2022年北京第一六六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年北京第一六六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p：是有理數(shù)，命題q：空集是集合A的子集，下列判斷正確的是（

）

A．為假命題

B．真命題

C．為假命題

D．為假命題參考答案：D略2.用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是（） A．方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根 B．方程x3+ax+b=0至多有一個實(shí)根 C．方程x3+ax+b=0至多有兩個實(shí)根 D．方程x3+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根 參考答案：A【考點(diǎn)】反證法與放縮法． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可． 【解答】解：反證法證明問題時，反設(shè)實(shí)際是命題的否定， ∴用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是：方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查反證法證明問題的步驟，基本知識的考查． 3.要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，只需將的圖象（

） A．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變） B．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變） C．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變） D．向左平移個單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）參考答案：D4.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則是數(shù)列的第(

)項(xiàng)（A）2（B）3（C）4（D）5參考答案：C5.已知圓的圓心為，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的中垂線和直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A.

B. C. D.參考答案：C略6.正方體的邊長為2，且它的8個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A．12π B．﹣125π C．0 D．以上都不對參考答案：A【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】由棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，知球半徑R=，由此能求出球的表面積．【解答】解：∵棱長為2的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，∴球半徑R=，∴球的表面積S=4π（）2=12π．故選A．7.已知為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，圓M與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線截得的弦長為，若，則p=（

）A.3 B.2 C. D.1參考答案：B【分析】根據(jù)所給條件畫出示意圖，用表示出、的長度，根據(jù)比值關(guān)系即可求得p的值?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，畫出示意圖如下圖所示：根據(jù)拋物線定義可知因?yàn)橹本€截圓得到的弦長為所以即所以因?yàn)樗约矗獾靡驗(yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義與應(yīng)用，注意應(yīng)用幾何關(guān)系找各線段的比值，屬于中檔題。

9.△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】解三角形．【專題】計(jì)算題．【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出關(guān)于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的長，然后利用三角形的面積公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面積．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根據(jù)余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，當(dāng)BC=1時，△ABC的面積S=AB?BCsinB=××1×=；當(dāng)BC=2時，△ABC的面積S=AB?BCsinB=××2×=，所以△ABC的面積等于或．故選D【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．10.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.則球O的半徑為()A.

B．

C.

D．參考答案：C由題意將直三棱柱ABC－A1B1C1還原為長方體ABDC－A1B1D1C1，則球的直徑即為長方體ABDC－A1B1D1C1的體對角線AD1，所以球的直徑，則球的半徑為，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個箱子中裝有6個白球和5個黑球，如果不放回地依次抽取2個球，則在第1次抽到黑球的條件下，第2次仍抽到黑球的概率是_________．參考答案：12.命題，則?p：．參考答案：【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題，則?p：．故答案為：13..球O被平面所截得的截面圓的面積為π，且球心到的距離為，則球O的體積為______.參考答案：【分析】先求出截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，則，∴，∴，∴，球的體積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查球的性質(zhì)以及球的體積公式，屬于中檔題.球的截面問題，做題過程中主要注意以下兩點(diǎn)：①多面體每個面都分別在一個圓面上，圓心是多邊形外接圓圓心；②注意運(yùn)用性質(zhì).14.如圖是某一問題的算法程序框圖，它反映的算法功能是

．參考答案：計(jì)算|x|的值15.歐拉公式exi=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e3i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于象限．參考答案：二【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的象限符號得答案．【解答】解：由題意可得，e3i=cos3+isin3，∵＜3＜π，∴cos3＜0，sin3＞0，則e3i表示的復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（cos3，sin3），在復(fù)平面中位于二象限．故答案為：二．16.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為______________.

參考答案：－＝1略17.若則

參考答案：-4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.⑴求的值；⑵設(shè)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求的前項(xiàng)和.參考答案：（1）由題知：

或（舍去）

（2）

19.已知函數(shù)f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；（Ⅱ）a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，則a≤g（x）min（x≥1）恒成立；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故f（x）min=f（）=ln=﹣；（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，當(dāng)x≥1時，f（x）≥ax﹣1恒成立?xlnx≥ax﹣1（x≥1）恒成立?a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，則a≤g（x）min（x≥1）恒成立；∵g′（x）=﹣=，∴當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0，∴g（x）在．（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點(diǎn)，由（Ⅰ）0＜x＜時，f（x）＜0，f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，f（x）min=f（）=ln=﹣；故﹣＜b＜0時，滿足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有兩個不同的交點(diǎn)，即若關(guān)于x的方程f（x）=b恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則﹣＜b＜0．20.（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E為AA′的中點(diǎn)，C′E⊥BE．（1）求證：C′E⊥平面BCE；（2）若AC=2，求三棱錐B′﹣ECB的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（1）證明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可證明C′E⊥平面BCE；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐B′﹣ECB的體積．【解答】（1）證明：在矩形A′ACC′中，E為A′A中點(diǎn)且AA′=2AC，∴EA=AC，EA′=A′C′，∴∠AEC=∠A′EC=45°，∴C′E⊥EC，∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，∴C′E⊥平面BCE；（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′?平面BCE，BC?平面BCE，∴B′C′∥平面BCE，∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB，∵C′E⊥平面BCE，∴C′E⊥BC，∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，∴BC⊥平面ACC′A′′∴BC⊥CE，∵AC=2，∴BC=2，EC=EC′=2，∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB==．【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.求過直線x+3y+7=0與3x﹣2y﹣12=0的交點(diǎn)，且圓心為（﹣1，1）的圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】先求出過直線x+3y+7=0與3x﹣2y﹣12=0的交點(diǎn)，可得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由，求得，故兩條直線的交點(diǎn)為（2，﹣3），故要求的圓的圓心為（