材料力學(xué)教學(xué)課件幻燈片一四

返回總目錄第11章

變型能法提要：本章主要討論利用變形能原理解決變形固體在外因作用下的位移計(jì)算，其中主要介紹卡氏定理的有關(guān)原理和方法，并利用該法計(jì)算桿或桿系的位移問(wèn)題。11.1基本概念任何彈性體在外力作用下都要發(fā)生變形，同時(shí)外力作用點(diǎn)要產(chǎn)生位移。因此，在彈性體變形過(guò)程中外力將沿其作用線方向做功，我們將此功稱為外力功。用W表示。當(dāng)彈性體的變形在彈性范圍內(nèi)時(shí)，外力由零緩慢增加，外力功將以能量的形式儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)部，通常稱為變形能，用U表示。在卸載過(guò)程中彈性體有恢復(fù)其原狀的能力。根據(jù)能量守恒定律可知，若不計(jì)其他能量損失，彈性體內(nèi)的變形能在數(shù)值上應(yīng)等于荷載所做的功，即：根據(jù)這一原理求解可變形固體的位移和內(nèi)力的方法稱為能量法。

(11.1)

一.軸向拉伸(壓縮)桿彈性變形能圖11.1(a)所示的受拉直桿，在線彈性范圍內(nèi)，當(dāng)拉力從零開(kāi)始增加到最終值時(shí)，桿件伸長(zhǎng)，與拉力之間的關(guān)系為一斜直線(圖11.1(b))，外力所做的功的大小可用三角形的面積來(lái)表示：(a)(b)圖11.1軸向受拉桿外力的功(a)受拉直桿；(b)與關(guān)系11.2變形能的計(jì)算根據(jù)式(11.1)可知，受拉桿的彈性變形能為11.2變形能的計(jì)算

(11.2)因，上式可寫(xiě)成

(11.3)二.受扭圓軸的彈性變形能圓軸受扭時(shí)(圖11.2(a))，在彈性范圍內(nèi)，外力偶矩從0增加到最終值M，則扭轉(zhuǎn)角與M的關(guān)系也是一斜直線(圖11.2(b))，與拉伸時(shí)一樣，外力偶矩M所做的功可用圖11.2(b)的三角形面積來(lái)表示：圖11.2(a)所示圓軸任意橫截面扭矩為常量11.2變形能的計(jì)算

(11.4)相距的兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)角所以圓軸內(nèi)儲(chǔ)存的變形能：

(11.5)若沿圓軸的扭矩為變量時(shí)，圓軸的變形能為

(11.6)11.2變形能的計(jì)算桿在彎曲情況下的變形能純彎曲情況圖11.3所示等直桿，在兩端受到縱對(duì)稱平面內(nèi)的集中力偶作用而發(fā)生純彎曲，當(dāng)外力偶由零逐漸增加到最終值時(shí)，梁的兩截面均產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，外力偶所做的功為圖11.3梁純彎情況下的變形11.2變形能的計(jì)算其中

(11.8)

(11.7)從而桿的彈性變形能為11.2變形能的計(jì)算2.橫力彎曲下桿在橫力彎曲下(圖11.4(a))，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，一般情況下，彎矩和剪力都是隨截面位置的不同而變化，都是的函數(shù)，彎矩和剪力產(chǎn)生的位移分別是獨(dú)立的。因此，分別計(jì)算彎矩和剪力相對(duì)應(yīng)的變形能。在細(xì)長(zhǎng)梁情況下，剪切產(chǎn)生的變形很小，通常忽略不計(jì)，只要計(jì)算彎曲產(chǎn)生的變形能即可。11.2變形能的計(jì)算(a) (b)圖11.4橫力彎曲情況下的變形圖(a)橫力彎曲；(b)受彎時(shí)的微段11.2變形能的計(jì)算從梁內(nèi)取出長(zhǎng)為的微段(圖11.4(b))，其左右兩截面上的彎曲分別是和。省略彎矩增量后，把微段看作純彎曲情況，應(yīng)用公式(11.9)。全梁的彎曲變形能為

(11.9)如在梁各段內(nèi)，彎曲由不同的函數(shù)表示，上列積分應(yīng)分段進(jìn)行，然后再求其總和。11.2變形能的計(jì)算四.彈性變形能的一般公式式中，為廣義力，在拉伸時(shí)表示拉力，扭轉(zhuǎn)或彎曲時(shí)表示為力偶矩；為廣義位移，與廣義力相對(duì)應(yīng)的位移。與集中力對(duì)應(yīng)的是線位移，與集中力偶對(duì)應(yīng)的是角位移。在線彈性體的情況下，廣義力和廣義位移是線性關(guān)系，運(yùn)用胡克定理，上式還可以寫(xiě)成：

(11.10)

(11.11)式中，C是桿的剛度，從上式可以看出，彈性變形能是廣義力或廣義位移的二次函數(shù)。11.2變形能的計(jì)算

(a)(b)(c)圖11.5例題11.1圖懸臂梁受集中力偶；(b)懸臂梁受集中力；(c)懸臂梁受集中力和集中力偶【例11.1】試分別計(jì)算圖11.5所示各梁的變形能。分析：圖11.5(a)是梁處在純彎狀態(tài)，圖11.5(b)、圖11.5(c)是梁處在橫力彎曲狀態(tài)，在不計(jì)剪力影響的情況下，都可以應(yīng)用公式(11.10)進(jìn)行計(jì)算。11.2變形能的計(jì)算

解：各梁的變形能分別為11.2變形能的計(jì)算由上面計(jì)算可以看出，,因?yàn)樽冃文苁橇Φ亩魏瘮?shù)，求彎矩時(shí)可以運(yùn)用疊加原理，。求彈性變形能時(shí)，則不能應(yīng)用疊加原理，這是因?yàn)?，其中中的為和共同作用時(shí)在相互影響下所做的功。11.2變形能的計(jì)算

11.3卡氏定理應(yīng)用上節(jié)導(dǎo)出的彈性變形能公式，可以計(jì)算桿件或結(jié)構(gòu)的位移，但只限于單一荷載作用，而且是荷載作用點(diǎn)上沿荷載作用方向并與之對(duì)應(yīng)的位移。如圖11.5(a)中，若桿長(zhǎng)，桿的剛度已知時(shí)，可以計(jì)算截面的轉(zhuǎn)角，因?yàn)?，而外力偶所做的功為，由可得其結(jié)果與梁的變形一章中計(jì)算結(jié)果一致。從上面的計(jì)算可以看出，由于變形能為力的函數(shù)，若將變形能對(duì)力求偏導(dǎo)數(shù)，則這表明，變形能對(duì)力的偏導(dǎo)數(shù)等于力作用點(diǎn)在力作用方向的位移。這不是偶然的巧合，而是一個(gè)普遍規(guī)律——卡氏定理(A.Castiglianolaw)?？ㄊ隙ɡ頌椋喝粲袀€(gè)外力(廣義力)作用于同一彈性體上，則該彈性體的變形能對(duì)于任一外力的偏導(dǎo)數(shù)，等于該力的作用點(diǎn)沿該力作用方向的位移。11.3卡氏定理表達(dá)式為證明如下：設(shè)作用于彈性體上(圖11.6)，這些力產(chǎn)生的相應(yīng)位移為，在變形過(guò)程中，外力所做的功等于彈性體的變形能，于是變形能U為的函數(shù)。11.3卡氏定理

(a)圖11.6彈性體受n個(gè)外力作用11.3卡氏定理給以上服任一外昌力綿一個(gè)增卡量鬧，則冠變形能賀的相應(yīng)朵增量為皮，鏟于是彈修性體的忙變形能肝為因?yàn)閸u變形罷能與疊外力唉的加姜載次梳序無(wú)漸關(guān)，封若將體外力及的加勻載次浮序改潛為先潤(rùn)用，沿題方向的而位移為清，彈性牌體的變湊形能為攜。累后作用蔥，這旺些力所憐做的功凍為U，則散彈性浙體的航變形叼能仍繩與式(b)相同。針但是在什作用蓬時(shí)，絲式又煎做了功(蔑)，其總脅的變形扔能為11網(wǎng).3卡氏傍定嚴(yán)理(c獸)(b孫)式(c)應(yīng)等于濁式(b)(1舒1.逃12性)11夠.3卡氏慎定沾理忽略二爹階微量恥，得證鹽：應(yīng)用禍卡氏倍定理況時(shí)，奮是第廣義竊力，露是廣墨義位躁移?？釉趯?dǎo)綢出卡冠氏定披理時(shí)逃，變映形能抖與外努力作序用的薄次序防無(wú)關(guān)換。當(dāng)持材料撥服從膊胡克義定理生時(shí)，塘各外間力引權(quán)起的它位移炭很小授，可世忽略咐其相殼互的倘影響讀，變騙形能宴對(duì)力呢的偏先導(dǎo)數(shù)明都是徹以內(nèi)豈力分蔬量對(duì)轉(zhuǎn)外力舞的偏廊導(dǎo)數(shù)顯形式扭出現(xiàn)酬的。分述碑如下悶。軸向拉(壓)：11.島3卡墳氏傭定攝理扭轉(zhuǎn)病：(11天.13捎)彎曲?。寒?dāng)欲罪計(jì)算覽沒(méi)有清外力駁作用辱截面榴處的扁位移候時(shí)，吧可先弦設(shè)想情在該然點(diǎn)沿戚欲求型位移萄的方渴向作吹用一態(tài)假設(shè)旺的力(廣義猜力)，寫(xiě)合出所好有力(包括)作用下患的變形璃能，并送對(duì)墻求偏法導(dǎo)數(shù)，隊(duì)然后令斗＝0，即為業(yè)所求。李若計(jì)算低結(jié)果為忠正，表差示位移泛，與鍵方向相訊反；否團(tuán)則相反廉。【例11墳.2市】圖11姐.7所示音外伸偵梁，貴已知薄抗彎律剛度進(jìn)為常葡數(shù)，息試求陪跨中唯截面跳的豎義向位才移。分析：魚(yú)梁上作永用有兩味種荷載轎和，先宣分段算醬出梁在盈該荷載拼作用下撕的彎矩害方程，柏再根據(jù)腸卡氏定內(nèi)理將彎扣矩方程枯對(duì)求偏拌導(dǎo)數(shù)，示代入式(1注1.站13客)。在積岔分之前續(xù)，可將丈代入計(jì)釘算，其芽結(jié)果即卵為所求裁。11忽.3卡氏毒定臺(tái)理(11鉤.14灑)圖11道.7例題11.社2圖11.主3卡氏貍定囑理解：先主計(jì)算支崇座反力11道.3卡傲氏這定憲理分段旺計(jì)算茄彎矩趁方程鄰及其潤(rùn)相應(yīng)包導(dǎo)數(shù)模：在AC段：在CB段：在BD段：11.鵲3卡氏雅定院理負(fù)號(hào)許表示墳位移脊與作盞用方鼓向相較反?！纠?1.鬧3】試求圖11惰.8藏(a捧)所示若簡(jiǎn)支裕梁支困座的者轉(zhuǎn)角興和都跨中C截面脹的豎乏向位蘋(píng)移,已知EI=常數(shù)。11.舟3卡氏款定貿(mào)理圖11.凈8例題11呈..碧3圖分析奮：由蔑于在厚所求斷截面絲式?jīng)]有雜相應(yīng)址的荷該載，免為了貼應(yīng)用帖卡氏釘定理鋸求該鋸截面抓的位刮移，譽(yù)可在篇所求欺截面招處加貪上一賞個(gè)相語(yǔ)應(yīng)的響外力(求轉(zhuǎn)角毫，可在萬(wàn)截面加益一個(gè)力浮偶(=終0)，圖10尖.8壟(b議)所示；們求截面沫豎向位野移，在肢截面加助一個(gè)集洞中力(=0械)，(圖10.埋8(c森)所示)。在擱計(jì)算臟出相蘇應(yīng)的杰和后扁，代母入式(1紗1.糧14間)，再令開(kāi)，然后迎積分，扒結(jié)果即汗為所求通。解：(1)求反，如宴圖11.聽(tīng)8(b友)所示。11.租3卡氏湯定天理11.禍3卡老氏灘定昨理計(jì)算挑結(jié)果診為負(fù)搭，表扇示截棄面位鵲移與帳假設(shè)它方向店相反雨，即音順時(shí)搬針轉(zhuǎn)石向。(2予)求榆，如圖11遺.8萍(c臟)所示。支座反級(jí)力：AC段：11嫩.3卡氏擾定抖理BC段：計(jì)算結(jié)閉果為正涌，表示C截面位焰移與假閑設(shè)力銳方暢向一致蕉，即位央移向下雜。11沙.3卡氏湖定擔(dān)理【例11.亡4】軸線為布四分之順一圓周隊(duì)的平面莖曲桿(圖11軍.9佛(a幅))，A端固定殘，自由壁端B作用一證豎直向捐下的集鮮中力步，EI=常數(shù)。訴求B點(diǎn)的垂雪直和水身平位移寸。(a)透(b科)圖11季.9例題11和.4圖11.祝3卡氏鐘定堆理分析拾：因?yàn)閹土荷暇茸饔糜械暮珊褫d以斤及跨川度均宏為具察體數(shù)拐值，按在計(jì)怠算出店彎矩爆方程重后，淡不能蛛對(duì)具忠體的阻荷載逝求偏鈴導(dǎo)數(shù)倘。因睡此，拒應(yīng)將勉荷載奔及梁缸長(zhǎng)的掘數(shù)值江用代聾數(shù)表嘗示，伏在求帽出各獸段彎虛矩方世程和覺(jué)相應(yīng)瞧的偏繭導(dǎo)數(shù)蹦后，產(chǎn)利用編公式(11覆.14液)計(jì)算出挪最后結(jié)齊果，再慌將荷載唇和跨度墓的數(shù)值紹代入，港即為所異求。解：疾設(shè)殺，昂如圖11敏.1流0(捷b)所示鄭。(1團(tuán))支座反勺力：11.覽3卡喇氏孫定檔理(2始)分段寫(xiě)快出宋，貫并對(duì)罪求偏博導(dǎo)數(shù)。AC階段（0<蒙x<熄1/論2）:CB階段（1/通2<盤(pán)x<便1）:11.井3卡氏移定澤理11府.3卡旗氏柔定涼理CD階段（1<x緩<3/孟2）:(3)求位移拾。圖2.帶12例2.尺4圖11.梢3卡氏代定戚理(2歸)計(jì)算B點(diǎn)的充位移登，由完公式(2蹤蝶.7絨)可求出BC桿的路伸長(zhǎng)均量為BD桿的變匆形量為計(jì)算茫出的姿結(jié)果盾為負(fù)俊值，漸說(shuō)明傅桿件觀是縮堵短的紡。11.救3卡氏麥定響理假想邁把托床架從僚結(jié)點(diǎn)B拆開(kāi)，該那么BC桿伸汁長(zhǎng)變沫形后扭成為僻，BD桿壓拖縮變秩形后威成，萌分別謹(jǐn)以C點(diǎn)和D點(diǎn)為勝圓心講，以CB和DB為半暑徑作占弧相肢交于B處，該拐點(diǎn)即為炕托架變賤形后B點(diǎn)的墓位置拉。由綱于是泰小變幟形，游和分是兩工段極銜短的形弧，魔因而喚可分放別用BC和BD的垂線轎來(lái)代替動(dòng)，兩垂請(qǐng)線的交或點(diǎn)為銳，鏈即鑒為B點(diǎn)的恭位移虛。這申種作轟圖法縮慧稱為順“切照線代笨圓弧歷”法蜘?，F(xiàn)用播解析紙法計(jì)辭算位茄移。稿為了枕清楚癥起見(jiàn)幅，可邪將多答邊形非放大雹，如絹圖2.核12滑(c禮)所示。陣由圖可呼知：B點(diǎn)的鴉水平級(jí)位移個(gè)和垂屈直位蹄移分煙別為11橡.3卡氏旱定摧理B點(diǎn)的總羊位移為與結(jié)構(gòu)半原尺寸證相比很寄小的變靜形稱為小變形。在小移變形的今條件下均，一般勒按結(jié)構(gòu)孔的原有跑幾何形胡狀與尺矮寸計(jì)算暑支座反五力和內(nèi)厲力，并孔可以采姐用上述疲用切線值代替圓洽弧的方參法確定食位移，刺從而大趴大簡(jiǎn)化鋼計(jì)算。票在以后錫的學(xué)習(xí)餡中也有錦很多地逝方利用背它來(lái)簡(jiǎn)子化計(jì)算采。11.羨3卡氏晃定賽理11俯.4小叼結(jié)(1)物體星受到掃荷載鄙作用羊時(shí)會(huì)由發(fā)生福變形很，在焰荷載同作用割點(diǎn)即狡產(chǎn)生碗與荷押載相轎應(yīng)的騾位移輛。由春于荷襲載是劃由零算逐漸卵增加煩到最億終值(靜荷載)，于號(hào)是荷凈載便奴要做挪功，倡其值首等于頁(yè)荷載畫(huà)的最叼終值貞與其薦相應(yīng)寶位移扛乘積烏的一懶半，線即式中來(lái)，階為廣水義力魚(yú)，貧為廣挑義位行移。若不計(jì)樸加載過(guò)改程中的帽能量損置失，根摸據(jù)能量撒守恒原仁理，外鞋力功全拍部轉(zhuǎn)變脾為變形弄能而儲(chǔ)艙存于彈榆性體內(nèi)集，即這便建焦立了荷改載與位績(jī)移之間啊的關(guān)系件，據(jù)此瞇可以研漿究物體頭的變形她和位移卸，即能弱量法。(2皮)應(yīng)用魯能量即法計(jì)患算桿曠件變剩形的西前提際是桿仍件處峽于線繭彈性著范圍奏內(nèi)。(3煤)變形能已是廣義駝力或廣升義位移匙的二次穩(wěn)函數(shù)，遇因此變喘形能恒國(guó)為正，猶且變形纏能不能田應(yīng)用疊風(fēng)加原理便。(4納)變形能脅只與外新力或位月移的最鬧終值有裝關(guān)，而叔與加載旬的程序提無(wú)關(guān)。(5啞)卡氏蓋定理稍是計(jì)躍算位額移的重一個(gè)就重要碎方法嘉，表醒達(dá)式茄為。即變歡形能飲對(duì)任護(hù)一外催力側(cè)的偏萄導(dǎo)數(shù)鳴，等睜于力催沿該礎(chǔ)力方進(jìn)向上洞相應(yīng)類的位皮移，沖計(jì)算邊結(jié)果屆為正堅(jiān)，表句示爪與銹方向睡一致茂，否蜘則相柳反。11全.4小怒結(jié)(6醉)在應(yīng)棗用