彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問題

1彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問題2一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)

彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有差分法、變分法和有限單元法。差分公式的推導(dǎo)一fxo差分法是微分方程的一種數(shù)值解法，它不是去求解函數(shù)f(x)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值。將導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替將微分用有限差分來代替將微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問題化為求解差分方程問題。差分公式的推導(dǎo)一

在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格。

設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在3-０-１上，它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點０處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：差分公式的推導(dǎo)一(a)

只考慮離開結(jié)點０充分近的那些結(jié)點，即（x-x0）充分小。于是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項，則上式簡寫為：在結(jié)點３，x=x0-h；在結(jié)點1，x=x0+h。代入(b)得：聯(lián)立（c）、（d），解得差分公式：差分公式的推導(dǎo)一(b)(c)(d)同理，在網(wǎng)線4-0-2上可得到差分公式：

以上（１）—（４）是基本差分公式，從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：差分公式的推導(dǎo)一

差分公式(１)及(３)是以相隔2h的兩結(jié)點處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點導(dǎo)數(shù)公式。

以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點導(dǎo)數(shù)公式。

應(yīng)當(dāng)指出：中點導(dǎo)數(shù)公式與端點導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因為前者反映了結(jié)點兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無法應(yīng)用前者時才不得不應(yīng)用后者。差分公式的推導(dǎo)一9一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)變分法，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢能、外力勢能），又稱為能量法。泛函－－是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。

變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。

彈性體的形變勢能和外力勢能二彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法，分為：位移變分法：取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。應(yīng)力變分法：取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。（2）因應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系－－線性關(guān)系－－（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。１、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）

彈性體的形變勢能和外力勢能二線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系彈性體的形變勢能和外力勢能二１、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）

（3）對于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題

單位體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)彈性體的形變勢能和外力勢能二１、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）

彈性體的形變勢能和外力勢能二１、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）

（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變能，存貯于物體內(nèi)部。

--單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。（5）整個彈性體的形變勢能(d)（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為對于平面應(yīng)變問題，將再將幾何方程代入，可用位移表示為整個彈性體的形變勢能為彈性體的形變勢能和外力勢能二１、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）

(5-16)（1）U是應(yīng)變或位移的二次泛函，故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，U總是正的，即（3）U的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(5-15)彈性體的形變勢能和外力勢能二2、形變勢能Ｕ的性質(zhì)彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取時的外力功和能為零，則：(b)外力功：彈性體的形變勢能和外力勢能二3、彈性體上的外力功和外力勢能

彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和，(h)彈性體的形變勢能和外力勢能二4、彈性體的總勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二例題1

試證明，在同樣的應(yīng)變分量下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能：(a)代入，得顯然，方括號內(nèi)將式(a)中的

，

都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢能公式，

(c)彈性體的形變勢能和外力勢能二

從式(c)可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能

中的第1，2，3項均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第4項

不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢能

大于平面應(yīng)力的形變勢能U

。彈性體的形變勢能和外力勢能二CDEFAB彈性體的形變勢能和外力勢能二例題2圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？解：⑴當(dāng)AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于0，而形變勢能是正定，，當(dāng)應(yīng)力時，相應(yīng)的形變勢能也失去。因此，板的總的形變勢能減少。彈性體的形變勢能和外力勢能二⑵當(dāng)AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：AB切開后，AB線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。AB線張開，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)，(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。24一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)1.實際平衡狀態(tài)的位移，，必須滿足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）;⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上);⑶位移邊界條件（在上）。(a)

其中⑴，⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴，⑵是充分條件。

位移變分方程

三（在上）。2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

(b)位移變分方程

三

虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)位移變分方程

三(d)⑵變分與微分的比較位移變分方程

三微分－－是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y，而因變量為函數(shù)，如位移，有變分－－是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有(e)由于微分和變分都是微量，所以

a.它們的運算方式相同，如式(d)，(e)；

b.變分和微分可以交換次序，如

(f

)

位移變分方程

三當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，

由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

位移變分方程

三

形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,所以作為常力計算，故無系數(shù)。(j

)位移變分方程

三（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。所以4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出

位移變分方程

三（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式，得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。

位移變分方程

三(5-22)（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得位移變分方程

三虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。(5-24)其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分,如式(g)所示。

（4）最小勢能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)。可以證明，式(n)可以寫成為

位移變分方程

三由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得(p)(q)位移變分方程

三極小勢能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。37一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。位移變分法

四(a)

（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

位移變分法

四其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)

位移變分法

四

所以已滿足了上的位移邊界條件。而，用來反映位移狀態(tài)的變化，故位移的變分為(d)位移變分法

四

位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程(d)將式(d)，(f)代入(e)得位移變分法

四因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的，獨立的，為了滿足上式，必須:位移變分法

四式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。

位移變分法

四45一、差分公式的推導(dǎo)二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程四、位移變分法五、位移變分法例題第五章用差分