiè)形狀、等效的邊界(biānjiè)條件，則其解形式也必相同；如能求出一種場的解，則可通過替換對應(yīng)物理量而得到另一種場的解。恒定(héngdìng)電場與靜電場的比擬基本(jīběn)方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)恒定電場（電源外）比擬法思路：第五十三頁，共142頁。對應(yīng)(duìyìng)物理量靜電場恒定(héngdìng)電場靜電比擬法應(yīng)用：相同導(dǎo)體結(jié)構(gòu)分別填充理想介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)(méizhì)時(shí)，可通過改變表達(dá)式中對應(yīng)量，可由G求C，或由C求G。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)恒定電場（電源外）第五十四頁，共142頁。例1同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源(diànyuán)電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的、E和單位長度的漏電電導(dǎo)。解法(jiěfǎ)一：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)Ez=0，且表面是等位面，介質(zhì)中電位只是r的函數(shù)，滿足拉氏方程為第五十五頁，共142頁。解法(jiěfǎ)二：靜電比擬法：填充理想(lǐxiǎng)介質(zhì)時(shí)：內(nèi)外(nèiwài)導(dǎo)體電勢差：由靜電比擬，得同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長度漏電導(dǎo)為：第五十六頁，共142頁。解法三：設(shè)同軸線單位長度由內(nèi)導(dǎo)體(dǎotǐ)流向外導(dǎo)體(dǎotǐ)電流強(qiáng)度為,則內(nèi)外(nèiwài)導(dǎo)體間電位差為：內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度(chángdù)漏電導(dǎo)：內(nèi)外導(dǎo)體間電場分布：內(nèi)外導(dǎo)體間電位分布：第五十七頁，共142頁。面對的問題！分析方法！典型應(yīng)用！關(guān)聯(lián)(guānlián)的一般性物理問題：功耗第五十八頁，共142頁。導(dǎo)體媒質(zhì)(méizhì)的功耗功耗(ɡōnɡhào)密度和功耗(ɡōnɡhào)第五十九頁，共142頁。一、靜止電荷(diànhè)產(chǎn)生的場（靜電場）導(dǎo)體內(nèi)部的靜電場為零導(dǎo)體表面的切向電場為零等勢體導(dǎo)體內(nèi)部的電荷為零電荷只能(zhīnénɡ)位于導(dǎo)體表面，密集于表面尖銳部分應(yīng)用：靜電感應(yīng)，靜電屏蔽，避雷針，……靜態(tài)電場(diànchǎng)的典型現(xiàn)象和結(jié)論第六十頁，共142頁。二、運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的直流電場（恒定(héngdìng)電場）導(dǎo)電媒質(zhì)（）內(nèi)部可存在電場導(dǎo)電媒質(zhì)表面的切向電場一般非零非等勢體導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部可有運(yùn)動(dòng)電荷(diànhè)，但凈電荷(diànhè)量為零凈電荷(diànhè)只能位于導(dǎo)體表面理想導(dǎo)體（）內(nèi)部電場為零，電流為零理想導(dǎo)體邊界上的電場垂直于表面等勢體靜態(tài)(jìngtài)電場的典型現(xiàn)象和結(jié)論第六十一頁，共142頁。進(jìn)一步理解靜電場和恒定(héngdìng)電場思考題：導(dǎo)電(dǎodiàn)媒質(zhì)U求：1）；2）儲能(chǔnénɡ)或功耗？導(dǎo)電媒質(zhì)wtε0tU第六十二頁，共142頁。分類分析求解(qiújiě)靜態(tài)電磁場問題靜態(tài)(jìngtài)電場按場的類型(lèixíng)靜態(tài)磁場第六十三頁，共142頁。面對的問題？分析方法？典型(diǎnxíng)應(yīng)用？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第六十四頁，共142頁。3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量(biāoliàng)磁位3.3.3電感3.3.4恒定磁場的能量3.3.5磁場力3.3恒定(héngdìng)磁場分析第六十五頁，共142頁。面對的問題:存在什么源？在何媒質(zhì)環(huán)境中？突變(tūbiàn)邊界上有何現(xiàn)象？分析方法？典型應(yīng)用？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？第六十六頁，共142頁。出發(fā)點(diǎn)Maxwell方程組條件本構(gòu)關(guān)系(guānxì)邊界條件靜態(tài)（恒定）磁場(cíchǎng)問題第六十七頁，共142頁。2.邊界條件（一般性問題(wèntí)）微分形式：本構(gòu)關(guān)系(guānxì)：1.基本(jīběn)方程（一般性問題）積分形式：或3.3.1恒定磁場的基本方程及邊界條件在兩種理想磁介質(zhì)分界面上在理想導(dǎo)體分界面上第六十八頁，共142頁。面對的問題！分析求解方法：已有方法及其適用范圍？利用靜電場的特性，研究新方法及其優(yōu)越性？典型應(yīng)用？關(guān)聯(lián)(guānlián)的一般性物理問題？第六十九頁，共142頁。3.3.2恒定磁場(cíchǎng)的矢量磁位矢量(shǐliàng)磁位的引入式中：稱為恒定(héngdìng)磁場的矢量磁位。如何求出？優(yōu)越性：可以任意選擇規(guī)定磁矢位的散度。第七十頁，共142頁。庫侖規(guī)范要求：與間滿足(mǎnzú)一一對應(yīng)關(guān)系。矢量位的任意性矢量位A不是唯一確定的，它加上任意一個(gè)(yīɡè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)(yīɡè)磁場。庫侖規(guī)范條件(tiáojiàn)在恒定磁場中，一般采用庫侖規(guī)范條件，即令注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件。第七十一頁，共142頁。應(yīng)用(yìngyòng)庫侖規(guī)范，得：矢量(shǐliàng)磁位的微分方程由矢量(shǐliàng)恒等式：上式變?yōu)椋菏噶坎此煞匠淘跓o源區(qū)：矢量拉普拉斯方程第七十二頁，共142頁。矢量(shǐliàng)磁位的求解無限大均勻媒質(zhì)(méizhì)空間中的問題類比(lèibǐ)方法求解第七十三頁，共142頁。矢量(shǐliàng)磁位的求解（續(xù)）存在不同(bùtónɡ)媒質(zhì)分界面的問題磁矢位的邊界條件第七十四頁，共142頁。面對的問題！分析求解方法！典型應(yīng)用：電感（自感、互感）關(guān)聯(lián)(guānlián)的一般性物理問題？第七十五頁，共142頁。磁通與磁鏈3.3.3電感(diànɡǎn)C回路(huílù)磁通磁鏈CI電流(diànliú)回路與所有電流回路鉸鏈的總磁通計(jì)入電流存在的所有回路每個(gè)回路是計(jì)入與之鉸鏈的全部磁通I第七十六頁，共142頁。n為與磁通鉸鏈的總電流(diànliú)對載流為I的回路之比

單匝線圈(xiànquān)多匝線圈(xiànquān)CI細(xì)回路粗導(dǎo)線回路iCIo粗回路磁鏈計(jì)算o:外磁鏈；i

:內(nèi)磁鏈若為細(xì)導(dǎo)線線圈密繞，n等于線圈匝數(shù)N（整數(shù)）第七十七頁，共142頁。電感(diànɡǎn)的定義定義：穿過某電流回路(huílù)的磁鏈與回路(huílù)中電流強(qiáng)度之比。自感(zìɡǎn)若某回路C載流為I，其產(chǎn)生的磁場穿過回路自身C所形成的自感磁鏈為，則定義回路C的自感系數(shù)為：特征：磁鏈?zhǔn)荌自已產(chǎn)生的第七十八頁，共142頁?；芈纷愿袃H與回路自身的幾何形狀、尺寸和媒質(zhì)(méizhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。若回路(huílù)為N匝線圈密繞，則若回路導(dǎo)線(dǎoxiàn)直徑較粗，則回路自感為內(nèi)自感和外自感之和關(guān)于回路自感的討論為回路外自感，即導(dǎo)體外磁場與回路交鏈所形成電感式中：為回路內(nèi)自感，即導(dǎo)體內(nèi)部磁場與部分電流交鏈所形成電感CI細(xì)回路iCIo粗回路第七十九頁，共142頁。例求雙傳輸線單位(dānwèi)長度自感。設(shè)導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距為D。(D>>a)分析(fēnxī)：導(dǎo)線為細(xì)導(dǎo)線，故只需考慮導(dǎo)體間的互感。解：由安培環(huán)路(huánlù)定律，可以求得在導(dǎo)體間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布：則導(dǎo)體間單位長度的磁通量為PII第八十頁，共142頁?；ジ?hùgǎn)回路(huílù)C1與回路(huílù)C2交鏈的磁通量為，則回路(huílù)C1對C2的互感系數(shù)為：同理定義回路(huílù)C2對C1的互感系數(shù)為：C1C2I1I2C1中總磁鏈:Ψ1總=Ψ1+Ψ12C2中總磁鏈:Ψ2總=Ψ2+Ψ21思考：

Ψ1總=？；Ψ2總=？紐曼公式互感性質(zhì)：1、互易性：2、大小只與回路幾何性質(zhì)、相對位置和周圍介質(zhì)有關(guān)。第八十一頁，共142頁。紐曼公式(gōngshì)C1C2R12I1dl1I2dl2諾伊曼公式給出了兩個(gè)簡單(jiǎndān)回路間互感的計(jì)算方法。諾伊曼公式(gōngshì)同理：第八十二頁，共142頁。面對的問題！分析(fēnxī)求解方法！典型應(yīng)用！關(guān)聯(lián)的一般性物理問題：磁場能量電感的儲能第八十三頁，共142頁。3.3.4恒定磁場(cíchǎng)能量若電流為體電流分布，則其在空間(kōngjiān)中產(chǎn)生的磁能為：式中：為體電流在dV處產(chǎn)生(chǎnshēng)的磁位。V為整個(gè)空間。體電流的磁場能量關(guān)于體電流磁場能量表達(dá)式的說明只適用于恒定磁場

積分可以只在≠0的區(qū)域進(jìn)行

被積函數(shù)不代表能量密度，雖然積分是在有電流的空間中進(jìn)行，但能量是分布在整個(gè)有磁場存在的空間第八十四頁，共142頁。電流回路(huílù)系統(tǒng)的磁場能量N個(gè)回路系統(tǒng)(xìtǒng)，i回路自感為，i回路與j回路間互感為，i回路電流為，則磁回路系統(tǒng)(xìtǒng)的磁場能量為:若回路(huílù)為單回路(huílù)系統(tǒng)，則若回路為雙回路系統(tǒng)，則關(guān)于電流回路系統(tǒng)磁場能量的討論第八十五頁，共142頁。磁場能量(néngliàng)密度：磁場(cíchǎng)能量：積分區(qū)域V內(nèi)的磁場能量對于(duìyú)線性各向同性媒質(zhì)，則有磁場能量密度第八十六頁，共142頁。得：磁能(cínéng)密度為磁場能量密度公式(gōngshì)推導(dǎo)：第八十七頁，共142頁。若回路載流為I，其在空間中產(chǎn)生(chǎnshēng)的磁場為H，則由能量關(guān)系，可得討論：利用磁能(cínéng)求單回路電感第八十八頁，共142頁。例求半徑為a的無限長直導(dǎo)線單位長度(chángdù)內(nèi)自感。解：設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電流為I，則由安培(ānpéi)環(huán)路定律則導(dǎo)體內(nèi)單位長度(chángdù)磁能為第八十九頁，共142頁。例求內(nèi)外半徑分別為a和b的無限(wúxiàn)長同軸線單位長度的自感解：在內(nèi)外(nèiwài)導(dǎo)體之間，a0b由上題（例1）得第九十頁，共142頁。3.4靜電場的邊值問題及唯一性定理(dìnglǐ)第九十一頁，共142頁。出發(fā)點(diǎn)Maxwell方程組條件本構(gòu)關(guān)系(guānxì)邊界條件直接針對(zhēnduì)場量計(jì)算的靜態(tài)電磁場分析方法第九十二頁，共142頁。電位函數(shù)滿足(mǎnzú)Poisson方程基于電位(diànwèi)求解分析靜態(tài)電場問題的方法電位(diànwèi)的邊界條件通過位函數(shù)間接計(jì)算靜態(tài)電磁場的分析方法第九十三頁，共142頁。磁矢位的邊界條件磁矢位函數(shù)(hánshù)滿足Poisson方程基于磁矢位求解分析靜態(tài)磁場(cíchǎng)問題的方法第九十四頁，共142頁。具有(jùyǒu)強(qiáng)對稱性的問題無限大的均勻媒質(zhì)(méizhì)空間中的問題已經(jīng)學(xué)習(xí)(xuéxí)掌握的分析能力待求場量或位函數(shù)具有單一坐標(biāo)變量依賴的特征！?。。ㄒ痪S問題）（包括高維問題）第九十五頁，共142頁。對于高維問題(多自變量)如何著手分析(fēnxī)？求解邊值問題！邊值問題的描述邊值問題的解法第九十六頁，共142頁。3.4靜態(tài)(jìngtài)場的邊值問題討論內(nèi)容

3.4.1邊值問題的類型(lèixíng)3.4.2惟一性定理 邊值問題：在給定的邊界條件下，求解(qiújiě)位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程第九十七頁，共142頁。求解(qiújiě)邊值問題：邊值問題的描述邊值問題的解法第九十八頁，共142頁。3.4.1邊值問題的類型(lèixíng)第一類邊值問題：已知電位函數(shù)在全部邊界(biānjiè)面上的分布值。狄里赫利問題(wèntí)第二類邊值問題：已知函數(shù)在全部邊界面上的法向?qū)?shù)。紐曼問題第三類邊值問題：已知一部分邊界面上的函數(shù)值，和另一部分邊界面上函數(shù)的法向?qū)?shù)?；旌线呏祮栴}第九十九頁，共142頁。例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）第一百頁，共142頁。求解邊值問題：邊值問題的描述邊值問題的解法鏡象法分離變量(biànliàng)法有限差分法……..第一百零一頁，共142頁。3.4.2唯一性定理(dìnglǐ)若區(qū)域V內(nèi)的電荷分布和介質(zhì)分布確定，在場域V的邊界(biānjiè)面S上給定或的值，則拉普拉斯方程或泊松方程在區(qū)域V內(nèi)的解唯一。說明：若對同一面積，同時(shí)給定和的值，則不存在唯一解。唯一性定理(dìnglǐ)的意義1、給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件2、為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)3、為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)第一百零二頁，共142頁。求解邊值問題：邊值問題的描述(miáoshù)邊值問題的解法鏡象法分離變量法有限差分法……..第一百零三頁，共142頁。3.5.1鏡像法的基本原理3.5.2接地導(dǎo)體平面(píngmiàn)的鏡像3.5.3導(dǎo)體球面的鏡像3.5.4導(dǎo)體圓柱面的鏡像3.5.5點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面(píngmiàn)的鏡像3.5.6線電流與無限大磁介質(zhì)平面(píngmiàn)的鏡像3.5鏡像法第一百零四頁，共142頁。3.5.1鏡像法的基本原理幾個(gè)(jǐɡè)實(shí)例：qq′非均勻感應(yīng)(gǎnyìng)電荷等效(děnɡxiào)電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷產(chǎn)生的電位替代。求解位于接地導(dǎo)體板附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位問題的提出第一百零五頁，共142頁。接地導(dǎo)體球附近(fùjìn)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位q非均勻(jūnyún)感應(yīng)電荷q′等效(děnɡxiào)電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷產(chǎn)生的電位替代等效方法：利用等效點(diǎn)電荷等效非均勻分布電荷的作用，簡化問題的求解。由于等效點(diǎn)電荷位于結(jié)構(gòu)的鏡像位置，故稱此方法為鏡像法。第一百零六頁，共142頁。問題(wèntí)：鏡像法原理(yuánlǐ)方法：在求解域外適當(dāng)(shìdàng)位置放置虛擬等效電荷，等效電荷等效分界面存在的影響（實(shí)際為感應(yīng)面電荷或極化面電荷的作用）目的：將復(fù)雜的邊值問題化為無限大單一媒質(zhì)空間的問題這種等效是否合理？第一百零七頁，共142頁。解的惟一(wéiyī)性定理鏡像法的理論(lǐlùn)基礎(chǔ)鏡像電荷的引入，如滿足：電位函數(shù)(hánshù)仍然滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）電位分布仍滿足原邊界條件則求得的解就是正確的。——惟一性定理鏡像電荷位置選擇原則：

鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件

鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外（不改變電位方程）第一百零八頁，共142頁。等效求解(qiújiě)的“有效場域”鏡像電荷的確定(quèdìng)（像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小）鏡像法應(yīng)用(yìngyòng)的步驟：

應(yīng)用無界空間場計(jì)算方法求解第一百零九頁，共142頁。3.5.2接地(jiēdì)導(dǎo)體平面的鏡象點(diǎn)電荷對無限大接地平面導(dǎo)體(dǎotǐ)邊界的鏡像q有效(yǒuxiào)區(qū)域q原電荷：鏡像電荷:(求解域外)等效問題與原問題在求解區(qū)域內(nèi)邊界條件及電荷分布相同第一百一十頁，共142頁。在z>0空間內(nèi)的電位(diànwèi)分布為：即：無限大導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷(diànhè)的鏡像電荷(diànhè)電量與其在導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷(diànhè)電量相等。無限大接地導(dǎo)體分界(fēnjiè)面上感應(yīng)電荷第一百一十一頁，共142頁。線電荷(diànhè)對無限大接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像在z>0空間(kōngjiān)的電位分布為：有效區(qū)域等效(děnɡxiào)問題：第一百一十二頁，共142頁。點(diǎn)電荷對相交(xiāngjiāo)接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須(bìxū)引入3個(gè)鏡像電荷。對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為，則所有鏡像電荷數(shù)目為2n-1個(gè)。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1電位(diànwèi)函數(shù)：第一百一十三頁，共142頁。解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(diànchǎng)力做功，而電荷q受的電場(diànchǎng)力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(diànchǎng)可以用像電荷q′＝－q替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷q′應(yīng)位于－x，則有例一個(gè)點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮(wúqióng)遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。q′qx=∞0d-d第一百一十四頁，共142頁。3.5.3導(dǎo)體(dǎotǐ)球面的鏡像點(diǎn)電荷對接地球面導(dǎo)體(dǎotǐ)邊界的鏡像鏡像電荷(diànhè)的確定PqarRd由鏡像法原理：鏡像電荷位于球內(nèi)區(qū)域，且鏡像電荷與原電荷共同作用使得在球面上電位為0。qPaq'rR'Rdd'

問題：

第一百一十五頁，共142頁。qPaq'rR'Rdd'由于球面結(jié)構(gòu)對稱(duìchèn)，故鏡像電荷必位于球心與點(diǎn)電荷連線上，設(shè)距離球心距離，則第一百一十六頁，共142頁?？梢姡瑢?dǎo)體(dǎotǐ)球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位(diànwèi)函數(shù)為導(dǎo)體球面(qiúmiàn)上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為接地導(dǎo)體球邊界靜電問題分析qPaq'rR'Rdd'第一百一十七頁，共142頁。當(dāng)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)時(shí)，將在導(dǎo)體內(nèi)表面激勵(lì)起感應(yīng)電荷，但由于球殼接地，在球外空間不能建立(jiànlì)起場分布（被屏蔽）?？梢郧蟮苗R像電荷：aqdObq′d’rR′RP|q′|>|q|，可見(kějiàn)球外的等效電荷量大于球內(nèi)電荷量像電荷的位置和電量與外半徑b無關(guān)（為什么？）點(diǎn)電荷對接地(jiēdì)空心導(dǎo)體球殼的鏡像鏡像電荷的確定第一百一十八頁，共142頁。球殼內(nèi)的電位(diànwèi)感應(yīng)(gǎnyìng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面(qiúmiàn)的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。電荷位于接地球殼內(nèi)靜電問題分析第一百一十九頁，共142頁。點(diǎn)電荷對不接地球面導(dǎo)體(dǎotǐ)邊界的鏡像aqrPd1q′d2-q′R′R導(dǎo)體(dǎotǐ)球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球面(qiúmiàn)是電位不為零的等位面；球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，其中負(fù)電荷分布與接地球球分布相同正電荷均勻分布鏡像電荷的確定鏡像電荷1：鏡像電荷2：(位于球心)與共同使使球面電位為0使球面為等勢面球外空間電位：

總的感應(yīng)電荷為零。第一百二十頁，共142頁。真空中一點(diǎn)電荷Q位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為a，點(diǎn)電荷距離球心距離為d（d>a）。求：（1）導(dǎo)體球接地(jiēdì)時(shí)空間電位分布及電荷Q所受的電場力；（2）導(dǎo)體球未接地(jiēdì)時(shí)空間電位分布及電荷Q所受的電場力；解:(1)當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷(diànhè)q’，不存在邊界的問題。易知：例則球外空間(kōngjiān)任意點(diǎn)處電位為：導(dǎo)體球接地，因此球內(nèi)空間電位為0，即：PqarRdqPaq'rR'Rdd'第一百二十一頁，共142頁。電荷(diànhè)Q受靜電力為：(2)當(dāng)導(dǎo)體球不接地時(shí)，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷(diànhè)q’和q’’，不存在邊界的問題。易知：位置位于(wèiyú)球心。則球外空間任意點(diǎn)處電位為：aqrPdq′d’-q′r′R第一百二十二頁，共142頁。求解邊值問題：邊值問題的描述邊值問題的解法鏡象法分離(fēnlí)變量法有限差分法……..第一百二十三頁，共142頁。3.6直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系中的分離變量法3.6.1分離變量法解題的基本原理3.6.2直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)系中的分離變量法3.6.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法3.6.4球坐標(biāo)系中的分離變量法第一百二十四頁，共142頁。1、將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)(hánshù)表示成n個(gè)只含一個(gè)變量的函數(shù)(hánshù)的乘積，進(jìn)而把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程；2、求出分解后的各常微分方程的通解，并將它們線性疊加起來，得到待求函數(shù)(hánshù)級數(shù)形式通解；3、并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。分離(fēnlí)變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法,屬于解析法的一種，可以給出解的精確表達(dá)式。分離變量(biànliàng)法的理論依據(jù)：惟一性定理

分離變量法解題的基本思路：3.6.1分離變量法解題的基本原理第一百二十五頁，共142頁。一、建立求解(qiújiě)方程：導(dǎo)體(dǎotǐ)槽內(nèi)為無源區(qū)，故電位滿足拉普拉斯方程，即問題：如圖所示無限長金屬(jīnshǔ)導(dǎo)體槽，其頂面電位為U，其余三面接地，求導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布。求解實(shí)例：二、建立邊界條件：第一百二十六頁，共142頁。三、分離變量，求解拉普拉斯方程(fāngchéng)通解很明顯(míngxiǎn)，為x,y的函數(shù)。則可令代入方程(fāngchéng)得僅與x變量有關(guān)僅為y變量有關(guān)