人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系章末復(fù)習(xí)課 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理各知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識。2。提高綜合運用知識的能力和空間想象能力,在空間實現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．1.四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（平行，相交)),異面直線:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點))3．平行的判定與性質(zhì)(1）直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β,α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b（2）面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β,b?β,a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α(3）空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系4．垂直的判定與性質(zhì)（1)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意直線）a⊥αa⊥m,a⊥n,m、n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b（2）平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(l?β，l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(α⊥β,，α∩β＝a，，l?β，,l⊥a))?l⊥α（3）空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系5．空間角（1）異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角（或直角)叫做異面直線a，b所成的角(或夾角）．②范圍：設(shè)兩異面直線所成角為θ，則0°〈θ≤90°.(2)直線和平面所成的角①平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線與這個平面所成的角．②當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi)）時,規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.（3)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．類型一幾何中共點、共線、共面問題例1如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2。求證：（1)E、F、G、H四點共面；（2)GE與HF的交點在直線AC上．證明（1）∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH,∴E、F、G、H四點共面．（2）∵G、H不是BC、CD的中點，∴EF≠GH。又EF∥GH，∴EG與FH不平行，則必相交，設(shè)交點為M.eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EG?面ABC,HF?面ACD））?M∈面ABC且M∈面ACD?M在面ABC與面ACD的交線上，又面ABC∩面ACD＝AC?M∈AC?！郍E與HF的交點在直線AC上．反思與感悟（1）證明共面問題證明共面問題，一般有兩種證法:一是由某些元素確定一個平面,再證明其余元素在這個平面內(nèi)；二是分別由不同元素確定若干個平面，再證明這些平面重合．（2)證明三點共線問題證明空間三點共線問題,通常證明這些點都在兩個面的交線上，即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上，再證明第三個點是兩個平面的公共點，當(dāng)然必在兩個平面的交線上．（3）證明三線共點問題證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題．跟蹤訓(xùn)練1如圖，O是正方體ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方體對角線AC1和截面A1BD的交點．求證：O、M、A1三點共線．證明∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1?！進(jìn)∈AC1，AC1?平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1。又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三點都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三點都在平面A1BD上，所以O(shè)、M、A1三點都在平面ACC1A1與平面A1BD的交線上，所以O(shè)、M、A1三點共線．類型二平行、垂直關(guān)系例2如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE,F為B1C1的中點．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE。證明(1）因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC。又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD。又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2）因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1。因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由（1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD。又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.引申探究如圖所示,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．（1)求證:AC⊥BC1，(2）求證：AC1∥平面CDB1。證明(1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC⊥BC。又因為C1C⊥AC，C1C∩CB＝C,所以AC⊥平面BCC1B1。因為BC1?平面BCC1B1，所以AC⊥BC1。(2）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連接DE，四邊形BCC1B1為正方形．因為D是AB的中點，E是BC1的中點，所以DE∥AC1.因為DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.反思與感悟（1)判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的,判定線面平行的兩種方法：①利用線面平行的判定定理．②利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時,其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．(2）判斷面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②面面平行的傳遞性（α∥β，β∥γ?α∥γ）．③利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β）．(3)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗證任意性）．②線面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α）．③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)（a∥b,b⊥α?a⊥α)．④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)．⑤面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥β?a⊥β)．⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ)．跟蹤訓(xùn)練2如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點．（1)求證：BC⊥平面PAC；（2)設(shè)Q為PA的中點，G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC。證明（1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC。又PA∩AC＝A,PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.（2)連接OG并延長交AC于點M,連接QM，QO,由G為△AOC的重心，得M為AC的中點．由Q為PA的中點，得QM∥PC，又O為AB的中點，得OM∥BC.因為QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO,BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC。因為QG?平面QMO,所以QG∥平面PBC。類型三空間角的求解例3如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA＝BD＝eq\r(2）,AD＝2，PA＝PD＝eq\r(5)，E，F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點．(1）證明：EF∥平面PAB；（2)若二面角P－AD－B為60°。①證明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．（1）證明如圖所示，取PB的中點M，連接MF,AM.因為F為PC的中點，所以MF∥BC，且MF＝eq\f（1,2)BC.由已知有BC∥AD,BC＝AD，又由于E為AD的中點,因而MF∥AE且MF＝AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM.又AM?平面PAB,而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.（2）①證明連接PE，BE.因為PA＝PD，BA＝BD，而E為AD的中點，所以PE⊥AD,BE⊥AD，所以∠PEB為二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝eq\r（5），AD＝2,可解得PE＝2。在△ABD中，由BA＝BD＝eq\r(2)，AD＝2，可解得BE＝1。在△PEB中，PE＝2，BE＝1,∠PEB＝60°，故可得∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,從而BE⊥BC，又BC∩PB＝B,因此BE⊥平面PBC。又BE?平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD。②解連接BF,由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB為直線EF與平面PBC所成的角．由PB＝eq\r（3)及已知，得∠ABP為直角，而MB＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(\r（3）,2），可得AM＝eq\f（\r（11），2），故EF＝eq\f(\r(11）,2）。又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝eq\f（BE,EF)＝eq\f（2\r（11）,11）。所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(2\r（11)，11）.反思與感悟(1）求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法（轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．(2）求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法（即作垂線、找射影)．（3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法;③垂面法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，正方體的棱長為1,B′C∩BC′＝O，求:(1)AO與A′C′所成角的大?。?2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的大?。?1）∵A′C′∥AC,∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f（\r(2），2)，AC＝eq\r（2），sin∠OAC＝eq\f(OC，AC）＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f（1，2)，AE＝eq\r（12＋\f（1,2）2)＝eq\f(\r(5）,2），∴tan∠OAE＝eq\f(OE，AE）＝eq\f（\r（5),5）.即AO與平面ABCD所成角的正切值為eq\f(\r(5)，5).（3)∵OC⊥OA,OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC。即平面AOB與平面AOC所成角為90°。1．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1,l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1,l2,l3共面答案B解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時,l1也可能與l3相交或異面，故A錯;l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3，B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時，l1,l2,l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；l1，l2,l3共點時，l1,l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱,故D錯．2．設(shè)有不同的直線m、n和不同的平面α、β，下列四個命題中，正確的是（)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α,n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α,則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α,則m∥α答案D解析選項A中當(dāng)m∥α,n∥α?xí)r,m與n可以平行、相交、異面;選項B中滿足條件的α與β可以平行，也可以相交；選項C中，當(dāng)α⊥β，m?α?xí)r，m與β可以垂直，也可以平行等．故選項A、B、C均不正確．3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面ACE的關(guān)系是_____．答案BD1∥平面ACE解析如圖，連接BD交AC于點O,連接EO。在△BDD1中,EO綊eq\f(1，2)BD1,BD1?平面AEC，EO?平面AEC，∴BD1∥平面ACE.4．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，則AC與平面BCD所成的角是________．答案45°解析如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO。因為AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD。因此，∠ACO即為AC與平面BCD所成的角．由于∠BAD＝90°＝∠BCD，所以AO＝OC＝eq\f(1，2)BD，又AO⊥OC，所以∠ACO＝45°.5．如圖，在棱錐P－ABC中,D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC,PA＝6，BC＝8，DF＝5。求證:(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA。又因為PA?平面DEF,DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF。(2）因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC,AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1，2）PA＝3，EF＝eq\f（1,2)BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E,AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC。一、平行關(guān)系1．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．直線與平面平行的主要判定方法（1)定義法;（2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)．3．平面與平面平行的主要判定方法(1）定義法；(2)判定定理；（3）推論；（4）a⊥α，a⊥β?α∥β.二、垂直關(guān)系1．空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2．判定線面垂直的常用方法(1）利用線面垂直的判定定理．（2）利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．（3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”．（4）利用面面垂直的性質(zhì)．3．判定線線垂直的方法(1）平面幾何中證明線線垂直的方法．（2）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α,b?α?a⊥b。（3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b。4．判斷面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交,所成的二面角是直二面角．（2)判定定理:a?α，a⊥β?α⊥β.三、空間角的求法1．找異面直線所成角的三種方法(1）利用圖中已有的平行線平移．(2）利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移．（3)補形平移．2．線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足．通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形．課時作業(yè)一、選擇題1．下列說法正確的是()A．經(jīng)過空間內(nèi)的三個點有且只有一個平面B．如果直線l上有一個點不在平面α內(nèi)，那么直線上所有點都不在平面α內(nèi)C．四棱錐的四個側(cè)面可能都是直角三角形D．用一個平面截棱錐，得到的幾何體一定是一個棱錐和一個棱臺答案C解析在A中，經(jīng)過空間內(nèi)的不共線的三個點有且只有一個平面，故A錯誤；在B中，如果直線l上有一個點不在平面α內(nèi)，那么直線與平面相交或平行，則直線上最多有一個點在平面α內(nèi)，故B錯誤;在C中，如圖的四棱錐，底面是矩形，一條側(cè)棱垂直底面，那么它的四個側(cè)面都是直角三角形，故C正確；在D中，用一個平行于底面的平面去截棱錐,得到兩個幾何體,一個是棱錐,一個是棱臺，故D錯誤．故選C.2．設(shè)α－l－β是二面角，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且a、b與l均不垂直，則（)A．a(chǎn)與b可能垂直也可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直,但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行答案A解析∵α－l－β是二面角，直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi)，且a、b與l均不垂直，∴當(dāng)a∥l，且b∥l時，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故B與D不正確；當(dāng)a,b垂直時，若二面角是直二面角，則a⊥l與已知矛盾,若二面角不是直二面角，則a，b可以垂直，且滿足條件,故C不正確；∴a與b有可能垂直，也有可能平行，故選A。3．在空間中，a，b是不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列條件中可推出a∥b的是（）A．a(chǎn)?α,b?β，α∥β B．a(chǎn)∥α,b?βC．a(chǎn)⊥α,b⊥α D．a(chǎn)⊥α，b?α答案C解析對于A,若a?α，b?β，α∥β，則a與b沒有公共點，即a與b平行或異面；對于B,若a∥α，b?α,則a與b沒有公共點，即a與b平行或異面；對于C，若a⊥α，b⊥α，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得a∥b；對于D，若a⊥α，b?α，則由線面垂直的定義可得a⊥b，故選C。4．已知直線l?平面α，直線m?平面α,下面四個結(jié)論：①若l⊥α，則l⊥m；②若l∥α，則l∥m；③若l⊥m，則l⊥α;④若l∥m，則l∥α，其中正確的是（)A．①②④B．③④C．②③D．①④答案D解析由直線l?平面α，直線m?平面α，知在①中，若l⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得l⊥m,故①正確；在②中，若l∥α，則l與m平行或異面，故②錯誤;在③中，若l⊥m，則l與α不一定垂直,故③錯誤;在④中，若l∥m，則由線面平行的判定定理得l∥α，故④正確．故選D。5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號是（）A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn),G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D,故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交,∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；∵E,F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正確;∵EF與平面BC1D1相交,∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A。6．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點，則下面結(jié)論中錯誤的是()A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CED D．平面ADE⊥平面BCE答案C解析由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°,即AE⊥EB.∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB?！郆E⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE。同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正確．而DE⊥平面CED不正確．故選C.7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°。側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯誤的是（)A．在棱AD上存在點M,使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P－BC－A的大小為45°D．BD⊥平面PAC答案D解析對于A，取AD的中點M，連PM,BM,∵側(cè)面PAD為正三角形,∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，∴△ABD是等邊三角形,∴AD⊥BM，∴AD⊥平面PBM，故A正確．對于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對于C,∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，設(shè)AB＝1，則BM＝eq\f（\r(3),2），PM＝eq\f（\r（3)，2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM，BM）＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A的大小為45°，故C正確．錯誤的是D，故選D。二、填空題8．一個正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC,若木塊的棱長為a，則截面面積為________．答案eq\f（a2，4)解析在平面VAC內(nèi)作直線PD∥AC，交VC于D，在平面VBA內(nèi)作直線PF∥VB，交AB于F，過點D作直線DE∥VB，交BC于E，連接EF?！逷F∥DE，∴P，D,E，F(xiàn)四點共面,且面PDEF與VB和AC都平行，則四邊形PDEF為邊長為eq\f(1,2)a的正方形，故其面積為eq\f(a2,4）。9．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當(dāng)AF＝________時,CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由已知得B1D⊥平面AC1，又CF?平面AC1，∴B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF。設(shè)AF＝x（0＜x＜3a)，則CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x）2，解得x＝a或2a。故答案為a或2a。10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下面結(jié)論：①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\f（\r(2)，2);④AD1與BD為異面直線．其中正確的結(jié)論的序號是________．答案②③④解析①因為AC∩平面CB1D1＝C，所以AC∥平面CB1D1錯誤，所以①錯誤．②連接BC1，A1C1，則AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，因為B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，所以②正確．③因為AC1在底面ABCD的射影為AC，所以∠C1AC是AC1與底面ABCD所成的角，所以tan∠C1AC＝eq\f（C1C，AC）＝eq\f（1,\r（2)）＝eq\f（\r（2），2），所以③正確．④由異面直線的定義可知，AD1與BD為異面直線,所以④正確．故答案為②③④.三、解答題11．一個空間幾何的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1)所示，直觀圖如圖（2）所示．圖(1)圖(2）（1)求它的體積；(2)證明:A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點,在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論．（1）解四邊形BCC1B1是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3）,BC＝1，且AA1C1C是邊長為eq\r（3）的正方形，垂直于底面BB1C1C,所以該幾何體的體積為V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3）＝eq\f（3,2)。（2)證明因為∠ACB＝90°,所以BC⊥AC，又因為三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，所以BC⊥CC1，又因為AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥A1C；又因為B1C1∥BC，所以B1C1⊥A1C,又因為四邊形ACC1A1為正方形，所以A1C⊥AC1,又B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.（3)解當(dāng)E為棱AB的中點時,DE∥平面AB1C1，證明：如圖所示,取BB1的中點F，連接EF、FD、DE。因為D、E、F分別是棱CC1，AB和BB1的中點，所以EF∥AB1,又AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1。又FD∥B1C1，所以FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F,所以平面DEF∥平面AB1C1,而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1。12．在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2,BC＝2eq\r(3)，M，N分別為BC，AB的中點．（1)求證：MN∥平面PAC；（2)求證：平面PBC⊥平面PAM；(3）在AC上是否存在點E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的長，若不存在，請說明理由．(1)證明因為M，N分別為BC，AB的中點,所以MN∥AC.