2022年浙江省嘉興市臨安於潛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年浙江省嘉興市臨安於潛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，長方形的四個頂點為，曲線經(jīng)過點．現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是（）

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知集合，則（

）A.

B．

C．

D．參考答案：D3.執(zhí)行如圖所示程序框圖，如果輸入的，則輸出的n=（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：C【分析】運行程序，分別計算各次循環(huán)所得n,S，判斷S與0.1的大小，確定輸出值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，選C．【點睛】本題考查流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)，滿足條件退出循環(huán)，考查運算能力及邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)若直線與圓相切，則的取值范圍是()參考答案：C5.為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象A．向左平移3個單位長度

B．向右平移3個單位長度 C．向左平移1個單位長度

D．向右平移1個單位長度參考答案：D6.已知向量，，則與夾角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知圓C：x2+y2+2x﹣4y=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）參考答案：B【考點】圓的一般方程．【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑．【解答】解：圓x2+y2+2x﹣4y=0即（x+1）2+（y﹣2）2=5，故圓心為（﹣1，2），故選B．【點評】本題主要考查把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心，屬于基礎(chǔ)題．9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且=

（

）

參考答案：A略10.設(shè)集合，集合，若，則實數(shù)的范圍是（

）（A） （B） （C）

（D）參考答案：B試題分析：因為，所以，且，即且，從而，選B.考點：集合的運算.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐的頂點都在球的球面上,且平面,則三棱錐的體積等于．參考答案：12略12.已知直線與圓交于不同的兩點，，是坐標(biāo)原點，若圓周上存在一點C，使得為等邊三角形，則實數(shù)的值為________.參考答案：13.以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則曲線（為參數(shù)，）上的點到曲線的最短距離是

.

參考答案：14.已知角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊在直線上，則

參考答案：15.已知向量，若⊥，則的最大值為

．參考答案：16.（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB于點D，且AD＝3DB，設(shè)∠COD＝，則＝＿＿＿參考答案：17.已知函數(shù)，若不等式的解集為,則的值為__________．參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．

（1）求曲線C的方程：

（2）若過點P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點，設(shè)

（i）當(dāng)λ=1時，求直線m的方程：

（ii）當(dāng)△AOB的面積為時（O為坐標(biāo)原點），求λ的值．參考答案：略19.如圖，設(shè)斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C：+=1交于A、B兩點，且OA⊥OB．（Ⅰ）求直線l在y軸上的截距（用k表示）；（Ⅱ）求△AOB面積取最大值時直線l的方程．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，聯(lián)立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韋達定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距．（Ⅱ）設(shè)△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S=|AB|?d，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出△AOB面積取最大值時直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），∵斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C：+=1交于A、B兩點，且OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）聯(lián)立，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，則，x1x2=，且△＞0，代入（*）從而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，∴，∴t=±，∴直線l在y軸上的截距為或﹣．（Ⅱ）設(shè)△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S=|AB|?d，而由（1）知d=，且|AB|====，∴≤，當(dāng)時，，解得k=，∴t=，∴所求直線方程為y=或y=．20.(本小題滿分13分)西師附中“低碳生活”研究小組同學(xué)利用寒假在三個小區(qū)進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下：A小區(qū)低碳族非低碳族比例

B小區(qū)低碳族非低碳族比例

C小區(qū)低碳族非低碳族比例(1)從A、B、C三個社區(qū)中各選一人，求恰好有2人是低碳族的概率；(2)在B小區(qū)中隨機選擇20戶，從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X，求X的分布列和EX．參考答案：解：(1)記這3人中恰好有2人是低碳族為事件A······················································4分(2)在B小區(qū)中隨機選擇20戶中，“非低碳族”有4戶，X012······················10分

3P

13分略21.已知函數(shù)f(x)=x2－1(x≥1)的圖象是C1，函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對稱．(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M；(2)對于函數(shù)y=h(x)，如果存在一個正的常數(shù)a，使得定義域A內(nèi)的任意兩個不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(huán)(x2)|≤a|x1－x2|成立，則稱函數(shù)y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類函數(shù)．試證明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類函數(shù)．參考答案：解析：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f－1(x)=

(x≥0)，即C2：g(x)=，M={x|x≥0}．

(2)對任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，則有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0．∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|．∴y=g(x)為利普希茨Ⅰ類函數(shù)，其中a=．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，過F（1，0）的直線FM與y軸交于點M，直線MN與直線FM垂直，且與x軸交于點N，T是點N關(guān)于直線FM的對稱點．（1）點T的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為其右焦點，且離心率為，過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，與橢圓交于P、Q兩點，請問：是否存在直線使A、F、Q是線段PB的四等分點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)T（x，y），可知FM的斜率必存在，故設(shè)直線FN的方程為y=k（x﹣1），求出M（0，﹣k），N（﹣k2，0）），由T是點N關(guān)于直線FM的對稱點，得T的坐標(biāo)x，y滿足．即可得曲線C的方程為y2=4x．（Ⅱ）易得橢圓的方程為．假設(shè)存在直線l使A、F、Q是線段PB的四等分點，當(dāng)直線l的斜率不存在或為0時，顯然不滿足題意．設(shè)直線l的方程為y=m（x﹣1）（m≠0）．由圖形可知，必有2AF=FB．聯(lián)立方程，利用韋達定理解得m=，再分別驗證即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），可知FM的斜率必存在，故設(shè)直線FN的方程為y=k（x﹣1）令x=0，得M（0，﹣k），∴當(dāng)k≠0時，直線MN的方程為y+k=﹣．令y=0，得N（﹣k2，0）），∵T是點N關(guān)于直線FM的對稱點∴T的坐標(biāo)x，y滿足．消去k得y=4x，當(dāng)k=0時得T（0，0）．曲線C的方程為y2=4x．（Ⅱ）橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為其右焦點，且離心率為，∴橢圓的方程為．假設(shè)存在直線l使A、F、Q是線段PB的四等分點，當(dāng)直線l的斜率不存在或為0時，顯然不滿足題意．設(shè)直線l的方程為y=m（x﹣1）（m≠0）．由圖形可知，必有2AF=FB．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2