晶體定向與空間群

關于晶體定向與空間群第1頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月我們已經知道:

任一晶棱必為空間格子中的一個行列方向,任意兩個結點的連線即可決定一個行列;

同時,任一晶面必為空間格子中的一個面網,

任意兩個面網的交線必為一公共行列方向。第2頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

我們規(guī)定晶體中晶胞的單位長度

a0,b0,c0(晶胞參數)分別為三個結晶學坐標軸〈結晶學軸〉的單位長度,三個結晶學軸的方向分別平行于單胞中相交于一點的三條棱的方向,這與晶體的微觀結構一致。

由于一個晶面總可以與一個、兩個或全部三個結晶學軸相截,所以其軸截距可以用各軸的單位周期a0,b0,c0來度量。第3頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

設一個晶面與三個結晶學軸a,b,c相截,其在三個軸上的截距分別為pa0,qb0,rc0〔p,q,r為整數〈包括0和∞〉〕,則該晶面與單位面〈軸截距為a0,b0,c0〉軸截距之比:

(pa0/a0)

:(qb0/b0):(rc0/c0)

=p:q:r。第4頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由于實際晶面都是面網密度較大的面網,可以證明面網密度愈大的面網將具有愈為簡單軸截距之比。

所以,整數定律也可敘述為:晶體上一個晶面在三個坐標軸上所截的軸截距之比是一個簡單的整數比。

第5頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.3.2晶面符號

我們通常把一個晶面在三個結晶學軸上截距的倒數之比值(化為最簡單整數比〉來

標記面網或晶面。用下列方式表示:

在a軸上表示為h;

在b軸上表示為k;

在c軸上表示為l;

第6頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月h,k,l稱為面指數或米勒〈Miller〉指數。通常將這三個指數依次寫進圓括弧內,而不用比例號”:”,即寫成(hkl)的形式標記晶面或面網,這種符號叫晶面符號.

第7頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.18表示一原始的單斜格子a軸和c軸所在的平面。b軸方向與圖面垂直。

直線“面1”代表一個垂直于畫面的面網,它和b軸相交于無限遠〈即平行于b軸〉,因此在b軸上的截距∞,該面網在a軸上所截長度為2a0,在c軸上所截長度為3c0。同樣,可以測出平行于面1的其它面網如1’,1’’,1’’’具有的軸截距:

第8頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月圖

3.18面網的晶面符號〈hkl〉

第9頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月面1 面1’面1’’ 面1’’’

在a軸上截距2a0 1a0

2/3a0 1/3a0

在b軸上截距∞b0

∞b0

∞b0

∞b0

在c軸上截距 3c03/2c01c01/2c0

第10頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月 所以面網1,1’,1’’,1’’’在三個結晶學軸上軸截距的比值為:

2:∞:3=1:∞:3/2=2/3:∞:1=1/3:∞:1/2,其軸截距的倒數比則為:

1/2:1/∞:1/3=1/1:1/∞:2/3

=3/2:1/∞:1/1=3/1:1/∞:2/1=3:0:2,

故其晶面符號為(302).

實際上,晶面符號可以代表結構中一組相互平行的面網。第11頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

在圖3.18中,用同樣方法可以求得面2,3,4的晶面符號分別為:(503),(101),(201)。

晶面符號中的數字,要化為互質的整數。

如果一個晶面只與a軸相截,與b軸和c軸平行,則該面的晶面符號為(100);

同理,只與b軸相截的晶面其符號為(010),只與c軸相截的晶面之晶面符號為(001)。

第12頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3晶體的定向

要描述晶體首先必須確定其結晶學坐標軸,即在晶體中建立一個坐標系,選擇三個坐標軸,這個過程叫晶體的定向。

結晶學坐標軸的選擇不是任意的,如果不按一定的規(guī)則任意選取,則晶體的結構、晶面符號及物理性質的表述必將產生混亂。第13頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月所以說晶體的定向必須嚴格按一定規(guī)則進行,即晶軸的選取要與能體現各晶系對稱特點的特征對稱要素相聯系,除此之外還要引入一些附加規(guī)則。只有這樣,才有可能對屬于同一晶系的所有點群,使用同一種坐標系,不同的人去測量同一種晶體才會得到相同的結果。

下面我們將分別敘述七個晶系結晶學坐標軸的選擇規(guī)則。第14頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月1.立方晶系:該晶系的對稱特點是:在立方體體對角線方向有四個L3,同時,在平行于立方體晶棱方向〈即立方體面法線方向〉有三個相互垂直的L4

或Li4

〈在432,m3m和43m點群中〉或者有三個相互垂直的L2〈在23和m3

晶類中〉,而且這三個L4〈Li4〉或三個L2

都是等同的(由于三次軸的對稱操作的結果)。第15頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

選擇三個相互垂直的四次軸或三個相互垂直的二次軸作為結晶學a,b,c軸,c軸直立,a軸前后水平,b軸左右水平放置,

因此,其軸角:α=β=γ

=90。。

由于在立方晶系中a,b,c三個軸是等同的,其軸單位必定相等,即ao=bo=co。

圖3.19(a)(b)是立方晶系晶體定向實例,圖中還根據這一定向規(guī)則算出了晶體的晶面符號。

第16頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月圖

3.19各晶系晶體定向實例〈a〉閃鋅礦,立方晶系;〈b〉方鉛礦,立方晶系;〈c〉鋯英石,四方晶系;第17頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.四方晶系:該晶系的對稱特點是有且只有一個L4

或Li4。定向時以該唯一的L4

或Li4

為c軸,并使之直立。以與四次軸垂直且它們之間也相互垂直的兩個L2

或對稱面法線為a軸和b軸,若無L2

或包含L4

的對稱面,則以兩個相互垂直且與L4〈或Li4〉垂直的晶棱方向為a,b軸,a軸前后水平,b軸左右水平。這樣,軸角之間關系必然是α=β=γ=90。。

第18頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于a軸和b軸可通過四次軸聯系起來,因此,a軸與b軸是等同的,具有相同的軸單位,所以ao=bo≠co。

四方晶系定向實例及其晶面符號如圖3.19(c)所示。

第19頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.三方晶系和六方晶系:在這兩個晶系中唯一的高次軸為三次軸〈L3

或Li3〉或六次軸〈L6

或Li6〉。由于在Li3

以及L6和Li6中總是包含著一個L3,因此,這兩個晶系區(qū)別于其它晶系的共同對稱特點是它們的主軸為〈或者是包含〉L3。第20頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月為了適應這兩個晶系的對稱特點,往往不是選擇三個坐標軸,而是選擇四個坐標軸作為結晶學軸。這種四軸定向法稱為布拉維定向法。第21頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月四個軸的選擇與安置如下:

以唯一的高次軸作為c軸,直立放置。在垂直于c軸的平面內選擇三個相交均為120。的L2

或對稱面法線或三個平行實際晶體晶棱的方向〈在3,3,6,6點群的情況下〉作為a,b和d軸,其中b軸為左右方向右端為正,a軸正端朝前偏左30o,而d軸則正端向后偏左30

o〈見圖3.20〉。顯然這三個水平軸可以通過直立的高次軸聯系起來,即a、b、d軸在結晶學上是等同的。第22頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.20布拉維定向中三個水平結晶軸的安置及單位晶面與這三個結晶軸相截情況

第23頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月在布拉維定向中,雖然采用了四個坐標軸,但由于存在a+b+d=0(矢量相加)這一關系,并且可以證明,一個晶面在這三個軸上的截距U,V和T存在下述關系U+V+T=0,所以說三個水平放置的坐標軸中只有兩個是獨立的。第24頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月從數學的角度而言,只要不在同一平面內的三個坐標軸就夠了。在確定晶胞參數時,不必考慮d軸的關系。采用這種坐標系后,軸角及軸單位的關系為:ao=bo≠co,

α=β=90。,γ=1200

三方和六方晶體定向實例及其晶面符號如圖3.19〈d〉和〈e〉所示。

第25頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月〈d〉方解石,三方晶系;<e〉綠柱石,六方晶系;〈f〉十字石,正交晶系;第26頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月4.正交晶系:該晶系的對稱特點是有三個互相垂直的二次軸(L2

或Li2)。定向時即以此三個互相垂直的二次軸或對稱面法線作為結晶學a,b,c軸。選軸時讓c軸直立,a軸前后水平,b軸左右水平。顯然其軸角和軸單位關系應是:。α=β=γ=90。,ao≠bo≠co.

目前習慣上傾向于按bo>ao>co

的關系定向。正交晶系晶體的定向實例及其晶面符號如圖3.19(f)所示。

第27頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月5.單斜晶系:該晶系的特征對稱元素是有一個二次軸(L2或Li2〈P〉或L2

垂直于一個對稱面)。定向時,以此二次軸〈L2

或對稱面之法線〉作為b軸,在垂直于

b軸的平面內選取兩個相交晶棱的方向作為c軸和a軸。b軸左右水平放置,c軸直立,a軸前后向前下傾斜。因此軸角與軸單位的關系為:α=γ=90。,β>900。,ao≠bo≠co。

目前,習慣上傾向于令ao

>co

來安排a軸和c軸。單斜晶系的定向實例及其晶面符號如圖3.19〈g〉所示。

第28頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月〈g〉榍石,單斜晶系;〈h〉鈉長石,三斜晶系

第29頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月6.三斜晶系:該晶系除了一次軸〔L1

和Li1

〈對稱中心〉〕之外,無任何其它對稱元素。因此只能選取三個相交且不在同一平面內的晶棱方向作為a,b,c軸.選軸時應注意盡量使α,β,γ接近于900;安置晶軸時,習慣上按bo>ao>co

確定,讓c軸直立,a軸大體位于前后并向前下傾斜,b軸則大體位于左右并向左下傾斜,其軸角及軸單位關系為:

α≠β≠γ,ao≠bo≠co。

三斜晶系的定向實例及其晶面符號如圖3.19〈h〉所示。

第30頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4晶棱符號

晶棱符號又稱方向符號。它代表空間中的一個方向。

與晶面符號相似

,我們也用三個互質的整數uvw并加中括號以〔uvw〕表示晶棱的方向。第31頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由于同一晶棱方向都是同時指向兩端的,因此,同一晶棱既可用〔uvw〕表示,亦可用〔uvw〕表示。

例如〔111〕和〔111〕表示同一晶棱方向;

而對晶面符號(hkl)和(hkl)而言,則它們分別代表坐標原點相對兩側互相平行的兩個晶面。

第32頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4晶體的微觀對稱性

晶體宏觀對稱性是結晶多面體外形的對稱性,而晶體的微觀對稱性是指其內部構造的對稱性。

由于結晶體外形是其內部質點有規(guī)律格子構造的結果,所以說晶體的宏觀對稱性也是其微觀對稱性的反映。但這并不是說晶體的宏觀對稱性可與其微觀對稱等同。兩者之間又有明顯的區(qū)別。第33頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月首先結晶多面體是空間中的有限圖形;而晶體的微觀構造中涉及到的質點數量十分龐大,可近似看作格子構造是在三維空間無限延伸。所以說晶體的宏觀對稱性與其微觀對稱性之間又有明顯的差別。

本節(jié)將對晶體的微觀對稱元素及其組合—空間群作一扼要介紹。第34頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.114種布拉維格子

前節(jié)已經講過,晶體是具有格子構造的固體。空間格子可以看作是一種基本的單位—平行六面體〈稱為晶胞〉堆積而成。

這種基本的平行六面體單位的選取不是任意的,而是必須遵守布拉維法則:第35頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月1.所選取的平行六面體應能反映出整個空間點陣的對稱性;

2.在不違反其固有對稱性的前提下,在平行六面體上各棱之間直角的數目應盡量多;

3.在遵守以上二條后,平行六面體之體積應該最小。

根據上述原則布拉維推出總共14種空間格子,所以又稱為14種布拉維格子(如圖3.21所示)。這14種布拉維格子可分為四類:第36頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)原始格子(P):原始格子又稱為“簡單格子”,用英文大寫字母P表示,所以人們也把這類格子稱為P格子。

原始格子的特點是除了分布在平行六面體八個角頂上的結點之外,再無任何附加結點。第39頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月由于在空間格子中,平行六面體的每個角頂均為八個同樣的平行六面體所共用,所以每個平行六面體對于角頂上的結點只占有1/8。因此每個原始格子中只占有一個結點。此類格子又稱為素格子。下面講到的其它非原始格子又稱為復格子。

根據對稱特點的不同,七個晶系中每個晶系均有一個原始格子。第40頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)底心格子:除了8個角頂上的結點之外,在平行六面體相對一對面的中心各附加一個結點,每一個附加結點為兩個相同的平行六面體共有,所以每個平行六面體實際上占有兩個結點。

根據附加結點的兩個面在平行六面體中所處位置,底心格子又可分成以下三種情況:第41頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月a).A格子:附加的結點位于與結晶學a軸垂直的一對平面的中心;

b).B格子:附加結點位于與結晶學b軸垂直的一對平面的中心;

c).C格子:附加結點位于與結晶學c軸垂直的一對平面的中心。第42頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明只有在單斜和正交晶系中能夠獨立存在底心格子(C格子)。

由于在單斜晶系中在a,c方向上無對稱元素,所以a和c的定向有一定任意性,所以其A格子和C格子只能算作一種。

同樣,在正交晶系中,由于a、b、c的定向也有一定任意性,所以其A格子,B格子和C格子從對稱特點看也是一樣的,一般稱為底心C格子。第43頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2微觀對稱元素

1.平移

由于晶體構造可近似地看作是向三維空間無限延伸的格子構造。沿某一方向將整個構造中的結點平移一定結點間距,在平移時每個格子結點都在動,在動作進行完畢之后,格子復原,仿佛每一點都沒有動。所以說平移必然是無限格子構造的一種基本對稱操作,平移也是晶體內部構造的最本質的對稱操作。第44頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

平移對稱操作還可以與對稱軸和對稱面等宏觀對稱元素組合,產生新的復合對稱元素,即螺旋軸和滑移面。第45頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月另外,學習微觀對稱時還需注意兩點:

(1)在一個點群中,所有宏觀對稱元素必須相交于一點;而微觀晶體結構中的對稱元素可以平行排列,亦可彼此相交于無數個點;(2)點群中宏觀對稱元素的個數是有限的,而在晶體結構中微觀對稱元素的數目是無限的。

這兩點都可用晶體格子構造加以解釋。第46頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.22表示與點群mmm相對應的空間群Pbcn單位格子中各對稱元素分布情況。第47頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月2.螺旋軸

與螺旋軸相應的對稱操作是旋轉和平移的復合對稱操作。它是一條假想的直線,操作時先繞軸旋轉一定的角度α(α=360o/n,n=2,3,4,6),然后再沿該軸方向平移一定距離(其距離是該方向單位周期τ的分數值),這樣就可使格子的相同部分重合。第48頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月螺旋軸首先可按其基轉角的不同分為2次、3次、4次和6次螺旋軸,然后按平移距離不同,3次螺旋軸又分為31和32,4次螺旋軸分為41,42和43,6次螺旋軸分為61、62、63、64和65,2次螺旋軸只有21一種。各種螺旋軸圖示于圖3.23。第49頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月在晶體構造中,可能存在的對稱軸、旋轉反伸軸、螺旋軸計有21種:

661626364656

441

4243

4

331323

2212

11第52頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.滑移面

與滑移面相應的對稱操作是反映和平移組成的復合對稱操作?；泼媸疽庥趫D3.24。滑移面為一假想的平面,操作開始時先通過該假想平面進行反映,然后再沿與此平面平行的方向平移一定距離,可以使空間格子復原。

第54頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月根據反映操作之后平移的方向及距離的不同,又可將滑移面分為軸滑移面a、b、c

滑移面,對角線滑移面n和金剛石滑移面d。

滑移面a、b、c在反映操作后分別沿結晶學a、b、c軸方向滑移ao/2,bo/2及co/2的距離;

滑移面n在反映操作后沿對角線方向平移(ao+bo)/2,(bo+co)/2或(co+ao)/2的距離;

第56頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月

金剛石滑移面通常只出現在面心和體心立方晶胞中,

對于面心立方晶胞,反映后沿面對角線方向平移(ao+bo)/4或(bo+co)/4或(co+ao)/4的距離;

對于體心立方晶胞,反映后沿體對角線方向平移(ao+bo+co)/4的距離.

晶體構造中所有可能的對稱面、滑移面及其符號列于表3.5。第57頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共70頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.3空間群的概念

在具有格子構造的晶體結構中,不但包含了宏觀對稱元素,而且還包含了作為宏觀圖形不可能存在的微觀對稱元素。

在晶體構造中所有對稱元素的組合所構成的對稱群稱為空間對稱群,簡稱為空間群。

空間群亦即微觀空間對稱元素和平移群的可能存在的組合類型。第60頁，課件共70