初中數(shù)學“平行線”涉及的27個考點梳理含各類角度考察

平行線（證明）模塊涉及的27個考點梳理

考點1真假命題的判斷

如果命題的條件成立，那么結(jié)論也成立.像這樣的命題叫做真命題，命題的條件成立時，不能保證結(jié)論總

是正確的，也就是說結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。

例題1下列各命題中，假命題是（）

人有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B.有兩邊及第三邊上高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有兩角及其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩三角形全等

D.有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩三角形全等

【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷即可.

【解析】A、有兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等兩個三角形全等，可利用證兩步全等方法求得，是真命題;

B、高有可能在內(nèi)部，也有可能在外部，是不確定的，不符合全等的條件，原命題是假命題：

C、有兩角及其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；

￡＞、有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩三角形全等，可利用證兩步全等的方法求得，是真命題；

選艮

【小結(jié)】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定.

變式1下列四個命題：①相等的兩個角是對頂角；②同角的補角相等；③若%+P8=AB,則點尸必在

線段AB上；④兩個形狀相同的三角形是全等三角形.其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)對頂角、補角的概念、線段的概念、全等三角形的概念判斷即可.

【解析】①相等的兩個角不一定是對頂角，本小題說法是假命題；

②同角的補角相等，本小題說法是真命題；

③若B4+PB=AB,則點P必在線段AB上，本小題說法是真命題；

④兩個形狀相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小題說法是假命題；

選

【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

變式2下列命題中真命題的個數(shù)有（）

（1）經(jīng)過一點有且只有一條直線與這條直線平行

（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相垂直

（4）過直線m外一點P向這條直線作垂線段，這條垂線段就是點P到直線m的距離

（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

4.1個8.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)平行公理、垂直的概念、點到直線的距離的概念判斷即可.

【解析】（1）經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，本小題說法是假命題；

（2）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，本小題說法是假命題；

（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相平行，本小題說法是假命題；

（4）過直線機外一點P向這條直線作垂線段，這條垂線段的長度就是點P到直線〃，的距離，本小題說法

是假命題；

（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，本小題說法是真命題；

選A.

【小結(jié)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

變式3下列命題：①如果那么間＞|例：②如果（/。2＞從2,那么〃＞/?；③同旁內(nèi)角互補；④若Na

與互余，與/丫互余，則/a與/丫互余.真命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)絕對值、不等式的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、同角的余角相等分別對各小題進行判斷后即可求解.

【解析】①當a=l,6=-2時，悶=1,|臼=2,|。|＜|例，故此命題假命題；

②如果如2＞慶2,那么真命題；

③同旁內(nèi)角互補；假命題；

④若/a與N0互余，與/丫互余，則Na與/丫相等，故此命題是假命題；

真命題的個數(shù)為1個；

選B.

【小結(jié)】本題考查了命題與定理，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點2舉反例

命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言.任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要

推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可。

例題2對假命題''若則/舉反例，正確的反例是()

A.a=-1,b=0B.a—-1,b=-1C.a=2,b=lD.a=-1,h=-2

【分析】根據(jù)要證明一個結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題.

【解析】用來證明命題“若a>b,則/是假命題的反例可以是：“=-1,b=-2,

因為-1>-2,但是(-1)2<(-2)2,所以。符合題意

【小結(jié)】此題主要考查了利用舉例法證明一個命題錯誤，要說明數(shù)學命題的錯誤，只需舉出一個反例即可

這是數(shù)學中常用的一種方法.

變式4舉反例說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題，下面錯誤的是()

A.設(shè)一個角是45°它的余角是45°,但45°=45°

B.設(shè)一個角是60°,它的余角是30°,但30°<60°

C.設(shè)一個角是30°它的余角是60°,但60°>30°

D.設(shè)一個角是10°它的余角是80°,但80°>10°

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而進行判斷；舉反例時，滿足題設(shè),

不滿足結(jié)論即可.

【解析】A、設(shè)一個角是45°,它的余角是45°,但45°=45°,能說明“一個銳角的余角小于這個角”

是假命題，故正確；

B、設(shè)一個角是60°,它的余角是30°,但30°<60°,不能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命

題，故錯誤；

C、設(shè)一個角是30°,它的余角是60°,但60°>30°,能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題,

故正確；

D、設(shè)一個角是10°,它的余角是80°,但80°>10°,能說明“一個銳角的余角小于這個角”是假命題,

故正確；

選B

【小結(jié)】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

變式5舉反例證明“互為補角的兩個角都是直角”為假命題.

【分析】熟記反證法的步驟，然后進行判斷即可.

【解析】：兩個不相等的角互為補角，.?.這兩個角一個角大于90°,一個角小于90°,

即一個銳角，一個鈍角，故互為補角的兩個角都是直角，是假命題；

【小結(jié)】本題結(jié)合角的比較考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.

變式6閱讀下面材料：

判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.

例如要判斷命題”相等的角是對頂角”是假命題，可以舉出如下反例：

如圖，OC是NAOB的平分線，Nl=/2,但它們不是對頂角.

請你舉出一個反例說明命題“如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等”是假命題.（要求：畫出

相應(yīng)的圖形，并用文字語言或符號語言表述所舉反例）

【分析】分別列舉滿足條件的題設(shè)，但不滿足題設(shè)的結(jié)論即可.

【解析】如圖，Zl+Z2=180°；

如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.

【小結(jié)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組

成，題設(shè)是己知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命

題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，

而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

考點3推理與論證

例題3媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗

茶杯要用1分鐘，放茶葉要用2分鐘，給同學打電話要用1分鐘.為使客人早點喝上茶，小明最快可在幾

分鐘內(nèi)完成這些工作？()

A.19分鐘B.18分鐘C.17分鐘D.16分鐘

【分析】利用已知得出燒水時間里完成洗茶壺、洗茶杯、再放茶葉、給同學打電話最節(jié)省時間進而得答案.

【解析】小明應(yīng)先洗開水壺用1分鐘，再燒開水用15分鐘，

在燒水期間，洗茶壺用I分鐘，洗茶杯用1分鐘，放茶葉用2分鐘，給同學打電話用1分鐘，一共用5分

鐘，不用算入總時間，故為使客人早點喝上茶，小明最快可在16分鐘內(nèi)完成這些工作.選D

【小結(jié)】此題主要考查了推理與論證，合理安排時間是解題關(guān)鍵.

變式7某班對道德與法治，歷史，地理三門程的選考情況進行調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：其中道德與法治，歷史

兩門課程都選了的有3人，歷史，地理兩門課程都選了的有4人，該班至多有多少學生()

A.41B.42C.43D.44

科目道德與法治歷史地理

選考人數(shù)(人)191318

【分析】根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19-3->]=(16-y)人，只選歷史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)

人，只選地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即可得出結(jié)論.

【解析】如圖，設(shè)三門課都選的有x人，同時選擇地理和道德與法治的有)，人，

根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19-3-y]=(16-y)人，只選歷史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)人,

只選地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即：總?cè)藬?shù)為16-y+y+14-y+4-x+6+x+3=43-y

當同時選擇地理和道德與法治的有0人時，總?cè)藬?shù)最多，最多為43人，選C.

【小結(jié)】此題是推理論證的題目，主要考查了學生的推理能力，表示出只選一種科目的人數(shù)是解本題關(guān)鍵.

變式8甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍色和紅色.在問到他們各自車的顏色時，甲說：“乙的

車不是白色.”乙說：“丙的車是紅色的.”丙說：“丁的車不是藍色的.”丁說：“甲、乙、丙三人中

有一個人的車是紅色的，而且只有這個人說的是實話.”如果丁說的是實話，那么以下說法正確的是（）

A.甲的車是白色的，乙的車是銀色的

B.乙的車是藍色的，丙的車是紅色的

C.丙的車是白色的，丁的車是藍色的

D.丁的車是銀色的，甲的車是紅色的

【分析】先判斷出乙和丙的車不是紅色，進而判斷出甲的車是紅色，再根據(jù)丙的說法不是實話，判斷出丁

的車是藍色，再根據(jù)甲的說法判斷出丙和乙的車的顏色.

【解析】；丁說：“甲、乙、丙三人中有一個人的車是紅色的，而且只有這個人說的是實話.”如果丁說

的是實話，

假設(shè)乙的車是紅色，

二乙的說法是實話，

二丙的車也是紅色，和乙的車是紅色矛盾，

假設(shè)丙的車是紅色，

...丙的說法是實話，而乙說：“丙的車是紅色的.”，

乙的說法是實話，

，有兩人說的是實話，與只有一個人是說法是實話矛盾，

...只有甲的車是紅色，.?.甲的說法是實話，.?.丙的說法不是實話，

???丙說：“丁的車不是藍色的.”

...丁的車是藍色，

乙和丙的車一個是白色，一個是銀色，

?.?甲說：“乙的車不是白色.”且甲的說法是實話，

.?.丙的車是白色，乙的車是銀色，

即：甲的車是紅色，乙的車是銀色，丙的車是白色，丁的車是藍色，

選C.

【小結(jié)】此題是推理與論證題目，解決此類題目先假設(shè)某個說法正確，然后根據(jù)題意進行分析推理，看是

否有矛盾，進而得出結(jié)論，

變式9A,B,C,。四個隊賽球，比賽之前，甲和乙兩人猜測比賽的成績次序：甲：從第一名開始，名次

順序是A,D,C,B；乙：從第一名開始，名次順序是A,C,B,D,比賽結(jié)果，兩人都猜對了一個隊的名

次，已知第一名是B隊，請寫出四個隊的名次順序是（）

A.B,A,C,DB.B,C,A,DC.D,B,A,CD.B,A,D,C

【分析】兩人都猜對了一個隊的名次，已知兩隊猜的第一名是錯誤的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也

是錯誤的.因此甲猜的第三項和乙猜的第四項是正確的，即這四個隊的名次順序為B、A、C、D.

【解析】由于甲、乙兩隊都猜對了一個隊的名次，且第一名是B隊.那么甲、乙的猜測情況可表示為：甲：

錯、錯、對、錯；乙：錯、錯、錯、對.

因此結(jié)合兩個人的猜測情況，可得出正確的名次順序為8、A、C、D.

選A.

【小結(jié)】解決本題的關(guān)鍵，是要綜合考慮兩個人的猜測情況，以免造成多解和錯解.

考點4平行線公理及其推論

平行線公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線和己知直線平行。

例題4下列說法中，正確的是（）

A.兩條不相交的直線叫平行線

B.一條直線的平行線有且只有一條

C.若直線a〃b,a//c,則b〃c

D.兩條直線不相交就平行

【分析】根據(jù)平行線的定義判斷A；

根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷8；

根據(jù)平行公理的推論判斷C；

根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系判斷D.

【解析】A、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項錯誤；

B、一條直線的平行線有無數(shù)條，故本選項錯誤；

C、若直線a//c,則匕〃c,滿足平行公理的推論，故本選項正確；

￡＞、在同一平面內(nèi)兩條直線不相交就平行，故本選項錯誤.

選C.

【小結(jié)】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵.

變式1（）已知在同一平面內(nèi)，有三條直線mb,C,若a〃6"〃c,則直線a與直線c之間的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.平行或相交

【分析】根據(jù)平行公理的推論直接判斷直線c與直線a的位置關(guān)系即可.

【解析】I?在同一平面內(nèi)，直線直線b〃c,

...直線c與直線a的位置關(guān)系是：a//c,選B.

【小結(jié)】此題主要考查了平行公理的推論，熟練記憶推論內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

變式n下列說法正確的是（）

A.a,b,c是直線，且b//c,則a〃c

B.a,b,c是直線，且a_L8,bLc,則a_Lc

C.a,b,c是直線，且a〃6,6_Lc,貝?。輆〃c

D.a,h,c是直線，且a〃6,h//c,則a_l_c

【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”和“在

同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”解答即可.

【解析】A、正確，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”.

8、錯誤，因為“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”.

C、錯誤，a,b,c是直線，且?！?,b_Lc則a_Lc；

D、錯誤，b,c是直線，且。〃b,b//c,則?！╟.

選A.

【小結(jié)】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)定理，比較簡單.

變式12下列語句：

①不相交的兩條直線叫平行線

②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行

③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行

④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行

⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行

正確的個數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】直接利用平行公理以及其推論分析得出答案.

【解析】①不相交的兩條直線叫平行線，必須是在同一平面內(nèi)，故錯誤；

②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，正確

③如果線段AB和線段CQ不相交，那么直線AB和直線CQ平行，錯誤；

④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，正確；

⑤過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤，

選

【小結(jié)】此題主要考查了平行公理及推論，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

考點5完善證明過程

例題5完成下面推理：如圖，已知：DE//BC,DF、BE分別平分NACE、ZABC,求證：NFDE=NDEB

證明：(已知)

:.NADE=N()

:。F、2E分別平分NADE、ZABC,(已知)

，/ADF=3N

2--------

AfiE=1z()

：.ZADF^ZABE

：.DF//()

,ZFDE=ZDEB()

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZAOE=NA8C,根據(jù)角平分線定義得出/皿三亞ADE,NABE=^N

ABC,推出根據(jù)平行線的判定得出。尸〃BE即可.

【解析】,：DE//BC（已知），

.?.N4OE=/ABC（兩直線平行，同位角相等），

,:DF、BE分別平分ADE、ZABC,

.?./4。/=34力后（角平分線定義），

/A8E=,/A8C（角平分線定義），

NADF=ZABE,

二。尸〃BE（同位角相等，兩直線平行），

：.ZFDE=ZDEB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記平行線的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵.平行

線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

變式13補全證明過程：（括號內(nèi)填寫理由）

一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于A、G、H、D,如果N1=N2,ZA=ZD,

求證：NB=NC.

證明：VZ1=Z2（）,Nl=/3,（）

.".Z2=Z3,（）

CE//BF,（）

AZC=Z4,（）

又：乙4=/。，（）

：.AB//,（）

,NB=N4,（）

:.NB=NC.（）

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可.

【證明】VZ1-Z2（已知），Z1=Z3（對頂角相等），

.\Z2=Z3（等量代換），

.?.CE〃BF（同位角相等，兩直線平行），

.\ZC=Z4（兩直線平行，同位角相等），

又（已知），

.'.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

.*.ZB=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

:.NB=NC（等量代換）.

故答案為：對頂角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；已知；CD；內(nèi)

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【小結(jié)】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理.

變式14幾何說理填空：如圖，尸是BC上一點，尸G，4c于點G,”是AB上一點，〃E_LAC于點E,Z1

=N2,求證：DE//BC.

證明：連接EF

'：FG±AC,HEVAC,

:.NFGC=NHEC=90°().

//().

；./3=N().

又；N1=N2,

/.Z1+Z3=Z2+Z4.

即4DEF=AEFC

：.DE//BC().

【分析】要證明OE〃FC,可證明NOEF=/EFC,由于Nl=/2,可證明N3=N4,需證明EH〃FG,可

通過垂直的性質(zhì)得到.

【證明】連接EF

'JFGYAC,HEVAC,

；.NFGC=NHEC=90°（垂線的性質(zhì)）.

...FG〃//E（同位角相等，兩直線平行）.

AZ3=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又；/1=/2,

，/l+/3=/2+N4.

即

：.DE//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定并學會分析是解決本題的關(guān)鍵.

變式15如圖：己知：ZADE+ZBCF=\SO°,BE平分NA8C交C。的延長線于點E,AF平分NBA。交

QC的延長線于點R若NABC=2NE,則NE+NF=90°，完成下列推理過程?

證明：

VZADE+ZBCF=180°,ZADE+ZADF^\S0°

:.NADF=NBCF()

J.AD//BC()

：8E平分/ABC

AZABC=2ZABE()

又；ZABC=2ZE

；.NABE=NE

：.AB//EF()

'JAD//BC

.?.NBA￡)+/ABC=180°()

平分NABC,A尸平分NBA。

：.ZABE=^ZABC,NBAF=，NBAD

：.NABE+NBAF=^ZABC+~ZBAD=1xl80°=90°

'：AB//EF()

：.ZBAF=ZF()

,/NABE=NE

NE+NF=90°(____________)

B'c

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，同角的補角相等以及等量代換，結(jié)合圖形直觀得出答案.

【證明】VZAZ）￡+ZBCF=180°,ZADE+ZADF=ISO0

：.ZADF^ZBCF（同角的補角相等）

.?.AO〃BC（同位角相等，兩直線平行）

平分NABC

:./ABC=2/ABE（角平分線定義）

又；乙48c=2NE

，NABE=NE

...A8〃EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

,JAD//BC

：.ZBAD+ZABC=\SOa（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

8E平分NABC,AE平分NBA。

NABE=A/ABC,NBAF=：NBAD

/ABE+NBAF=|ZABC+^ZBAD=ixl80°=90°

'：AB//EF（己證）

.??NA4F=NF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

NABE=ZE

AZE+ZF=90°（等量代換）

【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是正確解答的前提.

考點6同位角'內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷

直線AB,CQ被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點，圍繞兩個頂點的8個角之間有三種特殊

關(guān)系：

同位角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線4區(qū)CD的同側(cè)，在第三條直線E尸的同旁（即位置相同），

這樣的一對角叫做同位角；

內(nèi)錯角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線CO之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這

樣的一對角叫做內(nèi)錯角；

同旁內(nèi)角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,8之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫

做同旁內(nèi)角。

例題6如圖，下列說法中錯誤的是（）

A./3和/5是同位角B.N4和N5是同旁內(nèi)角

C./2和N4是對頂角D./2和/5是內(nèi)錯角

【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，對頂角以及內(nèi)錯角的定義進行判斷.

【解析】A、N3和N5是同位角，故本選項不符合題意.

B、N4和/5是同旁內(nèi)角，故本選項不符合題意.

C、N2和N4是對頂角，故本選項不符合題意.

D、N2和N5不是內(nèi)錯角，故本選項符合題意.

選。.

【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角.解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線

入手.

變式16同學們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.下面

三幅圖依次表示（）

4同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

C.同位角、對頂角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

【分析】兩條線“、6被第三條直線C所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱

為同位角；

兩個角分別在截線異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；

兩個角都在截線同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系一對角互為同旁內(nèi)角.據(jù)此作答即可.

【解析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，

可知第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角，選艮

【小結(jié)】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)

別它們.

變式17如圖，同位角共有（）對.

【分析】根據(jù)同位角的概念解答即可.

【解析】同位角有5對，N4與N7,N3與N8,N1與N7,N5與N6,N2與N9,N1與N3,

選A.

【小結(jié)】此題考查同位角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角解答.

變式18如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.N4和/5是同旁內(nèi)角B.N3和N2是對頂角

C.N3和/5是內(nèi)錯角D./I和/5是同位角

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，對頂角，內(nèi)錯角以及同位角的定義解答.

【解析】A、N4和N5是鄰補角，不是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤.

B、N3和（N1+/2）是對頂角，故本選項錯誤.

C、N3和N5是內(nèi)錯角，故本選項正確.

D、N1和（N1+N2）是同位角，故本選項錯誤.

選C.

【小結(jié)】考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角以及對頂角的定義，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接

從截線入手.對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同

的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義.

考點7利用平行線的性質(zhì)求角

兩條直線平行則同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補.

例題7如圖所示，將含有30°角的三角板（N4=30°）的直角頂點放在相互平行的兩條直線其中一條上,

若Nl=38°,則N2的度數(shù)（）

A.28°B.22°

【分析】延長AB交CF于E,求出NA8C,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NAEC,根據(jù)平行線性質(zhì)得出/2=N

AEC,代入求出即可.

【解析】如圖，延長AB交CF于E,

VZACB=90°,/A=30°,

；.NABC=60°,

.?./AEC=/A8C-/1=22°,

'JGH//EF,

：.Z2=ZAEC=22°,

選B.

【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)的運用，主要考查學生的推理能

力.解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

變式19如圖，把三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若Nl=32°,則N2的度數(shù)為（）

A.68°B.58°C.48°D.32°

【分析】因直尺和三角板得AO〃尸E,ZBAC=90°；再由AO〃尸￡得/2=/3；平角構(gòu)建N1+N84C+N3

=180°得Nl+N3=90°,已知Nl=32°可求出N3=58°,即N2=58°.

【解析】如圖所示:

■:AO//FE,

AZ2=Z3,

又???N1+N5AC+N3=18O°,ZBAC=90°,

AZl+Z3=90°,

又TNI=32°,

???N3=58°,

???N2=58°,

選B.

【小結(jié)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，直角，平角和角的和差相關(guān)知識的應(yīng)用，重點是平行線的性質(zhì).

變式2()如圖，某江段江水流向經(jīng)過8、C、O三點拐彎后與原來方向相同，若NABC=125°,NBCD=75°,

則NCQE的度數(shù)為()

Dy_____

/B

A.20°B.25°C.35°D.50°

【分析】由題意可得過點C作CF//AB,則CF//DE,由平行線的性質(zhì)可得N8CF+NA8C=180°,

所以能求出N8CR繼而求出NOCR再由平行線的性質(zhì)，即可得出NCQE的度數(shù).

【解析】由題意得，AB//DE,

如圖，過點C作C/〃A8,則CE〃。心

：.ZBCF+ZABC=\S00,

.\ZBCF=180°-125°=55°,

：.ZDCF=15°-55°=20°,

；?NCDE=/DCF=20°.

選A.

幺B

【小結(jié)】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C點先作AB的平行線，由平行線的性質(zhì)求解.

變式21將AD與BC兩邊平行的紙條ABC。按如圖所示折疊，則N1的度數(shù)為()

A.72°B.45°C.56°D.60°

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出/CEF=62°,利用平行線的性質(zhì)進行解答即可.

【解析】：一張長方形紙條ABC。折疊，

:.NCEF=NFEC=62°,

'.'AD//BC,

.,.Nl=NCTB=180°-62°-62°=56°,選C.

【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換(折疊問題).觀察圖形，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

考點8三角形內(nèi)角和與平行線

例題8如圖，將一副三角板如圖放置，^AE//BC,則/BAZ)=()

A.90°B.85°C.75°D.65°

【分析】利用平行線的性質(zhì)求出NAOB,再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題

【解析】,：AE//BC,

...NAO8=/D4E=45°,

VZB=60°,

.?./BAO=180°-ZB-ZADB=180°-60°-45°=75°,選C.

【小結(jié)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

?？碱}型.

變式22一副三角板如圖放置，點。在CB的延長線上，EF//CD,NC=NEDF=90°,NA=45°,Z

EFD=30Q,貝ijNDFB=()

A.15°B.20°30

【分析】直接利用三角板的特點,結(jié)合平行線的性質(zhì)得出NBFE=45°,進而得出答案.

【解析】由題意可得：ZEFD=30°,NABC=45°,

'JEF//CD,

；.NBFE=NABC=45°,

：.ZDFB=45°-30°=15°,選A.

【小結(jié)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NBFE的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

變式23如圖，XNBC是一塊直角三角板，ZC=90°,ZA=30°,現(xiàn)將三角板疊放在一把直尺上，AC

與直尺的兩邊分別交于點D、E,AB與直尺的兩邊分別交于點F、G,若Nl=40°,則N2的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到Nl=NQFG=40°,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到N2的度數(shù).

【解析】,：DF//EG,

.,./1=NOFG=40°,

又：/A=30°,

：.Z2^ZA+ZDFG=30°+40°=70°,選D

【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相

等.

變式24如圖，直線m〃"，△A8C的頂點B,C分別在直線〃，加上，且N4CB=90°,若Nl=30°,則

Z2的度數(shù)為（）

A

A.140°B.130°C.120°D.110°

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N3的度數(shù)，再由/ACB=90°得出/4的度數(shù)，根據(jù)補角的定義即可得

出結(jié)論.

【解析】如圖：

A

Zl=30°,

AZ3=Zl=30°.

VZACB=90°,

：.Z4=ZACB-Z3=90°-30°=60°,

AZ2=180°-Z4=180°-60°=120°.

選C.

【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

考點9三角形內(nèi)角和與角平分線

例題9如圖，在△A8C中，BO,CO分別平分/4BC和NAC8.

(I)若/A=60°,則NBOC的度數(shù)為；

(II)若NA=100°,則/BOC的度數(shù)；

(III)若/A=a,求N2OC的度數(shù)，并說明理由.

A

【分析】(I)由三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得出/CBO+/BCO=L(180°-NA),再由三.

角形內(nèi)角和定理即可得出/BOC的度數(shù).

(II)和(III)方法同(I).

【解析】(1)：B。、C。分別平分NA8C和/ACB,ZA=60°,

：.ZCBO+ZBCO^1-(1800-NA)=1(180°-60°)=60°,

22

AZBOC=180°-(NCBO+NBC。)=180°-60°=120°；

故答案為：120°；

(II)同理，若NA=100°,

則N8OC=180°-A(1800-NA)=90°+AZA=140°,

22

故答案為140°；

(III)同理，若NA=a,

則N3OC=180°-A(1800-ZA)=90°+工a.

22

【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進行推理計

算是解決問題的關(guān)鍵.

變式25如圖，4。是△ABC的高線，AE是角平分線，若NB4C：ZB：ZC=6：3：1,求ND4E的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論.

【解析】VZBAC：NB：ZC=6：3：1,

.?.設(shè)N8AC=6a,NB=3a,ZC=a,

'：ZBAC+ZB+ZC=180°,

/.6a+3a+a=180°,

/.a=18°,

：.ZBAC=\OS°,ZB=54°,ZC=18°,

???A。是△ABC的高線，

.??NAQB=90°,

：.ZBAD=]SO°-90°-54°=36°,

是角平分線，

.,.NBAE=L/BAC=LX1O8°=54。，

22

：.ZDAE^ZBAE-ZBAD=54Q-36°=18°.

【小結(jié)】本題主要考查了三角形高線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握三角形的內(nèi)角和

定理是解題的關(guān)鍵.

變式26如圖，AE,8尸分別為△ABC的角平分線，它們相交于點0.

(1)試說明/BOA=90°+.LZC；

2

(2)4。是△ABC的高，ZBOA=115°,NB4C=60°時，求ND4E的度數(shù).

【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/C=180°-(ZBAC+ZABC)的度數(shù)，由角平分線的定義和

三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；

(2)先根據(jù)角平分線的定義可得NCAE的度數(shù)，求出NC的度數(shù)，根據(jù)高線和直角三角形的兩銳角互余可

得結(jié)論.

【解析】(1)-ZC,

?.%￡、B尸是角平分線，

:.ZEAB=-LZBAC,ZMB=-A-2/ABC,

.\Z￡/1B+ZMB=1(2/BAC+Z/ABC)=1(180?_ZC)=90?卷N0

/.ZAOB=180°-(90°卷NC)=9°。,/C

(2)；/BAC=60°,AE平分/R4C,

.?.NOEq/BAC=30。，

???NB0A=115。，ZB0A=90o總NC，

r.zc=50°,

???AO是高，

/.ZADC=90°,

：.ZCAD=90Q-50°=40°,

AZDA￡=ZCAD-ZCAE=40°-30°=10°.

【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

變式27如圖1,已知線段AB、C。相交于點。，連接AC、BD.

(1)求證：ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)如圖2,NCAB與N8Q的平分線AP、0P相交于點P,求證：NB+/C=2/P.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可.

【證明】(1)在△A0C中，ZA+ZC=180°-ZAOC,

在△BOO中，ZB+ZD=1800-ZBOD,

"：NAOC=NBOD,

：.ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)在AP、CD相交線中，有NCAP+/C=NP+/CZ)P,

在A8、0P相交線中，宿NB+/BDP=/P+/BAP,

：.ZB+ZC+ZCAP+ZBDP=2ZP+ZCDP+ZBAP,

'：AP.分別平分/C48、NBDC,

：.ZCAP=ZBAP,NBDP=NCDP,

：.ZB+ZC=2ZP.

【小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.也考查了角平分線的定義.

考點10三角形外角性質(zhì)與平行線

【解析】'：AB//CD,

廠

:./B=NEFC,

：.ZE=ZEFC-ZD=ZB-ZD=2ZD-ZD=ZDf

VZE=22°,

AZD=22°,

選A.

【小結(jié)】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,

同位角相等定理的應(yīng)用.

變式28已知一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，N2=32°,那么N1等于（)

【分析】依據(jù)對頂角以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到/4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性

質(zhì)，即可得出N1的度數(shù).

【解析】VZC=90°,Z2=ZCF￡=32°,

，N4=58°,

.*.Z3=Z4=58°,

VZ3是aAOG的外角，

.*.Z1=Z3-ZA=58°-30°=28°,

選A.

【小結(jié)】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的運用，用到的知識點為：兩直線平行，同位角

相等.

變式29如圖，直線AE〃。凡若乙48c=120°,NOCB=95°,則N1+N2的度數(shù)為（）

A.45°B.55°不能確定

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

【解析】'：AE//DF,

/.Z3+Z4=180°,

：/ABC=/l+/3=120°,NDCB=N2+N4=95°,

.?.Zl+Z3+Z2+Z4=120°+95°,

：.Z1+Z2=215°-180°=35°,

選C.

【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于

中考?？碱}型.

變式3()如圖，已知直線EC〃B。，直線C。分別與EC,8力相交于C,。兩點.在同一平面內(nèi)，把一塊含

30°角的直角三角尺48。(/AQB=30°,NA8￡>=90°)按如圖所示位置擺放，且A。平分N8AC,則/

ECA=()

A.15°B.2C.25D.30°

【分析】如圖，延長8A交EC于從利用平行線的性質(zhì)求出NA”C=90°,再利用三角形的外角的性質(zhì)解

決問題即可.

【解析】如圖，延長8A交EC于H.

"."EC//BD,

：.ZCHA+ZABD=180a,

VZABD=90°,

：.ZAHC=90°,

平分/8AC,

/.ZBAC=2ZBAD=120°,

:ZBAC=ZAHC+ZECA,

：.ZECA=30°,

選￡>.

【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型.

考點11三角形的外角性質(zhì)與角平分線

例題11如圖，AC平分/OCE,且與BE的延長線交于點A.

（1）如果NA=35°,ZB=30°,則NBEC=.（直接在橫線上填寫度數(shù)）

（2）小明經(jīng)過改變NA,N8的度數(shù)進行多次探究，得出NA、NB、NBEC三個角之間存在固定的數(shù)量關(guān)

系，請你用一個等式表示出這個關(guān)系，并進行證明.

【分析】（1）依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到NACO=N4+NB=65°,依據(jù)AC平分NDCE,可得NACE

=ZACD=65°,進而得出/BEC=/A+NACE=35°+65°=100°；

（2）依據(jù)AC平分NOCE,可得NACC=/4CE,依據(jù)三角形外角性質(zhì)可得/BEC=/A+NACE=N4+N

ACD,根據(jù)N4CO=NA+NB,即可得至ljNBEC=NA+N4+NB=2NA+NB.

【解析】（1）VZA=35°,NB=30°,

...NACD=/A+NB=65°,

又平分NOCE,

AZACE=ZACD=65a,

...NBEC=/A+/ACE=35°+65°=100°,

故答案為：100°；

（2）關(guān)系式為/BEC=2NA+NB.

理由：：AC平分NQCE,

N-ZACE,

■:NBEC=ZA+ZACE=ZA+ZACD,

,/ZACD^ZA+ZB,

：.NBEC=ZA+ZA+ZB=2ZA+ZB.

【小結(jié)】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時注意：三角形的一個外角等于和它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

變式31如圖，在△ABC中，AO是高，ZDAC=10°,AE是/BAC外角的平分線，B尸平分NABC交AE

于點F,若/ABC=46°,求NAFB的度數(shù).

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NBAO的度數(shù)，得到/B4C的度數(shù)，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出NC4M的

度數(shù),根據(jù)角平分線的定義求出NM4E的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可.

【解析】「A。是高，

/.ZADB=90°,

AZBAD=900-ZABC=44a,又NOAC=10°,

.'.ZBAC=54°,

AZMAC=126°,

是/BAC外角的平分線，

...NM4E=XZAMC=63°,

2

尸平分NABC,

AZABF=XZABC=23°,

2

:.NAFB=NMAE-NABF=40°.

【小結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解

題的關(guān)鍵.

變式32如圖，在△ABC中，點E在AC上，ZAEB=ZABC.

（1）圖1中，作N8AC的角平分線A。，分別交CB、BE于D、F兩點，求證：ZEFD=ZADC；

（2）圖2中，作△ABC的外角N2AG的角平分線AO,分別交CB、BE的延長線于￡＞、F兩點,試探究（1）

中結(jié)論是否仍成立？為什么？

（1）（2）

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NBAQ=ND4C,再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得NEFD=/D4C+

ZAEB,ZADC^ZABC+ZBAD,進而得到N￡77）=NAOC；

（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/BAD=ND4G,再根據(jù)等量代換可得然后再根據(jù)內(nèi)

角與外角的性質(zhì)可得NEFQ=NAE8-NME,ZADC=ZABC-ABAD,進而得NEFC=NAOC.

【解析】（1）平分NBAC,

J.ZBAD^^DAC,

NEFD=ZDAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,

又,:ZAEB=AABC,

：.NEFD=ZADC；

（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；

理由：平分NBAG,

：.ZBAD^ZGAD,

'：ZFAE=ZGAD,

.'.ZFAE=ZBAD,

"：NEFD=NAEB-ZFAE,ZADC^ZABC-/BAD,

又；乙4EB=NABC,

:.ZEFD=ZADC.

【小結(jié)】此題主要考查三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

變式33探究:

(1)如圖1,在△ABC中，8P平分/ABC,CP平分NACB.求證：/尸=90°+工乙4.

2

(2)如圖2,在△ABC中，BP平分乙4BC,CP平分外角NACE.猜想/P和NA有何數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

(3)如圖3,B