彈性力學(xué)課件一二

第四章平面問題的極坐標(biāo)解答4—1極坐標(biāo)中的平衡微分方程4—2極坐標(biāo)中的幾何方程和物理方程4—3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程4—4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式4—5軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移4—6圓環(huán)或圓筒受均布壓力4—9半平面體在邊界上受集中力4—8圓孔的孔邊、應(yīng)力集中4—10半平面體在邊界上受分布力4—1極坐標(biāo)中的平衡微分方程求解平面問題時(shí)，對于圓形、楔形、扁形等物體，用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便得多，平面內(nèi)任一點(diǎn)的位置，用徑向坐標(biāo)r及環(huán)向坐標(biāo)來表示如何建立極坐標(biāo)中的平衡微分方程？從物體（薄板或長柱體）中取出一微單元PABC，如圖所示，其厚度為1drPABCxyoKrK應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定與直角坐標(biāo)中一致建立平衡方程：整理簡化后得：（1）建立平衡方程：整理簡化后得：（2）極坐標(biāo)下平面問題的平衡微分方程：基本未知應(yīng)力分量：r、、r=r4—2極坐標(biāo)中的幾何方程和物理方程一、幾何方程在極坐標(biāo)中，r代表徑向應(yīng)變，代表環(huán)向應(yīng)變，r代表剪應(yīng)變，ur代表徑向位移，u代表環(huán)向位移要確定幾何方程，過P點(diǎn)取圖示隔離體PAB，如圖所示其總變形可由兩種變形相疊加：PABxyodrP`B`A`（1）假定只有徑向位移，無環(huán)向位移徑向正應(yīng)變：環(huán)向正應(yīng)變：PABxyodP’B’A’rPA的轉(zhuǎn)角：PB的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變：xAPByodr（2）假定只有環(huán)向位移，無徑向位移A”P”B”徑向正應(yīng)變：環(huán)向正應(yīng)變：PA的轉(zhuǎn)角：PB的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變：當(dāng)徑向和環(huán)向都有位移時(shí)，總應(yīng)變?yōu)椋哼@就是極坐標(biāo)中的幾何方程二、物理方程由于極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)都是正交坐標(biāo)，所以極坐標(biāo)中物理方程與直角坐標(biāo)中的物理方程具有相同的形式：（平面應(yīng)力情況）平面應(yīng)變情況下的物理方程：4—3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)和相容方程可利用坐標(biāo)變換，將直角坐標(biāo)下的相容方程變換成極坐標(biāo)下的相容方程極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：xyo（x，y）xyr由此得：是x、y的函數(shù)，也是r、的函數(shù)，所以重復(fù)上述運(yùn)算：同理：將上式相加得：直角稼坐標(biāo)財(cái)下的辰相容念方程縣為：所以肚，極伐直角堂坐標(biāo)晚下的易相容叉方程店為：是極槽坐標(biāo)下寧的應(yīng)力剛函數(shù)，遣是r、的函數(shù)根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量：xyo（x，y）xyr將x軸轉(zhuǎn)諒到與r重合妄，可衣得極坐押標(biāo)下含得應(yīng)閉力分決量（閃忽略并體力角）：歸納：求解極坐標(biāo)下的平面問題時(shí)，只須要由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后按公式：求應(yīng)力分量即可應(yīng)力盲分量抵必須沾滿足擊位移斤單值欄條件將，在斷邊界醉上滿間足應(yīng)伐力邊金界條牛件極坐標(biāo)謊下的應(yīng)絮力邊界剝條件：4—4計(jì)應(yīng)力窗分量的壺坐標(biāo)變?nèi)緭Q式直角宇坐標(biāo)嫂下的財(cái)應(yīng)力稠分量x、y、xy和極哪坐標(biāo)炎下的帝應(yīng)力聞分量r、、r可以快通過美坐標(biāo)笛變換膜相互老求得久，這隔種表毒示兩鐘個(gè)坐膀標(biāo)系趣中應(yīng)敞力分體量的屈關(guān)系棵式，脊稱為維坐標(biāo)已變換釘式已知x、y、xy，如何志求r、、r？從物聽體取消小三碧角板A，如圖所顏示，其禍厚度為株1ab沿y方向，ac沿x方向酒，bc沿方向統(tǒng)，長寇度為ds，各邊員應(yīng)力屠分量聽如圖致所示xxyyyxrrAxyoacbab=ds涌·c年osac緩=ds·泳sin建立平衡方程：同理，由平衡方程：為求，另取微單元B，各面上的應(yīng)力分量如圖所示，板厚為1xBxyoyyxxyr由平衡方程：應(yīng)力初分量砍由直奴角坐著標(biāo)向雖極坐俱標(biāo)的俊坐標(biāo)脫坐標(biāo)恒變換趙式：反之，餓應(yīng)力分紛量由極菌坐標(biāo)向脹直角坐侄標(biāo)的坐火標(biāo)坐標(biāo)診變換式?。和瑢W(xué)駝們可賺以自常行推零導(dǎo)4—5跑軸對線稱應(yīng)力脊和相應(yīng)萍的位移一、軸待對稱問仆題的應(yīng)新力分量應(yīng)力天狀態(tài)非對稱蔑于過z軸的泰任意苦平面媽，也重就是限繞z軸是儉對稱漲的，蛋所以慘，應(yīng)余力分引量也勵(lì)是軸嫩對稱循的，孟也即別，應(yīng)屠力分賠量只子是r的函陡數(shù)，啊不隨而變塘化用逆解圍法：設(shè)淋應(yīng)力函披數(shù)為=鏟（r）相應(yīng)的側(cè)應(yīng)力分形量為：將應(yīng)踩力函叔數(shù)代踏入相悉容方盆程得言：四階常系數(shù)齊次微分方程此方程得通解為：其中，A、B、C、D是待定常數(shù)相應(yīng)的應(yīng)力分量由此可乏以看出示，應(yīng)力灘分量只栗是r得函數(shù)今，不隨而變太化，瞇且只肺有正明應(yīng)力稈，無識剪應(yīng)犬力二、目軸對叉稱問鍵題的番應(yīng)變妖和位宿移1、識應(yīng)變趟分量由此駱可見鳳，應(yīng)透變分濤量也頂只是r的函派數(shù)，昂與無關(guān)彼，即應(yīng)可變繞z軸對肉稱2、位泥移分量積分得描：由此此求得擴(kuò)：將ur、u代入下式由此得：整理后得：此式忌左邊足是r的函渾數(shù)，薪右邊嶼是的函澡數(shù)，要旦使左邊弟與右邊處保持相按等，只稱可能等彼于同一香常數(shù)F，即（1）（2）由（1）式求得：由（2）式求得：將以上計(jì)各式代津入位移判分量得頂表達(dá)式鈴，可得棒軸對稱趙應(yīng)力狀鏟態(tài)下的舒位移分租量：上式類中H、F磚、I、含K是待定磁常數(shù)上式產(chǎn)