常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)

常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)/NUMPAGES17PAGE17常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)精解常用邏輯用語(yǔ)目標(biāo)認(rèn)知：

考試大綱要求：

1.理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.

2.了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關(guān)系.

3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

4.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

重點(diǎn)：充分條件與必要條件的判定

難點(diǎn)：根據(jù)命題關(guān)系或充分(或必要)條件進(jìn)行邏輯推理。

知識(shí)要點(diǎn)梳理：

知識(shí)點(diǎn)一：命題：

1.定義：

一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成.命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

（2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式：①若要判斷命題“”是一個(gè)真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時(shí)在推導(dǎo)時(shí)加上語(yǔ)氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出.

②若要判斷命題“”是一個(gè)假命題，只需要找到一個(gè)反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.

2.邏輯聯(lián)結(jié)詞：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.

（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：

①p或q；②p且q；③非p（即命題p的否定）.（3）復(fù)合命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①當(dāng)p、q同時(shí)為假時(shí)，“p或q”為假，其它情況時(shí)為真，可簡(jiǎn)稱為“一真必真”；

②當(dāng)p、q同時(shí)為真時(shí)，“p且q”為真，其它情況時(shí)為假，可簡(jiǎn)稱為“一假必假”。

③“非p”與p的真假相反.

注意：（1）邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點(diǎn)，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小盎颉?（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）對(duì)命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。典型例題1．判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是，判斷出其真假，若不是，說(shuō)明理由。（1）矩形難道不是平行四邊形嗎？（2）垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？（3）求證：，方程無(wú)實(shí)根.（4）（5）人類在2020年登上火星.2（江西卷）下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則D．若,則3(廣東)已知命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．4（北京）若是真命題，是假命題，則（）（A）是真命題(B)是假命題(C)是真命題(D)是真命題知識(shí)點(diǎn)二：四種命題

1.四種命題的形式：

用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：

原命題：若p則q；逆命題：若q則p；

否命題：若p則q；逆否命題：若q則p.

2.四種命題的關(guān)系：

①原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.

②逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.

除①、②之外，四種命題中其它兩個(gè)命題的真?zhèn)螣o(wú)必然聯(lián)系.四種命題及其關(guān)系：關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題，也可以有如下表述：第一：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為逆命題；第二：同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為否命題； 第三：交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題為逆否命題；5．寫出“若或，則”的逆命題、否命題、逆否命題及命題的否定，并判其真假。解:逆命題：若，則或，是真命題；否命題：若且，則，是真命題；逆否命題：若，則且，是真命題。命題的否定：若或，則，是假命題。知識(shí)點(diǎn)三：充分條件與必要條件：

1.定義：

對(duì)于“若p則q”形式的命題：

①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；

③若既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充分必要條件（充要條件）.

2.理解認(rèn)知：（1）在判斷充分條件與必要條件時(shí)，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論推條件，最后進(jìn)行判斷.（2）充要條件即等價(jià)條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價(jià)于”“…反過(guò)來(lái)也成立”等均為充要條件的同義詞語(yǔ).

3.判斷命題充要條件的三種方法

（1）定義法：

（2）等價(jià)法：由于原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來(lái)判斷．即利用與；與；與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.

如圖：

“”“，且”是的充分不必要條件.

“”“”是的充分必要條件.

6（2011安徽）下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是（）（A）p:＞b+d,q:＞b且c＞d（B）p:a＞1,b>1q:的圖像不過(guò)第二象限（C）p:x=1,q:（D）p:a＞1,q:在上為增函數(shù)7（2011全國(guó)大綱）使成立的充分而不必要的條件是（）（A）（B）（C）（D）8（2011福建）．若a∈R，則“a=1”是“|a|=1”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9（2012江西）“”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

知識(shí)點(diǎn)四：全稱量詞與存在量詞：

1.全稱量詞與存在量詞：全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等，通常用符號(hào)“”表示，讀作“對(duì)任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.

（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個(gè)”，“存在一個(gè)”,“至少有一個(gè)”，“有點(diǎn)”,“有些”等，通常用符號(hào)“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.

2.對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定：

（I）對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定：全稱命題的否定是特稱命題。

（II）對(duì)含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定特稱命題p：，他的否定：特稱命題的否定是全稱命題。

注意：

（1）命題的否定與命題的否命題是不同的.命題的否定只對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對(duì)命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定（否定二次）。

（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個(gè)至多一個(gè)否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個(gè)也沒(méi)有至少兩個(gè)

規(guī)律方法指導(dǎo)：

1.解答命題及其真假判斷問(wèn)題時(shí)，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真假性一致.

2.要注意區(qū)分命題的否定與否命題.

3.要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的“并”“交”“補(bǔ)”是相關(guān)的，將二者相互對(duì)照可加深認(rèn)識(shí)和理解.

4.處理充要條件問(wèn)題時(shí)，首先必須分清條件和結(jié)論。對(duì)于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點(diǎn)、用定義和利用命題的等價(jià)性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個(gè)必要條件是充分條件.

5.特別重視數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運(yùn)用?？偨Y(jié)升華：

1.判斷復(fù)合命題的真假的步驟：

①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；

②判斷其中簡(jiǎn)單命題p和q的真假；

③根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復(fù)合命題的真假.

2.條件“或”是“或”的關(guān)系，否定時(shí)要注意.

類型二：四種命題及其關(guān)系：

10.寫出命題“已知是實(shí)數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。

解析：逆命題：已知是實(shí)數(shù)，若a=0或b=0,則ab=0,真命題；

否命題：已知是實(shí)數(shù)，若ab≠0，則a≠0且b≠0，真命題；

逆否命題：已知是實(shí)數(shù)，若a≠0且b≠0，則ab≠0，真命題。

總結(jié)升華：

1.“已知是實(shí)數(shù)”為命題的大前提，寫命題時(shí)不應(yīng)該忽略；

2.互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假；

3.注意區(qū)分命題的否定和否命題.

類型三：全稱命題與特稱命題真假的判斷：總結(jié)升華：

1.要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中每一個(gè)元素，驗(yàn)證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)，使不成立可；

2.要判斷一個(gè)特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)，使成立，則這個(gè)特稱命題就是真命題，否則就是假命題.類型四：充要條件的判斷：總結(jié)升華：

1.處理充分、必要條件問(wèn)題時(shí)，首先要分清條件與結(jié)論；

2.正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)換，特別是與關(guān)系.

類型五：求參數(shù)的取值范圍：總結(jié)升華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個(gè)為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論．11.已知p：，q：，若p是q的一個(gè)充分不必要條件，求m的取值范圍.12．命題p：關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立；命題q：函數(shù)在R上遞增若為真，而為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

總結(jié)升華：從認(rèn)知已知條件切入，將四種命題或充要條件問(wèn)題向集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是解決這類問(wèn)題的基本策略。

類型六：證明：

總結(jié)升華：利用反證法證明時(shí)，首先正確地作出反設(shè)（否定結(jié)論）.從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾，從而假設(shè)不正確，原命題成立，反證法一般適宜結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)，或以“至多…”、“至少…”形式出現(xiàn)，或關(guān)于唯一性、存在性問(wèn)題，或者結(jié)論的反面是比原命題更具體更容易研究的命題.

2.反證法時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定與否命題．總結(jié)升華：

1.對(duì)于充要條件的證明，既要證明充分性，又要證明必要性，所以必須分清條件是什么，結(jié)論是什么。

2.充分性：由條件結(jié)論；必要性：由結(jié)論條件.敘述方式的變化（比如是的充分不必要條件”等價(jià)于“的充分不必要要條件是”）.課后加油站1.（2008年湖北卷2）若非空集合滿足，且不是的子集，則 ()A.“”是“”的充分條件但不是必要條件B.“”是“”的必要條件但不是充分條件C.“”是“”的充要條件D.“”既不是“”的充分條件也不是“”必要條件答案B2.（2008年湖南卷2）“成立”是“成立”的 ()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案B3.（2007全國(guó)Ⅰ）設(shè)，是定義在R上的函數(shù)，，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的 （）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件答案B4.（2007寧夏）已知命題：，則 （）A. B.C.D.答案C5.(2007重慶)命題：“若，則”的逆否命題是 （）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則答案D6.(2007山東)命題“對(duì)任意的”的否定是（）A.不存在 B.存在C.存在 D.對(duì)任意的答案C7.（2006年天津卷）設(shè)集合，，那么“”是“”的 （）A．充分而不必要條件