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湖南省益陽市堤卡子中學高二數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若,則角B的值為(
)A.
B.
C.或
D.或參考答案:D2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油,需對原油進行冷卻和加熱,如果第x小時,原油溫度(單位:℃)為f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A.8 B. C.-1 D.-8參考答案:C略3.按照程序框圖(如右圖)執(zhí)行,第4個輸出的數(shù)是(
)A.4 B.5
C.6 D.7參考答案:D4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為6,則輸出的值為A.105
B.16
C.15
D.1參考答案:C.試題分析:根據(jù)程序框圖確定框圖所要執(zhí)行的運算,由輸入的依次進行運算求,根據(jù)判斷框中的條件判斷運算是否執(zhí)行,得到結(jié)果,故選C.考點:程序框圖.5.在等比數(shù)列中,=1,=3,則的值是
(
)A.14
B.
C.18
D.20參考答案:B略6.若是等差數(shù)列,首項,則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是(
) A.4005
B.4006
C.4007
D.4008參考答案:B7.函數(shù)在處的切線與直線平行,則=(
)A.0B.1C.2D.3參考答案:B略8.已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合,且其漸近線的方程為,則該雙曲線的標準方程為(
)A. B.
C.D.參考答案:C略9.已知{1,2}?Z?{1,2,3,4,5},滿足這個關(guān)系式的集合Z共有
().A.2個
B.6個
C.4個
D.8個參考答案:D10.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)>0的解集是()A.(-3,0)∪(0,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出n的值為
參考答案:412.已知四面體中,且,則異面直線與所成的角為________.參考答案:13.已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù),且a3·a7=-12,a4+a6=-4,則S20=
.參考答案:18014.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點,過左焦點F1的直線與橢圓C交于A,B兩點,且,,則橢圓C的離心率為________參考答案:【分析】連接,設(shè),利用橢圓性質(zhì),得到長度,分別在△和中利用余弦定理,得到c的長度,根據(jù)離心率的定義計算得到答案.【詳解】設(shè),則,,由,得,,在△中,,又在中,,得故離心率【點睛】本題考察了離心率的計算,涉及到橢圓的性質(zhì),正余弦定理,綜合性強,屬于難題.15.函數(shù)f(x)=ax3+3x2+2,若f′(﹣1)=4,則a的值等于.參考答案:【考點】導數(shù)的運算.【分析】利用求導法則求出f(x)的導函數(shù),根據(jù)f′(﹣1)=4列出關(guān)于a的方程,求出a的值即可.【解答】解:f′(x)=3ax2+6x,把x=﹣1代入f′(x)中得3a﹣6=4,∴a=.故答案為:16.已知直線的傾斜角為300,直線,則直線的斜率是_____。參考答案:17.在△ABC中,三個角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若角A,B,C成等差數(shù)列,且邊a,b,c成等比數(shù)列,則△ABC的形狀為__________.參考答案:等邊三角形角,,成等差數(shù)列,則,,解得,邊,,成等比數(shù)列,則,余弦定理可知,故為等邊三角形.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)(I)若的極小值為1,求實數(shù)a的值;(II)當時,記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于x的不等式有解?若存在求出的最小值,若不存在,說明理由.參考答案:(I);(II)【分析】(I)求出的定義域以及導數(shù),討論的范圍,求出單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合的極小值為1,即可求得實數(shù)a的值;(II)求出的定義域以及導數(shù),利用導數(shù)研究最小值的范圍,即可求出?!驹斀狻浚↖)①時,,故在上單增,故無極小值。②時,故在上單減,在上單增,故.故(II)當時,由于在上單增,且故唯一存在使得,即故在上單減,在上單增,故又且在上單增,故,即依題意:有解,故,又,故【點睛】本題考查已知極值求參數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及最值,綜合性強,屬于中檔題。19.(本小題滿分12分)設(shè)曲線(其中a>0)在點(x1,f(x1))及(x2,f(x2))處的切線都過點(0,2).證明:當時,參考答案:解:f(x)=,f’(x)=。由于點(t,f(t))處的切線方程為y-f(t)=f’(t)(x-t),而點(0,2)在切線上,所以2-f(t)=f’(t)(-t),化簡得,由于曲線y=f(x)在點及處的切線都過點(0,2),即x1,x2滿足方程下面用反證法證明結(jié)論:假設(shè)f’()=,則下列等式成立:由(3)得由(1)-(2)得又∴,此時,與矛盾,所以。
略20.已知函數(shù)(1)若,當時,求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有唯一的零點,求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1)的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(2)實數(shù)的取值范圍為?!痉治觥浚?)對函數(shù)求導,把代入導函數(shù)中,利用導函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)有唯一的零點等價于方程有唯一實數(shù)根,利用導數(shù)研究函數(shù)與的交點即可求出實數(shù)的取值范圍?!驹斀狻浚?)由題可得:,定義域為,,,令得:或(舍去)令得:或,結(jié)合定義域得:令得:,結(jié)合定義域得:的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,(2)函數(shù)有唯一的零點等價于只有唯一的實數(shù)根,顯然,則只有唯一的實數(shù)根等價于關(guān)于的方程有唯一實數(shù)根,構(gòu)造函數(shù),則,令,解得:,令,解得:,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;令,解得:,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;的極小值為,如圖,作出函數(shù)的大致圖像,則要使方程只有唯一實數(shù)根,只需要直線與曲線只有唯一交點,或,解得:或,故實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點的定義,考查學生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于較難題目。21.已知函數(shù).(I)求不等式≤6的解集;(Ⅱ)若關(guān)于的不等式>恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案:
解:(I)原不等式等價于或
………………3分解,得.即不等式的解集為
………………6分(II).
………………8分.………………10分22.設(shè)函數(shù)的
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