第四節(jié)二次型及其標準型演示文稿

第四節(jié)二次型及其標準型演示文稿目前一頁\總數二十五頁\編于十八點優(yōu)選第四節(jié)二次型及其標準型目前二頁\總數二十五頁\編于十八點只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.2/21目前三頁\總數二十五頁\編于十八點1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法目前四頁\總數二十五頁\編于十八點2．用矩陣表示目前五頁\總數二十五頁\編于十八點目前六頁\總數二十五頁\編于十八點三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系．目前七頁\總數二十五頁\編于十八點解例１目前八頁\總數二十五頁\編于十八點設四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．8/21目前九頁\總數二十五頁\編于十八點9/21目前十頁\總數二十五頁\編于十八點說明10/21定理4.4.6經可逆線性變換,二次型的矩陣變?yōu)榧?/p>

且二次型的秩不變.

目前十一頁\總數二十五頁\編于十八點11/21目前十二頁\總數二十五頁\編于十八點用正交變換化二次型為標準形的具體步驟12/21目前十三頁\總數二十五頁\編于十八點解1．寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值例213/21目前十四頁\總數二十五頁\編于十八點從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組14/21目前十五頁\總數二十五頁\編于十八點4．將正交向量組單位化，得正交矩陣15/21目前十六頁\總數二十五頁\編于十八點于是所求正交變換為16/21目前十七頁\總數二十五頁\編于十八點五、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可以通過其他方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數是確定的，項數等于二次型的秩．下面我們限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標準形所具有的性質．目前十八頁\總數二十五頁\編于十八點目前十九頁\總數二十五頁\編于十八點為正定二次型為負定二次型六、正(負)定二次型的概念例如目前二十頁\總數二十五頁\編于十八點定義4.4.12設有實二次型，（1）若對任何，都有，則稱為半正定二次型，而對稱矩陣稱為半正定矩陣，記作；（2）若對任何，都有，則稱為半負定二次型，而對稱矩陣稱為半負定矩陣，記作.二次型的正定性與它的矩陣的正定性是一致的.

目前二十一頁\總數二十五頁\編于十八點證明充分性故七、正(負)定二次型的判別目前二十二頁\總數二十五頁\編于十八點必要性故推論4.4.14對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．目前二十三頁\總數二十五頁\編于十八點定義4.4.15設有n階方陣

位于左上角的各階子式

稱為n階方陣A的主子式.目前二十四頁\總數二十五頁\編于十八點定理4.4.16（霍爾維茨定理）實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是：A的各階主子式都為正；