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文檔簡介
福建省莆田市仙游縣楓亭中學2022-2023學年高三下學期階段測試數(shù)學試題試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在的展開式中,含的項的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.2.如圖所示點是拋物線的焦點,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,且總是平行于軸,則的周長的取值范圍是()A. B. C. D.3.一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內隨機爬行,則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內的概率為()A. B. C. D.4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612425.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關系為()A. B.C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.7.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動,現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種8.如圖所示的程序框圖輸出的是126,則①應為()A. B. C. D.9.已知命題,且是的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.12.某個命題與自然數(shù)有關,且已證得“假設時該命題成立,則時該命題也成立”.現(xiàn)已知當時,該命題不成立,那么()A.當時,該命題不成立 B.當時,該命題成立C.當時,該命題不成立 D.當時,該命題成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.14.直線過圓的圓心,則的最小值是_____.15.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.16.若函數(shù)在和上均單調遞增,則實數(shù)的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調性;(2)若關于x的方程有唯一的實數(shù)解,求a的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BD⊥DC,△PCD為正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E為PC的中點.(1)證明:AP∥平面EBD;(2)證明:BE⊥PC.19.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關數(shù)據如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據1月到8月的數(shù)據,求出月利潤y(十萬元)關于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據:.21.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據,利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數(shù),【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎題,2、B【解析】
根據拋物線方程求得焦點坐標和準線方程,結合定義表示出;根據拋物線與圓的位置關系和特點,求得點橫坐標的取值范圍,即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點,準線方程為,根據拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上,總是平行于軸,因而兩點不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長為,所以,故選:B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質的簡單應用,圓的幾何性質應用,屬于中檔題.3、A【解析】
求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.4、C【解析】
根據“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構成等差數(shù)列,然后根據等差數(shù)列的前項和公式,可得結果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。5、C【解析】
可設,根據在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設,,且,根據在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調遞增,再根據對數(shù)的運算得到、、的大小關系,從而得到的大小關系.【詳解】解:因為,即,又,設,根據條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據單調性定義判斷一個函數(shù)單調性的方法和過程:設,通過條件比較與,函數(shù)的單調性的應用,屬于中檔題.6、A【解析】
觀察可知,這個幾何體由兩部分構成,:一個半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個半球體,半徑為1,按公式計算可得體積。【詳解】設半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力,屬于基礎題。7、B【解析】
分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A只分配1人時,共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當乙在醫(yī)院A時,共有種不同分配方案,當乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時,共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A分配2人時,共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點睛】本題考查排列與組合的綜合應用,在做此類題時,要做到分類不重不漏,考查學生分類討論的思想,是一道中檔題.8、B【解析】試題分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.解:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.∵S=2+22+…+21=121,故①中應填n≤1.故選B點評:算法是新課程中的新增加的內容,也必然是新高考中的一個熱點,應高度重視.程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是:不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤.9、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實數(shù)的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查根據充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.10、D【解析】
先求出的值域,再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性,結合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為,故,當時,,故在區(qū)間上單調遞減;當時,,故在區(qū)間上單調遞增;當時,令,解得,故在區(qū)間單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.又,且當趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當時,;根據題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.11、B【解析】
求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.12、C【解析】
寫出命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題,結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立,則當時該命題也不成立”,由于當時,該命題不成立,則當時,該命題也不成立,故選:C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結合逆否命題的等價性進行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.14、【解析】
直線mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,當且僅當m=n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為:4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質,屬于基礎題.15、5【解析】,即的最大值為16、【解析】
化簡函數(shù),求出在上的單調遞增區(qū)間,然后根據在和上均單調遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當時,在和上單調遞增,在和上均單調遞增,,
,
的取值范圍為:.
故答案為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質,關鍵是根據函數(shù)的單調性列出關于m的方程組,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2)或.【解析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標準,若不恒成立,求解,即可得出結論;(2)有解,即,令,轉化求函數(shù)只有一個實數(shù)解,根據(1)中的結論,即可求解.【詳解】(1),當時,恒成立,當時,,綜上,當時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2),令,原方程只有一個解,只需只有一個解,即求只有一個零點時,的取值范圍,由(1)得當時,在單調遞增,且,函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當時,,此時函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當且遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;,當,有兩個零點,即原方程有兩個解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到單調性、零點、極值最值,考查分類討論和等價轉化思想,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)連結AC交BD于點O,連結OE,利用三角形中位線可得AP∥OE,從而可證AP∥平面EBD;(2)先證明BD⊥平面PCD,再證明PC⊥平面BDE,從而可證BE⊥PC.【詳解】證明:(1)連結AC交BD于點O,連結OE因為四邊形ABCD為平行四邊形∴O為AC中點,又E為PC中點,故AP∥OE,又AP平面EBD,OE平面EBD所以AP∥平面EBD
;(2)∵△PCD為正三角形,E為PC中點所以PC⊥DE因為平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,又BD平面ABCD,BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD,故PC⊥BD又BDDE=D,BD平面BDE,DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE,所以BE⊥PC.【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明,線面平行一般轉化為線線平行來證明,直線與直線垂直通常利用線面垂直來進行證明,側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).19、(1)見證明;(2)【解析】
(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進而可得結論成立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結,∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設,則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設,則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識可得,∴.又可得,.∴,.設平面的一個法向量為,由,得,令,則得.又,設直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時,關鍵點是恰當建立空間直角坐標系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時通過平面的法向量和直線的方向向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線與平面所成的角.求解時注意向量的夾角與線面角間的關系.20、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】
(1)首先列出基本事件,然后根據古典概型求出恰好兩個月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據線性回歸方程代入9月份的數(shù)據即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5
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