河南省許昌市長葛天隆學校高三數(shù)學理期末試題含解析

河南省許昌市長葛天隆學校高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量的夾角為120°，且，則有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，

，若有窮數(shù)列（）的前項和等于，則n等于

A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B3.若函數(shù)f（x）=x+（x＞2），在x=a處取最小值，則a=(

)A．1+ B．1+ C．3 D．4參考答案：C【考點】基本不等式．【專題】計算題．【分析】把函數(shù)解析式整理成基本不等式的形式，求得函數(shù)的最小值和此時x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4當x﹣2=1時，即x=3時等號成立．∵x=a處取最小值，∴a=3故選C【點評】本題主要考查了基本不等式的應用．考查了分析問題和解決問題的能力．4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是它的前n項和，若，則（

）A.24 B.20 C.16 D.10參考答案：B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式化簡，將代入求出公差的值，然后由首項和公差，利用等差數(shù)列的前項和公式求出即可?！驹斀狻坑傻媒獾盟怨蔬xB.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題。5.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，則f(4)的值為()A．16

B．C．

D．2參考答案：C6.已知定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)f（x），對?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣e的零點所在區(qū)間是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（，1） D．（0，）參考答案：A【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】由設t=f（x）﹣lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，則方程f（x）﹣f′（x）=e的解可轉化成方程lnx﹣=0的解，根據(jù)零點存在定理即可判斷．【解答】解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，則f（x）﹣lnx為定值，設t=f（x）﹣lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，則f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，則方程f（x）﹣f′（x）=e的解可轉化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣1＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在區(qū)間為（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在區(qū)間為（1，2），故選：A．7.已知函數(shù)，則

A．

B．9

C．

D．-9參考答案：A略8.若（x++1）n的展開式中各項的系數(shù)之和為81，則分別在區(qū)間[0，π]和[0，]內任取兩個實數(shù)x，y，滿足y＞sinx的概率為（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．參考答案：B【考點】二項式系數(shù)的性質．【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式，求出對應事件對應的平面區(qū)域的面積，進行求解即可【解答】解：由題意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出對應的圖象如圖所示：則此時對應的面積S=π×1=π，滿足y≥sinx的點構成區(qū)域的面積為：S=sinxdx=﹣cosx|=﹣cosπ+cos0=2，則滿足y＞sinx的概率為．9.函數(shù)的圖象過定點（

）A．（1，2）

B．（2，1）

C．（-2，1）

D．（-1，1）參考答案：D10.函數(shù)f（x）=log|x|，g（x）=－x2+2，則f（x）·g（x）的圖象只可能是(

)

【解析】因為函數(shù)都為偶函數(shù)，所以也為偶函數(shù)，所以圖象關于軸對稱，排除A,D,，當時，，排除B,選C.參考答案：因為函數(shù)都為偶函數(shù)，所以也為偶函數(shù)，所以圖象關于軸對稱，排除A,D,，當時，，排除B,選C.【答案】C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值是________________.參考答案：2略12.已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集為（﹣1，2），則實數(shù)t的值為．（寫過程）參考答案：﹣1【考點】函數(shù)的圖象．【專題】應用題；函數(shù)思想；數(shù)形結合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)圖象的平移即可得到t的值．【解答】解：由圖象可知，﹣2＜f（x）＜4的解集為（0，3），不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集為（﹣1，2），∴y=f（x+t）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移1個單位得到的，∴t=﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查了圖象的平移和圖象的識別，屬于基礎題．13.已知,·=-2，則與的夾角為

.參考答案：14.過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線的傾斜角的范圍是

．參考答案：

15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=，且對于任意正整數(shù)m，n都有an+m=an?am．若Sn＜a對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)a的最小值是．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由am+n=am?an，令m等于1化簡后，由等比數(shù)列的定義確定此數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出Sn，利用極限思想和條件求出滿足條件a的范圍，再求出a的最小值．【解答】解：由題意得，對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=am?an，令m=1，得到an+1=a1?an，所以=a1=，則數(shù)列{an}是首項、公比都為的等比數(shù)列，所以Sn==＜，因為Sn＜a對任意n∈N*恒成立，所以a≥，則實數(shù)a的最小值是，故答案為：．16.函數(shù)y=Asin（wx+j)(w>0，，x?R)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為

.參考答案：略17.(不等式選講選做題)不等式的解集是

（用區(qū)間表示）。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2014?廈門二模）自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A﹣C﹣D﹣B，乙線路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段，假設這三條路段堵車與否相互獨立，這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示．表1：CD段EF段GH段堵車概率xy平均堵車時間（單位：小時）a21經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，堵車概率x在（，1）上變化，y在（0，）上變化．在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路政局為了估計CD段平均堵車時間，調查了100名走甲線路的司機，得到表2數(shù)據(jù)．表2：堵車時間（單位：小時）頻數(shù)[0，1]8（1，2]6（2，3]38（3，4]24（4，5]24（Ⅰ）求CD段平均堵車時間a的值；（Ⅱ）若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．參考答案：【考點】：幾何概型；相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】：綜合題；概率與統(tǒng)計．【分析】：（Ⅰ）利用組中值，可求CD段平均堵車時間a的值；（Ⅱ）求出走乙路線花汽油費的數(shù)學期望是40y+550元，可得選擇走甲線路應滿足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面積之比，求出選擇走甲線路的概率．解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油費的數(shù)學期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油費的數(shù)學期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵車與否相互獨立，∴走乙路線多花汽油費的數(shù)學期望是40y+5元，∴走乙路線花汽油費的數(shù)學期望是40y+550元，∴選擇走甲線路應滿足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上變化，y在（0，）上變化，∴選擇走甲線路的概率為=【點評】：本題考查概率的計算，考查面積的計算，屬于中檔題．19.設數(shù)列與滿足：對任意，都有，．其中為數(shù)列的前項和．（1）當時，求數(shù)列與的通項公式；（2）當時，求數(shù)列的前項和．參考答案：解：由題意知，且兩式相減得即

①

（2分）（1）當時，由①知于是

又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．故知，，

（4分）再由，得．

（2分）另解：

（2分）是首項為，公差為的等差數(shù)列，

（4分）

（2分）

（2）當時，由①得

（2分）若，

（1分）若，，

（1分）若，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，

（2分）時，符合上式所以，當時，

（2分）當時，

（1分）

另解：當時，

（1分）當時，

（2分）若，

（1分）若，兩邊同除以得令，即由得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，當時，

略20.（本小題滿分14分）設函數(shù)．（I）試討論函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的單調性;（II）求最小的實數(shù)，使得對任意及任意實數(shù)，恒成立．參考答案：解：（1）∵函數(shù)，∴f′（x）=3x2﹣t．。。。1分1°若t≤0，則f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上單調遞增；。。。。。2分2°若t≥3時，∵3x2≤3，∴f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上單調遞減；。3分3°若0＜t＜3，則，令f′（x）=0，解得，當時，f′（x）＜0，∴f（x）在上單調遞減；當時，f′（x）＞0，∴f（x）在上單調遞增．。。。。。6分（2）?，因此，只需求出當x∈[0，1]，t∈R時，的最小值即可．。。。。。。。。。。。。。。。。。7分【方法一】：令g（x）=f（x）+，x∈[0，1]，而g′（x）=f′（x），由（1）的結論可知：當t≤0或t≥3時，則g（x）在[0，1]上單調，故g（x）min=min{g（0），g（1）}=min{，}=0．當0＜t＜3時，則=﹣．∴h（t）=．。。。。。。。。。。10分下面求當t∈R時，關于t的函數(shù)h（t）的最小值．當t∈（0，1）時，h（t）=在（0，1）上單調遞減；當1＜t＜3時，h（t）=，＞0，∴h（t）在（1，3）上單調遞增．又h（t）在t=1處連續(xù)，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=﹣．。。12分綜上可知：當t∈[0，1]且t∈R時，的最小值為，即得h的最小值為﹣m=．

。。。。。。。。。。。。14分【方法二】：對于給定的x∈[0，1]，求關于t的函數(shù)（t∈R），ks5ug（t）=f（x）+=﹣xt++x3=的最小值．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分由于﹣x≤0，當t∈（﹣∞，1）時，g′（t）≤0；由于1﹣x≥0，故當t∈（1，+∞）時，g′（t）≥0．考慮到g（t）在t=1處連續(xù)，∴g（t）的最小值h（x）=x3﹣x．.。。。。10分下面再求關于x的函數(shù)h（x）=x3﹣x在x∈[0，1]時的最小值．h′（x）=3x2﹣1，令h′（x）=0，解得．當時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在此區(qū)間上單調遞減；當時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在此區(qū)間上單調遞增．故h（x）的最小值為．。。。。。。。。。。12分綜上可得：當x∈（0，1）時，且t∈R.的最小值m=﹣，即得h的最小值為﹣m=．。。。。。。。。。。。。。。。14分21.（本題13分）某企業(yè)為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，新上了一項把二氧化碳處理