工具變量方法原理

PAGE14工具變量方法原理工具變量原理教學(xué)目的及要求：1、理解引入隨機解釋變量的目的及產(chǎn)生的影響2、理解估計量的漸進無偏性和一致性3、掌握隨機解釋變量OLS的估計特性4、應(yīng)用工具變量法解決隨機解釋變量問題第一節(jié)隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題產(chǎn)生的原因多元（）線性回歸模型：（8-1）其矩陣形式為：（8-2）在多元（）線性回歸模型中，我們曾經(jīng)假定，解釋變量是非隨機的。如果是隨機的，則與隨機擾動項不相關(guān)。即：（8-3）許多經(jīng)濟現(xiàn)象中，這種假定是不符合實際的，因為許多經(jīng)濟變量是不能用控制的方法進行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能在重復(fù)抽樣中得到相同和確定的數(shù)值，其取值很難精確控制，也不易用實驗方法進行精確觀測，解釋變量成為隨機變量。又由于隨機項包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量往往是同模型中相關(guān)的變量，因而就很有可能在是隨機變量的情況下與隨機項相關(guān)，這樣原有的古典假設(shè)就不能滿足，產(chǎn)生隨機解釋變量。在聯(lián)立方程模型以及模型中包含有滯后內(nèi)生變量等情況下，如果擾動項是序列相關(guān)的，那么均有擾動項和解釋變量之間的相關(guān)性的出現(xiàn)，模型就存在隨機解釋變量問題。例如，固定資產(chǎn)投資與國民收入的關(guān)系滿足如下模型：其中，為期的固定資產(chǎn)投資，為期的固定資產(chǎn)投資，為期的國民收入，因為是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。再如，消費與收入之間的影響關(guān)系模型為其中，為期的消費支出，為期的消費支出，是期的收入，因為是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。二、隨機解釋變量問題的后果模型中，在解釋變量為隨機變量并且與擾動項相關(guān)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法估計參數(shù)可能會出現(xiàn)估計的不一致性，使得估計值產(chǎn)生很大的偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗的全面失準，檢驗失效，檢驗失去意義。在這種情況下，各種統(tǒng)計檢驗得到的是虛假的結(jié)果，不能作為判別估計式優(yōu)劣的依據(jù)。隨機解釋變量帶來何種結(jié)果取決于它與隨機誤差項是否相關(guān)：1）隨機解釋變量與隨機誤差項不相關(guān)2）隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下相關(guān)，在大樣本下漸進無關(guān)3）隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關(guān)4）滯后被解釋變量與隨機誤差項相關(guān)第二節(jié)隨機解釋變量模型的估計特性我們討論的估計量的性質(zhì)（包括無偏性、最小方差性）都是在樣本容量一定的情況下的統(tǒng)計性質(zhì)，在數(shù)理統(tǒng)計上叫做小樣本性質(zhì)。在某些情況下，小樣本時的估計量不具有某種統(tǒng)計性質(zhì)，但是隨著樣本容量的增大，一個估計量在小樣本時不具有的性質(zhì)，大樣本時就逐漸具有這種統(tǒng)計性質(zhì)了，這種性質(zhì)我們叫做大樣本性質(zhì)或叫做估計量的漸近統(tǒng)計性質(zhì)。常用的漸近統(tǒng)計性質(zhì)有漸近無偏性和一致性。一、估計量的漸近無偏性記代表模型中參數(shù)的估計量，其上標表示樣本容量。一般來說，取如下的樣本容量，，為一隨機變量。隨著樣本容量的增大，估計量構(gòu)成一個估計量（隨機變量）序列：＝，，…，，…（8-4）所謂漸近理論就是討論當變得很大時，以上這些序列會有怎樣的結(jié)果。序列如果滿足：（）＝(8-5)則稱為的漸近無偏估計。也就是說，當樣本容量越來越大，趨于時，的均值越來越接近參數(shù)的真值。這里需要注意的是，有些估計量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是無偏的，即是漸近無偏的。例如隨機變量的樣本方差容易證明（在數(shù)理統(tǒng)計中已有證明）其中，為總體方差。很明顯，在小樣本下，作為的估計量是有偏的，但隨著的無限增大，趨于總體的真正方差，因此是漸近無偏的。可見，通過增加樣本容量，可以改善參數(shù)估計的精度。二、估計量的一致性如果隨著樣本容量的增大，估計量幾乎處處趨近于真值，我們說為的一致估計量，或稱依概率收斂于。如果樣本容量無限增大時，的分布收斂于，的方差趨于零，就是的一致估計量。一致估計量可以記為：或簡記為。式中表示概率極限。為簡單起見，可略去上標，記作概率極限有下列運算法則：為常數(shù)為常數(shù)這里需要弄清楚一點是，無偏性與一致性是兩個截然不同的概念，無偏性可以對任何樣本容量成立，而一致性則是對大樣本而言的，是一種漸近性質(zhì)。在大樣本的條件下，一致估計量具有很高的精度，但在小樣本時一致性不起作用。可以證明，為的一致估計量，當且僅當（8-6）時成立。此充分必要條件說明，是漸近無偏的，且當樣本容量無限增大時的方差趨于零。上面的討論是對隨機變量而言的，對于隨機向量同樣有類似的結(jié)論。三、隨機解釋變量模型OLS估計特性計量經(jīng)濟模型中一旦出現(xiàn)了隨機解釋變量，如果仍用最小二乘法估計模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機解釋變量會出現(xiàn)不同的結(jié)果。為了簡單起見，我們用一元線性回歸模型進行說明。給定一元線性回歸模型：（8-7）假設(shè)為一隨機變量，模型滿足其他古典假設(shè)條件。對式（8-7），其離差形式為：（8-8）其中，，，應(yīng)用普通最小二乘法，則有（8-9）把(8-8)中的代入（8-9），則可以得到（8-10）而（8-11）下面分三種情況討論：1．和是獨立的因和相互獨立，并且∴故有2．與小樣本下相關(guān)，大樣本下漸近無關(guān)小樣本：所以，最小二乘法估計是有偏的。大樣本：對式（8-10）兩邊取概率極限可有（8-12）因此，在假定的情況下，有（8-13）說明最小二乘估計式也具有一致性特性。3．與高度相關(guān)討論一般情況下回歸模型（8-8）式（8-14）假設(shè)：，，和之間的相關(guān)系數(shù)是，如果采用普通最小二乘法估計上式，可以得到：（8-15）因為：代入上式即可?？梢?，如果很高，只有當是很小的情況下，（8-15）式的漸近誤差才是可以忽略的。否則，最小二乘估計式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機解釋變量模型的處理如果模型中存在隨機解釋變量問題，則一般的隨機解釋變量與隨機誤差項之間是相關(guān)的，最小二乘估計量有偏且不一致，需要利用其他估計方法對模型參數(shù)進行估計。一、工具變量法工具變量（InstrumentVariable,IV）法就是當隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)時，尋找一個與隨機解釋變量高度相關(guān)，但與隨機誤差項不相關(guān)的變量，用該變量替代模型中的隨機解釋變量，進行模型的參數(shù)估計。我們稱這一替代隨機解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個條件：第一，工具變量必須是有明確經(jīng)濟含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機解釋變量高度相關(guān)，而又與隨機誤差項不相關(guān)；第三，工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關(guān)，以免出現(xiàn)多重共線性；第四，模型中的多個工具變量之間不相關(guān)。（二）工具變量的應(yīng)用工具變量對隨機解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對應(yīng)的隨機解釋變量，而是在最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對隨機解釋變量進行部分替代。對于一元線性回歸模型（8-7）和（8-8）若與不相關(guān)，滿足所有的統(tǒng)計假定。應(yīng)用OLS法，利用微分求極值的辦法求出正規(guī)方程：（8-16）現(xiàn)采用另一種方法來導(dǎo)出OLS正規(guī)方程。我們以（同乘以兩邊，得個式子，求和得：+（8-17）因為與不相關(guān)，從而可以略去，就可以得OLS正規(guī)方程。如果與相關(guān)，則，不能用OLS法來估計參數(shù)?，F(xiàn)在，我們要尋找一個變量，與高度相關(guān)而與無關(guān)，用的離差乘以的兩邊，然后求和得到一個類似于OLS正規(guī)方程的方程。在這里，就是工具變量。（8-18）由于與無關(guān)，所以得：（8-19）上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得（8-20）因此，工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機解釋變量，從而利用克服產(chǎn)生的對模型參數(shù)估計的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數(shù)的估計量。從這一原理理解，OLS法也可以看作是一種工具變量法，即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具變量。容易證明，參數(shù)工具變量估計量是有偏的、一致的估計量。在實際經(jīng)濟分析中，對于工具變量的選擇，一般的做法是：對于時間序列資料，如果被解釋變量、隨機解釋變量、隨機誤差項三者之間的關(guān)系有，但，，則可用或作為的工具變量。（三）多元線性回歸模型對于元線性回歸模型：（8-21）其矩陣形式為：（8-22）假設(shè)和為隨機解釋變量，且與隨機誤差項高度相關(guān)，滿足最小二乘法的其他假定條件，解釋變量之間無多重共線性。（1）尋找工具變量和。工具變量滿足以下條件：他們是有實際經(jīng)濟意義的變量；與其對應(yīng)的隨機解釋變量（對應(yīng)，對應(yīng)）高度相關(guān)；與隨機誤差項不相關(guān)；工具變量和之間不相關(guān)；與元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)。（2）寫出工具變量矩陣。除了和之外，元線性回歸模型的工具變量矩陣為：（8-23）將X矩陣中的和替換為和，其他外生變量和常數(shù)項均由其自身做工具變量，得Z矩陣：（8-24）（3）求出工具變量估計量，沿上述思路，用同乘兩邊，由于和無關(guān)，所以有（8-25）是的一致估計量。在EViews軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法，在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實現(xiàn)工具變量法估計。（四）工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數(shù)估計量，在解釋變量為隨機變量并與隨機誤差項相關(guān)的情況下，參數(shù)估計值達到了漸近一致。但這種方法在實際應(yīng)用中會遇到一定困難，主要表現(xiàn)在三個方面：（1）在解釋變量與隨機誤差項相關(guān)的情況下，要找尋一個既與高度相關(guān)，又與不相關(guān)的工作變量十分困難。再加上工具變量要具有明確的經(jīng)濟含義，這就更不容易。（2）在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數(shù)估計值也不會一致，使參數(shù)估計出現(xiàn)隨意性。工具變量選擇得當，參數(shù)估計值的質(zhì)量會高一點；如果工具變量選擇不得當，參數(shù)估計值就會出現(xiàn)較大偏誤。（3）由于使用了工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標準差，不能保證參數(shù)估計值的漸近方差一