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xyh/2h/2MMh1Forconvenience,weconsideronlyaunitwidthofthebeam.LetthebendingmomentontheunitwidthbeM,whichhasadimensionof[force][length]/[length],orsimply[force].SubstitutionoftheexpressionforxinEqs.(2)intoEqs.(3)yieldsOneitheroftheverticaledges,thesurfaceforcesmusthavearesultantforceequaltozeroandaresultantmomentequaltoM.Thisrequires(3)Thefirstequationisalwayssatisfiedwhilethesecondequationrequires6a=12M/h3.Since:ThemomentofinertiaofthebeamsectionThus,Eqs.(2)become:(4)Eqs.(4)mayberewrittenas(5)Eqs(5)coincidecompletelywiththeelementarysolutiongiveninmechanicsofmaterials.Note:thesolution(5)isexactonlywhenthesurfaceforcesontheendsofthebeamconsistofnormaltractionsproportionaltoy.Ifthecouplesontheendsareappliedinanyothermanner,thissolutionisnolongerexact,becauseitwillnotpreciselysatisfytheboundaryconditionsontheends.AccordingtoSaint-Venant’sprinciple,however,itdoesrepresentthestressdistributiononanycrosssectionatalargedistancefromtheends.3.2DETERMINATIONOFDISPLACEMENTSWhenthestresscomponentshavebeenfoundbysolutionintermsofstresses,wecanfindthedisplacementcomponentsbyphysicalandgeometricequations.Thiswillbeillustratedwiththeproblemofpurebendingasanexample.Inthecaseofplanestress,thestraincomponentsare:ThenwehaveSubstitutingu,vinto:Itcanberewrittenas:Wenotethattheleftsideisafunctionofyalonewhiletherightsideisafunctionofx
alone.
Afunctionofycanbeequaltoafunctionofxonlywhentheyarebothequaltoaconstant,say.Byintegration,wehave:(1)(2)Thus,thedisplacementcomponentscanbeexpressedas:(1)(2)From(1),wecanseethat,nomatterhowthebeamissupported,theangleofrotationofanyverticallineelementinthebeamisOnagivencrosssectionofthebeam,isconstant,sincexisconstant.Thisshowsthatalltheverticallineelementsinthecrosssectionhavethesameangleofrotationduetobendingofthebeam,andconsequentlyprovesthatthecrosssectionremainsplaneafterbending.From(2),weseethatallthelongitudinallines(fibres)ofthebeamwillhavethesamecurvatureafterbending.Thisisthebasicformulaforcomputationofbeamdeflectionsinmechanicsofmaterials.Ifthebeamissimplysupported:xyh/2h/2MMTherewillbeneitherhorizontalnorverticaldisplacementsatthehingedsupport,andtherewillbenoverticaldisplacementeither,atthebarsupport.TheconditionsofconstraintareFromwhichwehaveInsertionofthesevaluesinto(1)and(2)yieldsThedeflectionofthebeamaxisis:Whichisthesameastheresultobtainedinmechanicsofmaterials.Inthecaseofacantileverbeamxyh/2h/2MMTheconditionsofconstraint:Fromwhichwehave:Thuswehave:Thedeflectionofthebeamaxisis:Whichisalsothesa
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