廣東省佛山市西南街道第七高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省佛山市西南街道第七高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、…、《輯古算經(jīng)》等算經(jīng)10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部名著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期的名著的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】求出從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)、2部都不是魏晉南北朝時(shí)期的名著的方法數(shù)，由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，可得結(jié)論．【解答】解：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為C102=45（種），2部都不是魏晉南北朝時(shí)期的名著的方法數(shù)為C32=3（種），由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得P=1﹣=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查組合知識(shí)，屬于中檔題．2.設(shè)（

）(A)0

(B)1

(C)2

(D)3參考答案：答案：C解析：f（f（2））＝f（1）＝2，選C3.“”是“曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的（

）A、充分且不必要條件

B、必要而不充分條件C、充分必要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：當(dāng)曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí),則有即,.所以“”是“曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分不必要條件.故A正確.考點(diǎn)：1充分必要條件;2三角函數(shù)值.4.一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（

）A．雙曲線的一支

B．橢圓C．拋物線

D．圓參考答案：A略5.函數(shù)在點(diǎn)（1,2）處的切線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：6.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：C因?yàn)榛ゲ幌嗟?，不妨設(shè)，則，由知關(guān)于直線對(duì)稱，所以.由，知，所以，選C.7.已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．（0，1]

B.

C．[1，2]

D.參考答案：B8.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有 （）A．

B． C． D．參考答案：C略9.已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，4） B．（4，+∞） C．（0，4] D．（﹣∞，4]參考答案：D【考點(diǎn)】充要條件．【分析】由x＞2得到x2＞4，根據(jù)充分不必要條件的概念得：a≤4．【解答】解：由題意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范圍是（﹣∞，4]．故選：D．10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．

B．

C． D．參考答案：B考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：計(jì)算題．分析：先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中點(diǎn)G．連接GC1∥FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合,則的真子集的個(gè)數(shù)為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】真子集；A1【答案解析】15解析：解：集合A的真子集有空集，單元素的集合，雙元素的集合，三元素的集合，一共有個(gè).【思路點(diǎn)撥】我們按規(guī)律找出集合的子集.12.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，2Sn=（n+1）an，若關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè)，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】a1=1，2Sn=（n+1）an，n≥2時(shí)，2an=2（Sn﹣Sn﹣1），化為：=，可得：an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化為：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè)，即可得出．【解答】解：∵a1=1，2Sn=（n+1）an，∴n≥2時(shí)，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1，化為：=，∴==…===1，∴an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化為：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，關(guān)于正整數(shù)n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè)，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.設(shè)＝，＝(0，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足0≤≤1，0≤≤1，則z＝y(tǒng)－x的最小值是

．參考答案：－114.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的值是

.參考答案：15.在△ABC中，已知，則=．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】如圖所示，，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB．在Rt△ACD中，可得cosA==，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，∵，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB．在Rt△ACD中，cosA==，∴A=30°．∴==．故答案為：．16.已知，若，則等于

．參考答案：5【考點(diǎn)】93：向量的模．【分析】利用向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0；利用向量的數(shù)量積公式列出方程求出m，再根據(jù)向量模的定義即可求出．【解答】解：∵=（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴?（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積公式，向量的模，屬于基礎(chǔ)題．17.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大??；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，結(jié)合A為內(nèi)角即可求得A的值．（Ⅱ）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范圍，從而可求，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，從而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B為三角形的內(nèi)角，所以sinB≠0，于是，又A亦為三角形內(nèi)角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，從而，因此，，故的取值范圍為．…19.在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5．甲先從箱子中摸出一個(gè)小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個(gè)小球．（Ⅰ）若甲、乙兩人誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝（若數(shù)字相同為平局），求甲獲勝的概率；（Ⅱ）若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？參考答案：考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，列舉出所有的基本事件，列舉出滿足條件的事件，根據(jù)古典概型的公式，得到結(jié)果．（2）根據(jù)古典概型公式算出兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，把所得結(jié)果進(jìn)行比較，得到結(jié)論．解答： 解：用（x，y）（x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字）表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25個(gè)；（1）．則事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10個(gè)；則．）（2）．設(shè)：甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10個(gè)；則P（B）==所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．因?yàn)镻（B）≠P（C），所以這樣規(guī)定不公平．點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的意義和用列舉法來(lái)列舉出所有的事件數(shù)，本題解題的關(guān)鍵是不重不漏的列舉出所有的事件數(shù)．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（﹣4，0），B（4，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為﹣．（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得弦長(zhǎng)為r．（1）求圓M的方程；（2）當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由已知得，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，由此能求出圓M的方程．（2）假設(shè)存在定直線l與動(dòng)圓M均相切，當(dāng)定直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)定直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b，則對(duì)任意r＞0恒成立，由此能求出存在兩條直線y=3和4x+3y﹣9=0與動(dòng)圓M均相切．解答：解：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則kPA=，x≠﹣4，kPB=，x≠4，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為﹣，所以，化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)P的軌跡方程為（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由題意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以線段AC的垂直平分線方程為y=2x+3，…（8分）設(shè)M（a，2a+3）（a＞0），則⊙M的方程為（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因?yàn)閳A心M到y(tǒng)軸的距離d=a，由，得：a=，…（10分）所以圓M的方程為．…（11分）（2）假設(shè)存在定直線l與動(dòng)圓M均相切，當(dāng)定直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意，…（12分）當(dāng)定直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b，則對(duì)任意r＞0恒成立，由|k×﹣r﹣3+b|=r，得：（）2r2+（k﹣2）（b﹣3）r+（b﹣3）2=（1+k2）r2，…（14分）所以，解得：或，所以存在兩條直線y=3和4x+3y﹣9=0與動(dòng)圓M均相切．…（16分）點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)P的軌跡方程的求法，考查圓的方程的求法，考查當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．21.如圖所示的幾何體中,平面，，，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

參考答案：22.已知集合A={x|≥1}，集合B={x|＜2x＜2}．（