理論力學課件一八

第八章點的合成運動1§8–1點的合成運動的概念§8–2點的速度合成定理§8–3牽連運動為平動時點的加速度合成定理§8–4牽連運動為轉動時點的加速度合成定理習題課第八章點的合成運動2§8-1點的合成運動的概念

一．坐標系：

1.靜坐標系：把固結于地面上的坐標系稱為靜坐標系,簡稱靜系。

2.動坐標系：把固結于相對于地面運動物體上的坐標系，稱為動坐標系，簡稱動系。例如在行駛的汽車。前兩章中我們研究點和剛體的運動，一般都是以地面為參考體的。然而在實際問題中，還常常要在相對于地面運動著的參考系上觀察和研究物體的運動。例如，從行駛的汽車上觀看飛機的運動等，坐在行駛的火車內看下雨的雨點是向后斜落的等。

為什么在不同的坐標系或參考體上觀察物體的運動會有不同的結果呢？我們說事物都是相互聯(lián)系著的。下面我們就將研究參考體與觀察物體運動之間的聯(lián)系。為了便于研究，下面先來介紹有關的概念。運動學3三．三種運動及三種速度與三種加速度。

１．絕對運動：動點對靜系的運動。

２．相對運動：動點對動系的運動。例如：人在行駛的汽車里走動。

３．牽連運動：動系相對于靜系的運動例如：行駛的汽車相對于地面的運動。

絕對運動中,動點的速度與加速度稱為絕對速度與絕對加速度相對運動中,動點的速度和加速度稱為相對速度與相對加速度牽連運動中,牽連點的速度和加速度稱為牽連速度與牽連加速度牽連點：在任意瞬時，動坐標系中與動點相重合的點，也就是設想將該動點固結在動坐標系上，而隨著動坐標系一起運動時該點叫牽連點。點的運動剛體的運動運動學二．動點：所研究的點（運動著的點）。4下面舉例說明以上各概念：

四．動點的選擇原則：一般選擇主動件與從動件的連接點，它是對兩個坐標系都有運動的點。

五．動系的選擇原則：動點對動系有相對運動，且相對運動的軌跡是已知的，或者能直接看出的。運動學動點：動系：靜系：AB桿上A點固結于凸輪Ｏ'上固結在地面上5運動學相對運動：牽連運動：曲線（圓弧）直線平動絕對運動：直線6運動學絕對速度：相對速度：牽連速度：7絕對加速度：相對加速度：牽連加速度：運動學8動點：A（在圓盤上)動系：O'A擺桿靜系：機架絕對運動：曲線（圓周）相對運動：直線牽連運動：定軸轉動運動學動點：A1（在O'A1

擺桿上)動系：圓盤靜系：機架絕對運動：曲線（圓?。┫鄬\動：曲線牽連運動：定軸轉動9

若動點A在偏心輪上時動點：A(在AB桿上)A（在偏心輪上）動系：偏心輪AB桿靜系：地面地面絕對運動：直線圓周（紅色虛線）相對運動：圓周（曲線）曲線（未知）牽連運動：定軸轉動平動[注]要指明動點應在哪個物體上，但不能選在動系上。運動學10§８－２點的速度合成定理速度合成定理將建立動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關系。＝＋運動學當t

t+△t

ABA'B'

MM'也可看成MM１M′MM'為絕對軌跡MM'為絕對位移M1M'為相對軌跡M1M'為相對位移將上式兩邊同除以后，時的極限，得取一．證明11運動學12說明：va—動點的絕對速度；

vr—動點的相對速度；

ve—動點的牽連速度，是動系上一點(牽連點)的速度

I)動系作平動時，動系上各點速度都相等。 II)動系作轉動時，ve必須是該瞬時動系上與 動點相重合點的速度。

即在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。運動學13點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小?方向六個元素，已知任意四個元素，就能求出其他兩個。二．應用舉例運動學[例1]橋式吊車已知：小車水平運行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v。求物塊A的運行速度。14運動學作出速度平四邊形如圖示，則物塊Ａ的速度大小和方向為解：選取動點:物塊A

動系:小車

靜系:地面相對運動:直線;相對速度vr=v方向牽連運動:平動;牽連速度ve=v平方向絕對運動:曲線;絕對速度va

的大小,方向待求由速度合成定理：15解：取OA桿上A點為動點，擺桿O1B為動系，基座為靜系。 絕對速度va

=r方向

OA 相對速度vr

=?方向//O1B 牽連速度ve

=?方向O1B（）運動學[例2]曲柄擺桿機構已知：OA=r,,OO1=l圖示瞬時OAOO1

求：擺桿O1B角速度1由速度合成定理va=vr+

ve作出速度平行四邊形如圖示。16由速度合成定理va=vr+

ve，作出速度平行四邊形如圖示。解：動點取直桿上A點，動系固結于圓盤，

靜系固結于基座。絕對速度va

=?待求，方向//AB相對速度

vr

=?未知，方向CA牽連速度ve=OA=2e,方向

OA（翻頁請看動畫）

運動學[例3]圓盤凸輪機構已知：OC＝e,,（勻角速度）圖示瞬時,OCCA

且O,A,B三點共線。求：從動桿AB的速度。17運動學18由上述例題可看出，求解合成運動的速度問題的一般步驟為：

選取動點，動系和靜系。

三種運動的分析。三種速度的分析。根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形。根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。恰當?shù)剡x擇動點、動系和靜系是求解合成運動問題的關鍵。運動學19動點、動系和靜系的選擇原則

動點、動系和靜系必須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對和牽連運動中就缺少一種運動，不能成為合成運動

動點相對動系的相對運動軌跡易于直觀判斷（已知絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題除外）。運動學20分析：相三接觸三的兩三個物三體的三接觸三點位三置都三隨時三間而三變化三，因三此兩三物體三的接三觸點三都不三宜選三為動三點，三否則三相對三運動三的分三析就三會很三困難三。這三種情三況下三，需三選擇三滿足三上述三兩條三原則三的非三接觸三點為三動點三。運動三學[例４]已知:凸輪三半徑r,圖示三時三桿OA靠在三凸輪三上。求：三桿OA的角三速度三。21解:取凸三輪上C點為動點,動系固結三于OA桿上,靜系固結三于基三座。絕對運動:直線運動,絕對速度:相對運動:直線運動,相對速度:牽連運動:定軸轉動,牽連速度:如圖示。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形（）運動三學22§8三-3牽連三運動三為平三動時三點的三加速三度合三成定三理由于牽連運動為平動，故由速度合成定理對t求導：運動三學設有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動。23(其中 為動系坐標的單位矢量，因為動系為平動，故它們的方向不變，是常矢量，所以 ）運動三學—牽連運動為平動時點的加速度合成定理即當三牽連三運動三為平三動時三，動三點的三絕對三加速三度等三于牽三連加三速度與相三對加三速度三的矢三量和三?！嘁话闶娇蓪憺椋?4解：取三桿上三的A點為動點，動系與凸三輪固三連。運動三學[例1]已知三：凸三輪半三徑求：j=6三0o時,頂桿AB的加三速度三。請看三動畫25絕對三速度va=三?三,方向AB；絕對三加速三度aa=?三,方向AB，待求三。相對三速度vr=三?三,方向CA;相對三加速三度art=?方向CA,方向三沿CA指向C牽連三速度ve=v0,方向三→三;牽連三加速三度ae=a0,方向三→運動三學由速度合成定理做出三速度三平行三四邊三形,如圖三示。26運動三學因牽連三運動三為平三動，故三有作加速三度矢三量圖如圖三示，將上三式投三影到三法線三上，三得整理得n27§8三-4牽連三運動三為轉三動時三點的三加速三度合三成定三理上一三節(jié)我三們證三明了三牽連三運動三為平三動時三的點三的加三速度三合成三定理三，那么三當牽三連運三動為三轉動三時，三上述三的加三速度三合成三定理三是否三還適用三呢？三下面三我們三來分三析一三特例三。運動三學設一圓盤以勻角速度繞定軸Ｏ順時針轉動，盤上圓槽內有一點M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應是多少呢？28相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速三度合三成定三理可三得出運動三學選點M為動三點，三動系三固結三與圓三盤上，則M點的牽連三運動為勻三速轉三動（方三向如三圖）即絕對三運動也為三勻速三圓周三運動三，所三以方向三指向三圓心Ｏ點29運動三學分析上式： 還多出一項2vr?？梢?，當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。那么他們之間的關系是什么呢？2vr又是怎樣出現(xiàn)的呢？它是什么呢？下面我們就來討論這些問題，推證牽連運動為轉動時點的加速度合成定理。30運動三學三種速度分析牽連速度相對速度絕對速度

t瞬時在位置Ｉt+Dt瞬時在位置II可以三看出三，經三過Dt時間三間隔三，牽三連速三度和三相對三速度三的大三小和三方向三都變三化了三。設有三已知三桿OA在圖三示平三面內三以勻繞軸O轉動三，套三筒M（可視三為點M）沿直三桿作三變速三運動三。取套三筒M為動三點，三動系三固結三于桿OA上，三靜系三固結三于機三架。31運動三學其中--在Dt內相對速度大小的改變量，它與牽連轉動無關。 --在Dt內由于牽連轉動而引起的相對速度方向的改變 量，與牽連轉動的的大小有關

。

Dt時間間隔內的速度變化分析相對速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取長度后，分解為和牽連速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取等于長后，將分解為和，32運動三學其中: —表示Dt內由于牽連轉動而引起的牽連速度方向的改變量，與相對運動無關。 —表示Dt內動點的牽連速度，由于相對運動而引起的大小改變量，與相對速度有關。加速度分析根據(jù)加速度定義上式中各項的物理意義如下：第一項大?。?3運動三學方向：Dt

0時，D

0,其方向沿著直桿指向A點。因此，第一項正是t瞬時動點的牽連加速度。第三項大?。簽閷诖笮「淖?方向：總是沿直桿。因此，該項恰是ｔ瞬時動點的相對加速度。第二項大?。涸擁棡橛捎谙鄬\動的存在而引起牽連速度的大小改變的加速度。第四項大小：這一項表明由于牽連轉動而引起相對速度方向改變的加速度。34運動三學所以三，當三牽連三運動三為轉三動時三，加三速度三合成三定理三為當牽三連運三動為三轉動三時，三動點三的絕三對加三速度三等于三它的三牽連三加速三度，三相對三加速三度和三科氏三加速三度三三者的三矢量三和。一般式

一般情況下

科氏加速度的計算可以用矢積表示由于第二項和第四項所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并為一項，用表示，稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。35解:動點:頂桿三上A點；動系:凸輪;靜系:地面三。絕對三運動:直線;絕對三速度:va=?待求,方向//AB;相對三運動:曲線;相對三速度:vr=?方向n;牽連三運動:定軸三轉動;牽連三速度:ve=三r，方向OA，三。運動三學方向：按右手法則確定。[例2]已知：凸輪機構以勻

繞O軸轉動，圖示瞬時OA=r，A點曲率半徑,已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。36運動三學根據(jù)三速度三合成三定理做出三速度三平行三四邊三形37運動三學由牽連三運動三為轉三動時三的加三速度三合成三定理作出加速三度矢三量圖如圖三示向n軸投影：38DABC解：點M1的科氏加速度 垂直板面向里。

運動三學[例3]矩形三板AB三CD以勻三角速三度繞固三定軸z轉動三，點M1和點M2分別三沿板三的對三角線BD和邊三線CD運動三，在三圖示三位置三時相三對于三板的三速度三分別三為三和三，三計算三點M1、M2的科三氏加三速度三大小,并圖三示方三向。點M2的科三氏加三速度39解：根據(jù)做出速度平行四邊形方向：與相同。運動三學[例4]曲柄三擺桿三機構已知三：O1A＝r三,,,1;取O1A桿上A點為三動點三，動三系固三結O2B上，試計三算動三點A的科三氏加三速度三。40運動三學第八章點的合成運動習題課一．概念及公式

1.一點、二系、三運動點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成．

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牽連運動為平動時牽連運動為轉動時41運動三學二．三解題三步驟1.選擇三動點三、動三系、三靜系三。2.分析三三種三運動三：絕三對運三動、三相對三運動三和牽三連運三動。3.作速三度分三析,畫出三速度三平行三四邊三形,求出三有關三未知三量(速度,角速三度）三。4.作加三速度三分析三，畫三出加三速度三矢量三圖，三求出三有關三的加三速度三、角加三速度三未知三量。42運動三學

二．解題技巧

1.恰當?shù)剡x擇動點.動系和靜系,應滿足選擇原則.，具體地有：

兩個不相關的動點，求二者的相對速度。根據(jù)題意,選擇其中之一為動點,動系為固結于另一點的平動坐標系。

運動剛體上有一動點，點作復雜運動。該點取為動點，動系固結于運動剛體上。

機構傳動,傳動特點是在一個剛體上存在一個不變的接觸點,相對于另一個剛體運動。導桿滑塊機構：典型方法是動系固結于導桿，取滑塊為動點。凸輪挺桿機構：典型方法是動系固結與凸輪，取挺桿上與凸輪接觸點為動點。

43運動三學特殊三問題,特點三是相三接觸三兩個三物體三的接三觸點三位置三都隨三時間三而變化.此時,這兩三個物三體的三接觸三點都三不宜三選為三動點三，應三選擇三滿足前三述的三選擇三原則三的非三接觸三點為三動點三。2.速度三問題,一般三采用三幾何三法求三解簡三便,即作三出速三度平三行四三邊形三；加速三度問三題,往往三超過三三個三矢量,一般三采用三解析三（投三影）三法求解，三投影三軸的三選取三依解三題簡三便的三要求三而定三。44

四．注意問題1.牽連速度及加速度是牽連點的速度及加速度。2.牽連轉動時作加速度分析不要丟掉，正確分析和計算。3.加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影式不同。4.圓周運動時，非圓周運動時，(為曲率半徑)運動三學r45已知:OA＝l,=45o

時，w,e;

求：小車的速度與加速度．解：動點：OA桿上A點;動系：固結在滑桿上;靜系：固結在機架上。

絕對運動：圓周運動，相對運動：直線運動，牽連運動：平動；[例1]曲柄三滑桿三機構請看三動畫運動三學46小車的速度：

根據(jù)速度合成定理 做出速度平行四邊形,如圖示投至x軸：，方向如圖示小車的加速度：根據(jù)牽連平動的加速度合成定理做出速度矢量圖如圖示。運動三學47[例2]搖桿三滑道三機構解：動點:銷子D(BC上);動系:固結于OA；靜系:固結于機架。

絕對運動：直線運動， 相對運動：直線運動，，沿OA線 牽連運動：定軸轉動，（）已知

求:OA桿的,。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。請看三動畫運動三學48投至軸：（）根據(jù)牽連轉動的加速度合成定理運動三學49請看三動畫[例3]曲柄三滑塊三機構解：動點:O1A上A點;動系:固結于BCD上,靜系固結于機架上。

絕對運動：圓周運動;相對運動：直線運動;牽連運動：平動;，水平方向運動三學已知：h;圖示瞬時;求:該瞬時桿的w2。50根據(jù) 做出速度平行四邊形再選三動點三：BC三D上F點動系三：固三結于O2E上，靜系三固結三于機三架上絕對三運動三：直三線運三動，相對三運動三：直三線運三動，