流體流動(dòng)的基本方程

一、流量與流速

1、流量

單位時(shí)間內(nèi)流過管道任一截面的流體量，稱為流量。

若流量用體積來計(jì)量，稱為體積流量VS；單位為：m3/s。

若流量用質(zhì)量來計(jì)量，稱為質(zhì)量流量mS；單位：kg/s。

體積流量和質(zhì)量流量的關(guān)系是：

2、流速

單位時(shí)間內(nèi)流體在流動(dòng)方向上流過的距離，稱為流速u。單位為：m/s。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

目前一頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)流量與流速的關(guān)系為：

質(zhì)量流速：單位時(shí)間內(nèi)流體流過管道單位面積的流體質(zhì)量用G表示，單位為kg/(m2·s)。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：對(duì)于圓形管道，——管道直徑的計(jì)算式目前二頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)二、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)與非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：運(yùn)動(dòng)流體的流速、壓強(qiáng)、密度等有關(guān)物理量僅隨位置而改變，而不隨時(shí)間而改變非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：上述物理量不僅隨位置而且隨時(shí)間變化的流動(dòng)。目前三頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)三、牛頓粘性定律與流體的粘度

牛頓粘性定律流體的內(nèi)摩擦力：運(yùn)動(dòng)著的流體內(nèi)部相鄰兩流體層間的作用力。又稱為粘滯力或粘性摩擦力。

——流體阻力產(chǎn)生的來源目前四頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)定義單位面積上的內(nèi)摩擦力為摩擦剪應(yīng)力：以τ表示。實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)：uF0xu=0yΔuΔy平板間的流體流動(dòng)阻力與速度梯度目前五頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)——牛頓粘性定律式中：

速度梯度比例系數(shù)μ稱為粘性系數(shù)或動(dòng)力粘度，簡稱粘度，它的值隨流體的不同而不同，流體的粘性愈大，其值愈大。

式中τ，u方向相同時(shí)取“＋”，方向相反時(shí)取“－”當(dāng)u與y成直線關(guān)系時(shí)，差分可以寫成微分形式：目前六頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)2、流體的粘度

1）物理意義

促使流體流動(dòng)產(chǎn)生單位速度梯度的剪應(yīng)力。粘度總是與速度梯度相聯(lián)系，只有在運(yùn)動(dòng)時(shí)才顯現(xiàn)出來

目前七頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)在物理單位制中，SI單位制和物理單位制粘度單位的換算關(guān)系為：在SI制中：2）粘度的單位目前八頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3)混合物的粘度對(duì)常壓氣體混合物：對(duì)于分子不締合的液體混合物：目前九頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

4）運(yùn)動(dòng)粘度單位：

SI制：m2/s；物理單位制：cm2/s，用St表示。目前十頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)關(guān)于黏度的討論黏度是流體的重要物理性質(zhì)之一，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定常見流體的黏度值可由相關(guān)手冊(cè)中查?。划?dāng)缺乏實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，還可由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算一般氣體的黏度值遠(yuǎn)小于液體的黏度值流體的黏度是溫度T的函數(shù)氣體：T↑，黏度↑液體：T↑，黏度↓流體的黏度值一般不隨壓力而變化?目前十一頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)流體的分類：按流體流動(dòng)時(shí)應(yīng)力與速度梯度之間的關(guān)系，流體可分為牛頓型流體：非牛頓型流體：服從牛頓粘性定律的流體，應(yīng)力與速度梯度成正比例關(guān)系不服從牛頓粘性定律的流體，應(yīng)力與速度梯度不滿足正比例關(guān)系目前十二頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)非牛頓型流體的分類非牛頓型流體根據(jù)流體的應(yīng)力與速度梯度之間的關(guān)系，非牛頓型流體可分為以下幾種：假塑性流體漲塑性流體賓漢塑性流體

a——表觀粘度，非純物性,是速度梯度的函數(shù)。冪律流體目前十三頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)非牛頓型流體假塑性流體流體的表觀粘度值隨剪切速率的加大而減小，即剪應(yīng)力對(duì)剪切速率的關(guān)系曲線為一下彎的曲線多數(shù)非牛頓型流體都屬于這一類，如聚合物溶液或熔融體、油脂、淀粉溶液、油漆、蛋黃漿等粘流指數(shù):n<10du/dyτ假塑性流體B假塑性流體剪應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系目前十四頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)漲塑性流體流體的表觀粘度值隨剪切速率的加大而增大，即剪應(yīng)力對(duì)剪切速率的關(guān)系曲線為一上彎的曲線漲塑性流體包括玉米粉、糖溶液、含細(xì)粉濃度很高的水漿等粘流指數(shù):n>10du/dyτ脹塑性流體剪應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系脹塑性流體目前十五頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3.賓漢塑性流體流體的應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，但存在一屈服應(yīng)力表觀粘度值為一常數(shù)常見的賓漢塑性流體如牙膏、肥皂、紙漿等。粘流指數(shù):n=10du/dyτ賓漢塑性流體剪應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系賓漢塑性流體目前十六頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)四、連續(xù)性方程在穩(wěn)定流動(dòng)系統(tǒng)中，對(duì)直徑不同的管段做物料衡算衡算范圍：取管內(nèi)壁截面1-1’與截面2-2’間的管段。對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)：

目前十七頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)如果把這一關(guān)系推廣到管路系統(tǒng)的任一截面，有：若流體為不可壓縮流體

——一維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的連續(xù)性方程

目前十八頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)對(duì)于圓形管道，表明：當(dāng)體積流量VS一定時(shí)，管內(nèi)流體的流速與管道直徑的平方成反比。目前十九頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)五、能量衡算方程1、流體流動(dòng)的總能量衡算

1）流體本身具有的能量物質(zhì)內(nèi)部能量的總和稱為內(nèi)能。

單位質(zhì)量流體的內(nèi)能以U表示，單位J/kg。①內(nèi)能：流體因處于重力場(chǎng)內(nèi)而具有的能量。②位能：質(zhì)量為m流體的位能單位質(zhì)量流體的位能

目前二十頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)流體以一定的流速流動(dòng)而具有的能量。

③動(dòng)能：質(zhì)量為m，流速為u的流體所具有的動(dòng)能單位質(zhì)量流體所具有的動(dòng)能④靜壓能：流體內(nèi)部因具有一定的靜壓力而產(chǎn)生的對(duì)外做功的潛力目前二十一頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)流體在截面處所具有的壓力流體通過截面所走的距離為

流體通過截面的靜壓能單位質(zhì)量流體所具有的靜壓能

單位質(zhì)量流體本身所具有的總能量為：目前二十二頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

單位質(zhì)量流體在流動(dòng)過程中所吸的熱為：qe(J/kg)；質(zhì)量為m的流體所吸的熱=mqe[J]。當(dāng)流體吸熱時(shí)qe為正，流體放熱時(shí)qe為負(fù)。①熱：2）系統(tǒng)與外界交換的能量單位質(zhì)量在流動(dòng)過程中接受的功為：We(J/kg)

質(zhì)量為m的流體所接受的功=mWe(J)②功：流體接受外功時(shí)，We為正，向外界做功時(shí),We為負(fù)。

流體本身所具有能量和熱、功就是流動(dòng)系統(tǒng)的總能量。目前二十三頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3）總能量衡算衡算范圍：截面1-1’和截面2-2’間的管道和設(shè)備。衡算基準(zhǔn)：1kg流體。設(shè)1-1’截面的流體流速為u1，壓強(qiáng)為p1，截面積為A1，比容為ν1；截面2-2’的流體流速為u2，壓強(qiáng)為p2，截面積為A2，比容為v2。取o-o’為基準(zhǔn)水平面，截面1-1’和截面2-2’中心與基準(zhǔn)水平面的距離為z1，z2oo’目前二十四頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)：∑輸入能量=∑輸出能量Σ輸入能量Σ輸出能量——穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的總能量衡算式目前二十五頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)2、流動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能衡算方程及柏努利方程對(duì)于理想流體(μ＝0)，若系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，則qe=0對(duì)于非理想流體(μ≠0)，即便系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，由于存在流動(dòng)阻力，會(huì)產(chǎn)生摩擦熱，因此這時(shí)qe≠0若1kg的流體在流動(dòng)過程中產(chǎn)生的阻力損失用來表示，則此時(shí)這時(shí)，系統(tǒng)總能量方程可以簡化為——流體穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的機(jī)械能衡算方程

1）流動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能衡算方程目前二十六頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)2）柏努利方程（Bernalli）當(dāng)流體不可壓縮時(shí)，ρ≡常數(shù)所以，對(duì)于理想流體，流動(dòng)過程中阻力損失為零，即若流動(dòng)過程中還沒有外加功，即這時(shí)，機(jī)械能衡算方程可簡化為：將該方程展開后，形式變?yōu)槟壳岸唔揬總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)——柏努利方程3、柏努利方程式的討論

1）柏努利方程式表明理想流體在管內(nèi)做穩(wěn)定流動(dòng)，沒有外功加入時(shí)，任意截面上單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能即動(dòng)能、位能、靜壓能之和為一常數(shù)，用E表示。即：1kg理想流體在各截面上的總機(jī)械能相等，但各種形式的機(jī)械能卻不一定相等，可以相互轉(zhuǎn)換。

2）對(duì)于實(shí)際流體，在管路內(nèi)流動(dòng)時(shí)，應(yīng)滿足：上游截面處的總機(jī)械能大于下游截面處的總機(jī)械能。

目前二十八頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3）式中各項(xiàng)的物理意義輸入和輸出截面之間流體的位能差、動(dòng)能差和靜壓能差因流動(dòng)阻力而損失的能量Σhf：We：單位質(zhì)量的流體從外界獲得的機(jī)械能

Ne：單位時(shí)間輸送設(shè)備對(duì)流體所做的有效功，即功率4）當(dāng)體系無外功，且處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)流體的靜力方程是流體流動(dòng)方程的一個(gè)特例目前二十九頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

5）柏努利方程的不同形式

a)若以單位重量的流體為衡算基準(zhǔn)[J/N]=[m]

位壓頭，動(dòng)壓頭，靜壓頭、

壓頭損失

he：輸送設(shè)備對(duì)流體所提供的有效壓頭目前三十頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)b)若以單位體積流體為衡算基準(zhǔn)靜壓強(qiáng)項(xiàng)p可以用絕對(duì)壓強(qiáng)值代入，也可以用表壓強(qiáng)值代入[J/m3]=[Pa]6）對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)，當(dāng)所取系統(tǒng)兩截面之間的絕對(duì)壓強(qiáng)變化小于原來壓強(qiáng)的20%，仍可使用柏努利方程。式中流體密度應(yīng)以兩截面之間流體的平均密度ρm代替。目前三十一頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)六、柏努利方程式的應(yīng)用

1、應(yīng)用柏努利方程的注意事項(xiàng)

1）作圖并確定衡算范圍根據(jù)題意畫出流動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，并指明流體的流動(dòng)方向，定出上下截面，以明確流動(dòng)系統(tǒng)的衡算范圍。2）截面的截取兩截面都應(yīng)與流動(dòng)方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續(xù)的，所求得未知量應(yīng)在兩截面或兩截面之間，截面的有關(guān)物理量z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關(guān)系式計(jì)算出來。目前三十二頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3）基準(zhǔn)水平面的選取基準(zhǔn)水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計(jì)算方便，通常取基準(zhǔn)水平面通過衡算范圍的兩個(gè)截面中的任意一個(gè)截面。如衡算范圍為水平管道，則基準(zhǔn)水平面通過管道中心線，Δz=0。4）單位必須一致在應(yīng)用柏努利方程之前，應(yīng)把有關(guān)的物理量換算成一致的單位，然后進(jìn)行計(jì)算。兩截面的壓強(qiáng)除要求單位一致外，還要求表示方法一致。目前三十三頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

2、柏努利方程的應(yīng)用

1）計(jì)算液位高度例：如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內(nèi)表壓強(qiáng)為9.81×103Pa，進(jìn)料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內(nèi)流動(dòng)時(shí)的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內(nèi)液面應(yīng)為比塔內(nèi)的進(jìn)料口高出多少？目前三十四頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)分析：解：

取高位槽液面為截面1-1’，連接管出口內(nèi)側(cè)為截面2-2’,并以截面2-2’的中心線為基準(zhǔn)水平面，在兩截面間列柏努利方程式：高位槽、管道出口兩截面u、p已知求Δz柏努利方程目前三十五頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)式中：z2=0；z1=?

p1=0(表壓)；p2=9.81×103Pa(表壓）we=0，由于高位槽中的液面維持恒定，u1=0。將上列數(shù)值代入柏努利方程式，并整理得：目前三十六頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

2）確定輸送設(shè)備的有效功率

例：如圖所示，用泵將河水打入洗滌塔中，噴淋下來后流入下水道，已知道管道內(nèi)徑均為0.1m，流量為84.82m3/h，水在塔前管路中流動(dòng)的總摩擦損失(噴頭處的阻力忽略不計(jì))為10J/kg，噴頭處的壓強(qiáng)較塔內(nèi)壓強(qiáng)高0.02MPa，水從塔中流到下水道的阻力損失可忽略不計(jì)，泵的效率為65%，求泵所需的功率目前三十七頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)分析：求NeNe=Wems/η求We柏努利方程p2=?塔內(nèi)壓強(qiáng)整體流動(dòng)非連續(xù)截面的選取？

解：取塔內(nèi)水面為截面3-3’，下水道截面為截面4-4’，取地平面為基準(zhǔn)水平面，在3-3’和4-4’間列柏努利方程：目前三十八頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式得：計(jì)算塔前管路，取河水表面為1-1’截面，噴頭內(nèi)側(cè)為2-2’截面，在1-1’和2-2’截面間列柏努利方程。目前三十九頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)式中：目前四十頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式泵的功率：目前四十一頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)3)計(jì)算流體內(nèi)部壓力例：水在本題附圖所示的虹吸管內(nèi)作定態(tài)流動(dòng)，管路直徑?jīng)]有變化，水流經(jīng)管路的能量損失可以忽略不計(jì)，計(jì)算管內(nèi)截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強(qiáng)，大氣壓強(qiáng)為760mmHg，圖中所標(biāo)注的尺寸均以mm計(jì)。分析：求p求u柏努利方程某截面的總機(jī)械能求各截面p理想流體目前四十二頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)

解：在水槽水面1-1’及管出口內(nèi)側(cè)截面6-6’間列柏努利方程式，并以6-6’截面為基準(zhǔn)水平面式中：

p1=p6=0（表壓）

u1≈0代入柏努利方程式目前四十三頁\總數(shù)四十九頁\編于十五點(diǎn)u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基準(zhǔn)水平面,z1=3m，p1=760mmHg=101325Pa對(duì)于各截面壓