材料力學之彎曲應力講義

第五章彎曲應力材料力學1§5–1引言§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力§5–3梁橫截面上的剪應力§5–4梁的正應力和剪應力強度條件梁的合理截面§5–5非對稱截面梁的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心§5–6考慮材料塑性時的極限彎矩第五章彎曲應力2§5－１引言彎曲應力1、彎曲構件橫截面上的（內力）應力內力剪力Q剪應力t彎矩M正應力s3平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)彎曲應力2、研究方法縱向對稱面P1P2例如：4某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。彎曲應力PPaaABQMxx純彎曲(PureBending):PPPa5§5－2平面彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲應力中性層縱向對稱面中性軸bdacabcdMM6橫截面上只有正應力。

平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論彎曲應力2.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。7A1B1O1O4.幾何方程：

彎曲應力abcdABdqrxy)))OO1)8

（二）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。彎曲應力sxsx（三）靜力學關系：9彎曲應力（對稱面）……(3)EIz桿的抗彎剛度。10（四）最大正應力：彎曲應力……(5)DdDd=abBhH11例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。彎曲應力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩3012彎曲應力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應力1803013求曲率半徑彎曲應力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax121201803014§5－3梁橫截面上的剪應力一、矩形截面梁橫截面上的剪應力1、兩點假設：

①剪應力與剪力平行；

②矩中性軸等距離處，剪應力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖b；

②在微段上取一塊如圖c，平衡彎曲應力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c15彎曲應力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應力互等16彎曲應力Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應力1、研究方法與矩形截面同;剪應力的計算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；172、幾種常見截面的最大彎曲剪應力

彎曲應力Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtf結論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應力Af—腹板的面積。;?maxAQtf18

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：彎曲應力exyzPQeQeh19§5-4梁的正應力和剪應力強度條件?梁的合理截面1、危險面與危險點分析：①一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。彎曲應力QtsssMt一、梁的正應力和剪應力強度條件202、正應學力和剪刷應力強萌度條件興：②帶翼緣桿的薄壁仆截面，升最大正傲應力與留最大剪賤應力的辣情況與話上述相杯同；還弱有一個蜘可能危則險的點攏，在Q和M均很侄大的夾截面蠶的腹踢、翼見相交付處。擇（以穿后講化）彎曲卻應力3、強欄度條勿件應陡用：依此索強度溪準則妄可進睡行三壘種強餐度計技算：sMQtts214、需要局校核剪停應力的次幾種特鉆殊情況菊：②鉚接束或焊只接的無組合克截面凝，其盒腹板剝的厚寸度與熄高度艇比小遍于型怒鋼的呈相應法比值垂時，刻要校角核剪墓應力揉。①梁的葉跨度宏較短裙，M較小痕，而Q較大時匪，要校嗓核剪應音力。③各向異舍性材料學（如木截材）的硬抗剪能眠力較差否，要校代核剪搶應力睜。、校季核強肌度：①校核強度：②設計截面尺寸：③設計載荷：彎曲搖應力22解：冶畫物內力港圖求乞危面飼內力例2矩形(bh=0躍.1遞2m鉆0側.1及8m）截面木搬梁如圖行，[]=嶼7M恢Pa，[]=遵0.赤9較M派P艱a，試求境最大正應力搬和最大老剪應力狼之比,并校核詳梁的強鐵度。彎曲應褲力q=3.6kN/mxM+ABL=3悅mQ–+x23求最施大應力杜并校核哨強度應力之胖比彎曲應秩力q=3.6kN/mxM+Q–+x24y1y2GA1A2A3A4解：尼畫彎矩慢圖并求錘危面內襯力例3T字形籌截面零的鑄運鐵梁瘦受力步如圖螞，鑄統(tǒng)鐵的[L]=未30廚MP獲a，[y]=然60議M倦Pa，其截面撿形心位凱于C點，y1=5斜2m義m，y2=8茅8m止m，Iz=76亞3cm4，試校歸核此毀梁的甲強度狠。并粉說明T字梁廢怎樣清放置落更合榨理？4彎曲業(yè)應力畫趟危面獻應力劫分布用圖，條找危砌險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM25校核且強度T字頭忘在上側面合汪理。彎曲菜應力y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○26二、捆梁的誤合理滲截面（一調）矩攜形木蒸梁的寄合理插高寬貞比R北宋聲李誡各于110撇0年著?營造法伏式?一書箭中指解出:矩形扯木梁慰的合網(wǎng)理高偵寬比(h/b=紛)1.5英(T.厭Yo鈴un疑g)于180票7年著?自然脖哲學士與機總械技固術講蠶義?一書中橡指出:矩形殊木梁戰(zhàn)的合侮理高投寬比劑為彎曲應舞力bh27強度：轉正應力符：剪應為力：1、在拳面積悔相等爆的情油況下縫，選彎擇抗池彎模德量大儉的截翻面（二唯）其羽它材倡料與斷其它毅截面敘形狀崖梁的掉合理查截面彎曲應查力zD1zaa28彎曲應紋力zD0.8Da12a1z29工字形掠截面與厚框形截改面類似朽。彎曲應慢力0.8a2a21.6a22a2z30對于糠鑄鐵庸類抗習拉、胳壓能牢力不低同的改材料早，最件好使閥用T字形類伙的截面遲，并使賤中性軸映偏于抗多變形能鋼力弱的容一方，里即：若暢抗拉能捎力弱，侄而梁的劉危險截廁面處又兄上側受吳拉，則農令中性虛軸靠近妙上端。船如下圖滴：彎曲應蠟力2、根放據(jù)材估料特濤性選祖擇截旺面形冠狀sGz31彎曲應狼力（三呈）采用包變截夫面梁搞，香如下切圖：最好是悄等強度調梁，即若為等托強度矩評形截面墻，則高杠為同時Px32§5-5非對斗稱截絡面梁余的平盯面彎末曲?開口薄技壁截面讀的彎曲貫中心幾何方鐘程與物格理方程盤不變。彎曲應釣力PxyzO33依此確漲定正應島力計算制公式。剪應疼力研廟究方謊法與泡公式區(qū)形式交不變需。彎曲躺應力彎曲征中心(剪力閥中心)：使抬桿不步發(fā)生女扭轉臉的橫秒向力倒作用港點。（如前倘述坐標袍原點O）PxyzO34槽鋼堆：彎曲罷應力非對禽稱截唐面梁綿發(fā)生踢平面峽彎曲晶的條恢件：礙外力券必須渴作用及在主出慣性霜面內畏，中辜性軸讀為形儲心主英軸，,若是后橫向健力，婚還必撒須過味彎曲陳中心決。exyzPPsMQe35彎曲中棚心的確嗽定:(1)雙對宇稱軸渡截面均，彎任心與駛形心烘重合能。(2)反對稱贈截面，傲彎心與具反對稱腿中心重永合。(3)若截面熄由兩個醉狹長矩飾形組成供，彎心哈與兩矩幸形長中丹線交點役重合。(4選)求彎心堪的普遍丘方法：彎曲懷應力CCCQyeC36ssss§5良-6考慮材惱料塑性粗時的極攪限彎矩（一顯）物叫理關盒系為考：全面屈朱服后,平面假吉設不再厚成立;仍做踏縱向秩纖維燈互不搶擠壓伏假設碗。彎曲仙應力sessss理想偶彈塑瘦性材濱料的s-e圖ssss彈性親極限互分布宿圖塑性極叼限分布甩圖37（二縣）靜狀力學企關系重：（一）寨物理關距系為：彎曲測應力yzxssMjx橫截面圖正應力分布圖38彎曲應熄力yzxssMjx橫截面圖正應力分布圖39[例4]試求胸矩形膊截面辛梁的傍彈性患極限圍彎矩Mmax與塑毫性極片限彎攏矩Mjx之比。解：彎曲呀應力40第五茅章航練際習題一、推愈導梁彎疑曲正應涉力公式撤時，采疊用了哪周兩個假悲設？二、矩利形截面室懸臂梁愧在自由展端作用悼力偶M。已知梁須頂面的粘縱向正炭應變?yōu)?.0妥008，試求