湖南省衡陽市 縣賀市中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

湖南省衡陽市縣賀市中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.煉鋼時鋼水的含碳量與冶煉時間有（

）．確定性關系

．相關關系

．函數(shù)關系

．無任何關系參考答案：B2.若復數(shù)（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】由條件利用純虛數(shù)的定義可得a2﹣3a+2=0，且a﹣2≠0，由此求得a的值．【解答】解：∵復數(shù)（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是純虛數(shù)，∴a2﹣3a+2=0，且a﹣2≠0，求得a=1，故選：A．3.把4張同樣的參觀券分給5個代表，每人最多分一張，參觀券全部分完，則不同的分法共有

（

）（A）5種

（B）1024種

（C）625種

（D）120種參考答案：A4.法國數(shù)學家費馬觀察到，，，都是質(zhì)數(shù)，于是他提出猜想：任何形如N*）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費馬猜想.半個世紀之后，善于發(fā)現(xiàn)的歐拉發(fā)現(xiàn)第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費馬猜想，這一案例說明

A．歸納推理，結果一定不正確

B．歸納推理，結果不一定正確

C．類比推理，結果一定不正確

C．類比推理，結果不一定正確參考答案：B5.設a，b，c∈R，且a＞b，則（）A．a(chǎn)c＞bc B．a(chǎn)2＞b2 C．a(chǎn)3＞b3 D．＜參考答案：C【考點】不等式的基本性質(zhì)．【專題】計算題；不等式的解法及應用．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，可得結論．【解答】解：對于A，滿足c≤0時成立；對于B，a=1，b=﹣1，結論不成立；對于C，正確；對于D，a=1，b=﹣1，結論不成立．故選：C．【點評】本題考查不等式的基本性質(zhì)，比較基礎．6.若有一組數(shù)據(jù)的總偏差平方和為120，相關指數(shù)為0.6，則回歸平方和為（

）A．60

B．72

C．48

D．120參考答案：B7.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，，則(

)A. B. C. D.參考答案：C8.空間中，設m，n表示直線，α，β，γ表示平面，則下列命題正確的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥β，α⊥β，則m∥α D．若n⊥m，n⊥α，則m∥α參考答案：B【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系．【分析】本題研究線線、線面、面面之間的位置關系，A，B兩個選項研究面面之間的位置關系，B、D選項研究線面之間的位置關系，對四個選項依次用相關的知識判斷其正誤即可．【解答】解：對于A選項，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β，不正確，在此條件下，兩平面α，β可以相交，對于B選項，若m⊥α，m⊥β，則α∥β，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確，對于C選項，m⊥β，α⊥β，則m∥α，同時垂直于一個平面的直線和平面的位置關系可以是直線在平面內(nèi)或平行，故C不正確，對于D選項，n⊥m，n⊥α，則m∥α，由同時垂直于一條直線的直線和平面的位置關系可以是直線在平面內(nèi)或平行，故D不正確．故選B．9.三點（3,10），(7,20)，(11,24)線性的回歸方程是

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略10.已知F1，F(xiàn)2是距離為6的兩個定點，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則M點的軌跡是（）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓參考答案：C【考點】軌跡方程．【專題】動點型．【分析】可以畫出線段F1F2，根據(jù)圖形即可找到滿足條件的點M的分布情況，從而得出M點的軌跡．【解答】解：M一定在線段F1F2上，如果點M不在該線段上，如圖所示：①若M不在直線F1F2上時，根據(jù)兩邊之和大于第三邊知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即這種情況不符合條件；②M在F1F2的延長線或其反向延長線上時，顯然也不符合條件；∴只有M在線段F1F2上符合條件；∴M點的軌跡是線段．故選：C．【點評】考查點的軌跡的概念，以及兩邊之和大于第三邊定理，可畫出圖形，也可想象圖形．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點，則點取自△ABE內(nèi)部的概率等于___________．參考答案：略12.已知直線與點A（3，3）和B（5，2）的距離相等，且過二直線：3x－y－1=0和：x+y－3=0的交點，則直線的方程為_______________________參考答案：x－6y＋11=0或x＋2y－5=013.曲線在點處的切線的斜率為

。參考答案：14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.參考答案：略15.函數(shù)的值域是________________.

參考答案：16.已知函數(shù)，關于的方程，給出下列四個命題：①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)，使得方程恰有3個不同的實根；③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中真命題的序號為______

______參考答案：①③④17.直線l與圓x2+y2=1交于P、Q兩點，P、Q的橫坐標為x1，x2，△OPQ的面積為（O為坐標原點），則x12+x22=．參考答案：1【考點】直線與圓的位置關系．【專題】直線與圓．【分析】當直線l斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，聯(lián)立方程由韋達定理可得x1+x2=，x1x2=，由三角形的面積可得∠POQ=90°，進而可得?=0，可得2b2=k2﹣1，代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，化簡可得．【解答】解：當直線l斜率存在時，設直線方程為y=kx+b，和圓的方程聯(lián)立消y并整理得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1=0，由韋達定理可得x1+x2=，x1x2=，∵△OPQ的面積為，∴×1×1×sin∠POQ=，∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=（1+k2）+kb+b2=0，化簡可得2b2=k2﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==1驗證可得當直線斜率不存在時，仍有x12+x22=1故答案為：1【點評】本題考查直線和圓的位置關系，涉及三角形的面積公式和韋達定理以及向量的垂直，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）先利用正方形得到線線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)定理進行證明；（Ⅱ）利用勾股定理證明線線垂直，合理建立空間直角坐標系，寫出出相關點的坐標，求出相關平面的法向量，再通過空間向量的夾角公式進行求解.試題解析：（I）證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．設平面A1BC1的法向量為，平面B1BC1的法向量為=．則，令，解得，∴．，令，解得，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為．19.已知拋物線y2=4x，焦點為F，頂點為O，點P在拋物線上移動，Q是OP的中點，M是FQ的中點，求點M的軌跡方程．參考答案：【考點】圓錐曲線的軌跡問題．【分析】欲求點M的軌跡方程，設M（x，y），只須求得坐標x，y之間的關系式即可．再設P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦點F的坐標為（1，0）結合中點坐標公式即可求得x，y的關系式．【解答】解：設M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2=4x的焦點F的坐標為（1，0）∵M是FQ的中點，∴?，又Q是OP的中點∴?，∵P在拋物線y2=4x上，∴（4y）2=4（4x﹣2），所以M點的軌跡方程為【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合運用基礎知識解決問題的能力．20.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）的極大值為﹣2，求實數(shù)a的值；（3）若a＜0，且對任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1），從而求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值，從而求出a的值即可；（3）即a≥，設g（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）a=1時，f（x）=lnx+x，f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，故切線方程是：y﹣1=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣1=0；（2）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=+a=，a≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值，a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）遞增，在（﹣，+∞）遞減，故f（x）的極大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，若函數(shù)y=f（x）的極大值為﹣2，則ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；（3）若a＜0，且對任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，即x∈[1，e]時，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．即a≥，設g（x）=，則g′（x）=，當x＞1時，g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增，∴當x∈[1，e]時，g（x）≤g（e）=，∴a＜0，且對任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，∴實數(shù)a的取值范圍為[，0）．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉化，恰當?shù)霓D化可以大大降低解題難度．21.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求橢圓E的離心率．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；三角形的面積公式．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF2的周長為16，|AF1|=3|F1B|，結合橢圓的定義，即可求|AF2|；（Ⅱ）設|F1B|=k（k＞0），則|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，從而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求橢圓E的離心率．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周長為16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；（Ⅱ）設|F1B|=k（k＞0），則|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2