二元函數(shù)微積分學初教案

教師教案

教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2

第周星期第節(jié)授課方法引導式

章節(jié)、課題第12章二元函數(shù)微積分學初步12.1二元函數(shù)的概念

目

的

要1、掌握平面點集和區(qū)域、鄰域等概念

求2、掌握二元函數(shù)的概念及求定義域

”

孜

學

重

點二元函數(shù)的概念

教

學

難

點區(qū)域、鄰域等概念

教

具常規(guī)教學

一

々

題

或

實習題12-1(2)

驗

課

后

記

錄通過與一元函數(shù)的比較、聯(lián)系，較好地掌握了二元函數(shù)的概念。

共頁

前言：在前面的章節(jié)中，我們討論的是一元函數(shù)的有關性質(zhì)、應用等；一元函數(shù)描述的

僅僅是?個變量與另一個變量之間的對應關系。但是在許多實際問題中，常常會遇到描述多

個變量與一個變量之間的對應關系的問題，反映到數(shù)學上，就是多元函數(shù)。一元函數(shù)的多數(shù)

概念和理論都能夠相應地推廣到多元函數(shù)上來，因此，本章將在一元函數(shù)微分學的基礎H,

著重討論二元函數(shù)微分學的概念、計算方法及某些應用。

7.1多元函數(shù)

7.1.1平面點集和區(qū)域

1.平面點集

是指平面上滿足某個條件P的一切點構成的集合

例1平面上以原點為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個平面點集(圖7-1),它可以寫

成八

E={(x,y)\x2+y2<1}

有平面解析幾何知道，平面上的兩個點4(當，乃)、--------------------->

\/

B(X2,乃)之間的距離P(A,B)是用公式

(圖7-1)

p(A,B)=/陽—/I+(%-力尸計算的，有了距離公式，我們也可以引入平面上某

點的鄰域的概念。

2.鄰域

以點與。0，打)為中心，以6〉0為半徑的圓的內(nèi)部點的全體，即集合

22

{(x,y)I^x-x0)+(y-y0)<J}叫做點用(%,%)的8鄰域，并稱點Po為鄰域的中心

5為鄰域的半徑。(圖7-2)

A

(圖7-2)

有了鄰域的概念，就可以定義點集的內(nèi)點、外點及界點。

3.(1)內(nèi)點

設有點集E和屬于E的一點玲，如果有點外的一個鄰域，此鄰域內(nèi)的點都屬于E,則

稱不為點集E的內(nèi)點

(2)外點

設有點集E和不屬于E的一點鳥，如果存在外的?個鄰域，此鄰域內(nèi)的點都不屬于E,

則稱點■為點集E的外點

(3)界《

設有點集E和一點不，4可屬于E,也可以不屬于E,如果與的任何一個鄰域內(nèi)既有

屬于E的點又有不屬于E的點，則稱A為點集E的界點，點集E的界點的全體，稱為點集E

的邊界。

例2平面點集后={。,角144，+/〈16},則/+;/=4與x2+V=16所圍成

的圓環(huán)的內(nèi)部是E的內(nèi)點，小圓內(nèi)部及大圓外部的點是E的外點，圓周x?+y2=4與

》2+丁=16都是E的邊界點(如圖7-6)

4.(1)開集

如果一個點集E的每一個點都是內(nèi)點，則稱它為開集。

(2)開區(qū)域

如果對于開集E中任意兩點6、鳥都有七中的折線把這兩點連結起來，則稱這樣的開

集稱為開區(qū)域(如圖7-7)

(3)閉區(qū)域

開區(qū)域E加上E的邊界，稱為閉區(qū)域(如圖7-8)。開區(qū)域與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域。

(4)有界區(qū)域、無界區(qū)域

如果區(qū)域E可以包含在以原點為中心的某一個圓內(nèi)，則稱它為有界區(qū)域，否則，就稱為

無界區(qū)域。

例3平面點集耳={(X,)，)|/+y24]}是有界區(qū)域，而平面點集

弓={(X,y)lx2+/>]}是無界區(qū)域。

（圖7-7）

（圖7-6）

7.1.2二元函數(shù)的概念

定義：設有三個變量x,y,z如果當變量x,y在一定的平面區(qū)域范圍。內(nèi)任意取定-

組數(shù)值時，變量Z按照某種特定的對應關系/，總有唯一的確定的值與之對應，則稱變量Z是

的二元函數(shù)，記為：

Z=/(x,y),其中x,y稱為自變量，z稱為因變量。自變量x,y的取值范圍。稱為函

數(shù)的定義域，因變量z的取值范圍稱為函數(shù)的值域。

二元函數(shù)在點(%,y0)的對應的z的值稱為二元函數(shù)點(%,%)的函數(shù)值，記為：

/(Xo，y。)，ZE?；?/p>

尸川

例7設z=+ln(x+y),求z|

(1.1)

1

解:z(1.D7Fln(l+1)=In2

類似地，可以定義三元函數(shù)〃=y,z)以及〃元函數(shù)y=/(七，》2，》3…x“)，二元

及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

同一元函數(shù)一樣，定義域和對應規(guī)則是二元函數(shù)的兩個要素。如果在寫函數(shù)時沒有注明

函數(shù)的定義域，那么，二元函數(shù)的定義域仍然是指使函數(shù)有意義的一切點組成的平面點集。

下面列舉幾個二元函數(shù)的例子，討論它們的定義域。

例8求下列函數(shù)的定義域。，并化出。的圖形：

11,,

(1)z=^----Z-⑵1=[-----,+ln(x"+"-2)

x-+^^9-x2-y2

(3)=arcsin—+arcsin—

54

解：(1)因為要使函數(shù)z=r■^有意義，應有：

x+y

x2+y20這就是函數(shù)的定義域，即在平面上除去原點(0,0)外的部分，或表示為

￡)={(%,y)\x2+y2^0}(如圖7-10)

A

----------------T--------------------?

(07-10)

(2)要使函數(shù)z==1+2(1+V2-2)有意義,須使:

^-x2-y2

9—r2—v~>0

,,"，即4<一+)/<9,所以函數(shù)z的定義域為:

22

X+y-4>0'

—54x45

D={(x,y)H}(如圖7-12)

-4<y<4

在討論一元函數(shù)時，由于建立了函數(shù)與平面曲線之間的聯(lián)系，使我們能夠比較直觀地討

論?些問題，現(xiàn)在考察二元函數(shù)的圖形，由于二元函數(shù)有三個變量，所以平面直角坐標系是

不夠用的，而需要空間直角坐標系才能表示出函數(shù)z=/(x,y)的圖形。

設函數(shù)z=/(x,y)的圖在平面區(qū)域。上有定義，Ox”為空間直角坐標系。在區(qū)域。內(nèi)

任取一點M(x,y),求出相應的函數(shù)值z，于是得到空間直角坐標系中的一點尸(x,y,z)，(如

圖7-13所示)。當點M跑定義域。時，對應的點P(x,y,z)的軌跡一般來說就構成空間的一

個曲面。這就是說，對于二元函數(shù)，它的幾何圖形可以用空間坐標系中的一個曲面來表示，

而定義域。恰好就是這個曲面在xOy平面上的投影。因此有時也把z=/(x,y)叫做曲面方

程。

小結：1、平面點集和區(qū)域、鄰域等概念

2、二元函數(shù)的概念

作業(yè):習題12-1(2)

教師教案

教師:課程：數(shù)學班級:教學時數(shù)：2

第周星期第節(jié)授課方法講授

章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.1二元函數(shù)的概念

”

的1、掌握二元函數(shù)的極限的概念

.要

2.理解二重極限和二次極限區(qū)別

求

3.掌握二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)

以

孜

學

重

點二元函數(shù)的極限的概念

教

學

難

點二重極限和二次極限區(qū)別

教

具常規(guī)教學

一

々

題

或

實習題12-1(3,4)

驗

課

后

記聯(lián)系一?元函數(shù)的極限的求法，求某些二元函數(shù)的極限。

錄

共頁

復習：1、平面點集和區(qū)域、鄰域等概念

2、二元函數(shù)的概念

一、二元函數(shù)的極限

定義：設函數(shù)z=/(x,y)在點/^(與，凡)的某一鄰域內(nèi)有定義,P(x,y)該鄰域內(nèi)異于

尸0的任意一點，如果點尸以任何方式趨近于4時，函數(shù)的對應值/(x,y)趨近于一個確定的常

數(shù)A，則稱A是函數(shù)z=/(x,y)當x-X。,yfy0時的極限(又稱二重極限)，記作

lim/(x,y)=A或4(xf/，y->打)

y->.vo

這里應該注意，/(x,y)趨近于4(%,凡)是指點尸與點外的距離趨于零，如果記：

22

p(P,PJ=^x-x0)+(y-y0)因而p(P,不)-0也與|x-/I-°，N一汽I-0等價。

，2

例1設/(X,y)=<犬+12x，y不同時為0求證：則/(%,y)=。

八八yt°

0x=y=0

證因為

2,2

|/(x,y)-o|=仝0=/-W-W+N

九十y%十y

所以，當x和y趨近于0時，必有/(x,y)趨近于0,故得1皿/(%，>)=0

)T0

例2設/(九,y)=(x+y)sin'sinL求證lim/(x,y)=0

xyJ^o

證因為

|/(x,y)-o|=|x+y|sin-sin-<|x|+|y|,

xy

所以當x和y都趨近于0時，必有/(x,y)趨近于0,故得1蛆/(x,y)=0

y->0

例3設/(x,y)=4x+y,求證1ml/(%,〉)=6。

-2

證因為

\f(x,y)-6|=|4x+y-6|=|(4x-4)+y-2|<4|x-l|+|y-2|.

所以，當xrl,y-2時，必有/(x,y)趨近于6,故得叫/(%，>')=6

需要注意的是在二元函數(shù)得極限定義中，點P必須以任何方式趨向于玲，例如可以沿任何

直線，也可以沿任何曲線趨于鳥，而f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)A。對一元函數(shù)極限

來說，P僅需沿著X軸趨向于庶而對于二元函數(shù)，如果產(chǎn)沿不同的方向或路線趨近于幾時,

所得的極限值不同，那么二重極限也就不存在。

盯x,y不同時為0

例4/(x,y)=?Y*,2x=y=0

o-

當點P沿直線y=mx趨近于原點(0,0)時，有

，/、x-mxmx2m

J(X,>')=----------=-------~--?-------，

x-+(mx)27(\+m~)x~\+m-

因此，沿直線y=mx趨近于原點(0,0)時，/(x,y)趨近于一個與m有關的常數(shù)，它

隨直線的斜率m的變化而不同，所以二重極限中R/(x,y)不存在.

yt0

二.二重極限和二次極限

對二元函數(shù)還有一種極限，其自變量x與y是先后相繼地趨于各自極限X。和外，這種極

限叫做二次極限，它不同于二重極限，但與二重極限有著密切的關系。

定義：對二元函數(shù)先將y固定，視/(x,y)為x的函數(shù)，再求xf/的極限，得

極限函數(shù)F(y),然后令yf打，若有極限A,則這個極限就稱為二次極限，記為

limlimf(x,y)=A,

類似地可定義另一二次極限limlimf(x,y)=B

XT%)T)，o

由上述定義可知，二次極限limlim/(x,y)=A和limlim/(x,y)=B的特點是X、y

0XTX。D'o

分先后變化且相繼趨于各自的極限與、因而/(x,y)在先后相繼二次求極限的過程中都

只是一個一元函數(shù)。

27

例5求*導

2

副iim1而xy+xy~_y—廠_2-2__

解一f"=lim=—2。

對于二次極限，應注意以下幾點：

1)在求極限過程中，不能隨便變換求極限的次序,否則可能要造成錯誤。

222

limlim%一)'+廠+)'_limX+r_lim

例6x-^0y->0,-x->0-x->0(1+%)=1。

-x+yx

222

limlimx-y+x-+y-_lim-yy_lim

但=〉70=)TOg)=—1

y

2222

/lim同J—,+廠+丁limlim-―一+?+/

故xTOy->0￥T()XTO

)x+yx+y

例7已知f(x,y)=ysin,(xw0)

x

lim，im“無丫)-"111"01VSiJ一.0-0

八兒"一sO)T)-gOU—”

JC

limHm*,、lim"m.1

FD」(羽)')=TDVsm；不存在。

2)二重極限與二次極限關系較為復雜，一般不能由一種極限的存在去斷定另一種極限是否存

在。

例8函數(shù)y)=—的兩個二次極限均存在:

f(x,/+y2

lim；"mXy_limQ_Qlim；1而I'_lim

Dy—2?2~x-^0U―U=)T00=0

x+y

但這個函數(shù)在(o,o)點的二重極限不存在

例12設/(x,y)=ysin，(xw0)。由于ysin—<|y|<|x|+|y|

所以當xf0,y30時，必有/(x,y)趨近于0,故二重極限為limysin工=0。

XT01

yfO

但由例112討論知道二次極限：：%二ysin-=0,20二ysin-不存在

不過，在一定的條件下，二重極限和二次極限還是有密切聯(lián)系的，這就是下面的定理:

定理若/(x,y)的二重極限存在：!蚪/,(%，>)=A

)f0

且對任一y,存在關于x的單重極限F(y)=iX0/(X，y)

則二次極限

2如)￡二/樂，)存在且等于二重極限。即

?/(%，，)=*,二，(x，y)=A

y->yo

在上述定理中，只要把條件”對任-y,存在關于x得單重極限/(，)=lim/(x,y)，，改成:

“對任一x,存在關于y的單重極限夕(％)=詈)，0/(%,y)”，則有

lim

/(%，，)=；黑二ja，y)=A。

yfo

上述定理結論表明，只要二重極限存在，并且能夠求出相應的二重極限，則二重極限就

等于這個二次極限，這就是說，我們可以求二重極限的問題轉(zhuǎn)化為計算二次極限的問題。

lim2

例22求?停xy

解在例前面例題中，我們己經(jīng)證明這個二重極限是存在的，而關于變量x(或y)的單重極限

明顯存在，故可把二重極限化為二次極限來計算，

lim2yx2v

1)-5~x~r=limlim,<=limO=O

晨/+y2%2+y2)_o

例23求lim(4x+y)。

Xf1

>'->2

解在例14中已證明這個二重極限存在，且關于變量y(或x)的單重極限明顯也是存在的,

故

lim(4x+y)=limlim(4x+y)=lim(4x+2)=6

Xf1X->13T2XTl

y—2

三.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)

有了函數(shù)極限的概念，很容易建立函數(shù)連續(xù)性的概念。

定義：設函數(shù)/(x,y)在點Mo(xo，y°)及其附近有定義，且

lim/(x,y)=f(x,y)則稱函數(shù)/(x,y)在點(%,%)連續(xù)。

X—>工000

)f0

例24討論函數(shù)

x-%v不同為o

/(x，y)=/+2在原點的連續(xù)性。

0"x=y=O

解在例15中已證lim/(x,y)=O又/(0,0)=0,故lim/(x,y)=/(0,0),

x->0X->0

yfOy->0

因此，函數(shù)/(x,y)在原點連接。

定義：如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上每一點都連續(xù)，則稱它在區(qū)域D上連續(xù)

多元連續(xù)函數(shù)也有與一元連續(xù)函數(shù)類似的性質(zhì)，這里我們不加證明把多元連續(xù)函數(shù)在有

界閉區(qū)域上的性質(zhì)敘述如下：

最大最小值定理若函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且它取到兩個不同的函數(shù)值,

則它一定能取到這兩個函數(shù)值之間的一切值。

推論(零點存在定理)函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且它取到的兩不同函數(shù)

值中，一個大于零，另一個小于零，則至少存在一點使/e，y)=O。

有界性定理若函數(shù)/(x,y)在有界閉區(qū)域D卜一連續(xù)，則它在D上有界。

小結：一、二元函數(shù)的極限

二重極限和二次極限

三.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)

作業(yè)：習題12-1(3,4)

教師教案

教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2

第周星期第節(jié)授課方法講授與自主學習結合

章節(jié)、課題

第九章二元函數(shù)微積分學初步12.2偏導數(shù)

目

的1、掌握偏導數(shù)的概念

要2、會求函數(shù)的偏導數(shù)

求

3、理解偏導數(shù)的幾何意義

.

雙

學

重

點會求函數(shù)的偏導數(shù)

教

學

難

點求函數(shù)的偏導數(shù)

教

具常規(guī)教學

L

刁

題

或

實習題12-2(2)

驗

課

后

記

學生學習積極性較高，氣氛活躍。

錄

共頁

復習：1、二元函數(shù)的極限

2.二重極限和二次極限

3.二元連續(xù)函數(shù)的概念及其在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)

前言：在一元函數(shù)微分學中，我們已經(jīng)知道，函數(shù)y=/(x)的導數(shù)(變化率)是研究函數(shù)的

重要工具，它是?個十分重要的概念。多元函數(shù)也具有類似的概念。如果將多元函數(shù)除某個

自變量外，其余的自變量都看作常數(shù)，則多元函數(shù)就成為關于該自變量的一元函數(shù)，它的導

數(shù)，就是所謂的多元函數(shù)關于該自變量的偏導數(shù)問題。

1、偏導數(shù)的概念

定義：設函數(shù)z=/（x,y）在點P（x（）,yo）的某個鄰域內(nèi)有定義，當y固定在先而尤在X。

處給一個增量Ax時（其中點（孔,與+?）在鄰域內(nèi)），相應地有函數(shù)關于x的增量（我們

稱其為關于x的偏增量）

△/=/（苫0+-,），0）-/（%0，汽）。

A7

如果當Arf0時，式子上的極限存在，即:

△%

若lim2=lim"/+?，兒-o）存在，則稱此極限是函數(shù)2=/（x,y）

AxAx

在點「（與,打）處對x的偏導數(shù)，記作：

■E?；蚍‥。'或人（無。廣。）或JE。

y=）b>-Jo>'=>o

類似地，將X固定在％,而在先處給一個增量△）'時，相應地有函數(shù)關于y的增量

△、之=/（/，%+△）'）—/（》0，>0）

若極限lim2=lim%+義二"X。，光）存在,

則稱此極限是函數(shù)

△.ioAyA.\TOAy

z=/（x,y）在點P（XO，M））處對y的偏導數(shù)，記作：

及個守-ff（t

了'x=x0或3x=x0，或%（%0，>0）或7工

>y=>'o'>->'o）'=>'o

如果函數(shù)1=/（x,y）在區(qū)域。內(nèi)每一點（x,y）處都存在偏導數(shù)人（x,y）、fy（x,y）,則這兩

個偏導數(shù)本身也是定義在區(qū)域。上的函數(shù)，故稱它們?yōu)楹瘮?shù)z=/（x,y）的偏導函數(shù)，簡稱為

偏導數(shù)，記作：

次tOf

—或—?Z.r或L（x,y）

dxdx

dzdf—,，、

加或-;z-）

偏導數(shù)的概念可以推廣到二元函數(shù)以上的多元函數(shù)，我們不再一一贅述。

2、偏導數(shù)的求法

由偏導數(shù)的定義可知，求多元函數(shù)對某一個自變量的偏導數(shù)時，只需將其它自變量看成

常數(shù)，用一元函數(shù)求導法則即可求出。因而，求多元函數(shù)的偏導數(shù)可以按照一元函數(shù)的求導

法則和求導公式進行。

例1求2=爐>2+了+2>+1的偏導數(shù)生，—。

dxoy

解：對x求偏導數(shù)，把y看成常數(shù)，得出=2盯2+1；

對y求偏導數(shù)，把x看成常數(shù)，得出=2x^+2o

例2求z=ln'的偏導數(shù)生，孚。

xdxoy

解：生=土.（_義）=__1（把y看成常數(shù)）

dxyxx

-（把X看成常數(shù)）

oyyxy

例3設〃=+y2+42,求證:

（即+第+軟=1

證明:■-=----(r+V*+Z)'=-......=—

Sx2-yJx2+y2+z2A2舊+y2+名2?

同理，得包=-1,*2+y2+z2)；=2y:=2

22211

辦2次+y2+222ylx+y+z

—=~,—(%-+y+zY=—,"—=—

&2、x2+/+z2z2-Jx2+y2+z2u

代入等式左邊，得：

2222

x+y+z巴_=1.

uu2

所以，有:

,8U.,du、2月〃、2i

(—)~2+(—>+(—y=1

dxdydz

例4以知理想氣體的氣態(tài)方程為PV=R7(R是不為0的常數(shù))，證明

3PV

-

5T而

一--

3Vr

依V

一

有

由

證明=RT

V-

V2，

Rav

V有R

=?PT——?

Fav-?

VP

P

有ar

仃V

-------o

/?R

丁曰dPdVSTRTRVRT1

-卜,---?---?---=-a-p-------?--=-------=—]

dVdTdPV2PRPV

這個例子說明：偏導數(shù)生，當?shù)挠浱柺且粋€整體，不能看成是為與小或為與辦的商。

dxoy

?-_____.X2+y2W0.

例5設g(x,y)=<%?+V''求g；(0,0),g；(0,0)。

0;x2+y2=0;

解g'x(0,0)=lim8⑴+心，。?」，。)=lim=o,

AsOAxAiOAx

同理可求得：g；(0,0)=0。于是函數(shù)g(x,y)在點(0,0)處存在兩個偏導數(shù)。但是，

當函數(shù)沿著直線y=x向點(0,0)靠近時，有l(wèi)img(x,y)=lim，=.Hg(0,0),所以

XT0X+V2

y->0y->0

函數(shù)在點(0,0)處不連續(xù)，本例說明：多元函數(shù)的偏導數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點連

續(xù)，這與一元函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別。

3、偏導數(shù)的幾何意義

二元函數(shù)z=/(x,y)在點尸(與，打)處有著明顯的幾何意義：在空間直角坐標系中，設

二元函數(shù)2=/(x,y)的圖象是一個曲面S,則函數(shù)z=/(x,y)在點P(xo，y0)處關于x的偏

A

導數(shù)f；(x0,%)實際上就是一元函數(shù)z=f(x,y0)

在x0處的導數(shù)。z=/(x,y0)的幾何圖象是曲面S

與平面y=y0相交的曲線。于是八'(/，打)就是

Z=f(1y)

曲線—J在點(%,%,/(%,打)處的切線的斜率。

y=%

7—f(xy)

(如圖7-17)。同理，偏導數(shù)/；(%,%)就是《在點(Xo，y0，/(%，凡)的切線的斜

X=X,.

率。

小結：1、偏導數(shù)的概念

2、偏導數(shù)的求法

3、偏導數(shù)的幾何意義

作業(yè)：習題12-2(2)

教師教蜜

教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2

第周星期第節(jié)授課方法講授與練習結合

章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.2偏導數(shù)

目

的

要

求掌握高階偏導數(shù)的定義及求法

以

學

重

點高階偏導數(shù)的定義及求法

教

學

難

點高階偏導數(shù)的定義及求法

教

具常規(guī)教學

」

々

題

或

實

驗習題12-2(4)

課

后

記

錄進一步熟練高階偏導數(shù)的求法。

共頁

前言：1、偏導數(shù)的概念

2、偏導數(shù)的求法

3、偏導數(shù)的幾何意義

高階偏導數(shù)

函數(shù)Z=/(x,y)的偏導數(shù)竽=4(X,y),竽=f；(x,y)

oxdy

一般來說仍然是x,y的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)關于x,y的偏導數(shù)也存在，則稱它們的偏

導數(shù)為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)

依照對變量不同的求導次序，二階偏導數(shù)有下列四個：

三工=￡匕=-=A*(%，)')=z.a

\dxJdx\dx)dx

dzd(dz梟一)Y

dx)'dy(dx

生d_dz

SxlSy4(x,y)=z]

6dydx

及、_d_(包、

fyy(X,y)=Z；),

6,Sy2

其中北(x,y)與f"x3y)稱為二階混合偏導數(shù)。

類似地，可以定義三階，四階……n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導

數(shù)。而/；(%,y)與f；(x,y)稱為Z=f(x,y)的一階偏導數(shù)。

例6求函數(shù)2=3/>3+4]1盯+7的二階偏導數(shù)。

AT.&/3Sz八2)

解：一=6xy+ycosxy,—=9xy+xcos孫

dxdy

Sz/3\?：32,

—二—(6xy,+ycosAy)=-ysinxy;

dxdx

a~ze“3、102.

----=—(6xy4-ycosxy)=ISxy+cosxy-xysin盯;

dxdydy

g22Q

y二一(9x2y2+xycosxy)=18xy2+cosxy-xysinxy\

dydxdx

=—(9x2y2+xcosxy)=I8xy+cosxy-x2sinxy\

dy^dy

上例中兩個二階混合導數(shù)相等，即

d2z_d2z

dxdydydx

#2o2

—二=_A不是偶然的，事實上，二階混合偏導數(shù)在在連續(xù)的條件下，與求導次序無

dxdydydx

關。于是我們得到如下的定理：

定理：設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域。內(nèi)連續(xù)，并且存在一階偏導數(shù)及二階混合偏導數(shù)

與/。*,y)，如果在某點(Xo，)'o)e。，這兩個混合偏導數(shù)連續(xù)，則必有:

d2zd2

例7設z=arctan—,試求

xdxdy，dydx

dz_1-y_y

解

222

dx(y丫xx+y

-d--z---------1--------1-=---------y-

d2zd.yx2+y2-y-2yy2-x2

__________I__________I---_________________________________?

dxdydyx1+y2(x2+y2)2(x2+y2)2'

x2+y2-x-2x_y2-x2

(r+y2)2=(F+)，2)2

dxdy

d2d2z

例8驗證函數(shù)z=In62+y2滿足方程—z+*=0。

dx2dy2

證Z=ln(x2+y2)；

dz_12x_xd2z_x2+y2-x-2x_y2-x2

dx2x2+y2x2+y2?dx2(x2+y2)2(x2+y2)2

dz_12yyd2z_x2+y2-y-2y_x2-y2

&c~2~x2+y2-產(chǎn)獷一―—(x2+y2)2-(x2+y2)2

d2zd2zy2-x2x2-y2

-----------1---------------—：-------------------H-------------------：

&2?2(1+),2)2(r+/)2

小結：高階偏導數(shù)

作業(yè):習題12-2(5)

教師教案

教師：課程：數(shù)學班級：教學時數(shù)：2

第周星期第節(jié)授課方法講授與練習結合

章節(jié)、課題第九章二元函數(shù)微積分學初步12.3全微分

目1、掌握全微分的概念，會求全微分

的

要2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系

求3、理解可微的充分條件

4、掌握全微分在近似計算中的應用

如

私

學

重

點全微分的概念及全微分求法

教

學

難

點全微分的概念，全微分在近似計算中的應用。

教

具常規(guī)教學

「

刁

題

或

實

驗習題12-3(5)

課

后

記

錄進一步理解微分概念，加強應用。

共頁

前言：我們已知，一元函數(shù)y=/(x)在點x=x0處可微分，是指如果函數(shù)在x=x0處

的增量Ay可以表示成Ay=AAx+o(Ax)

其中。(Ar)是Ar的高階無窮小，即lim四電=°，那么4醺函數(shù)y=/(幻在x=%的微

Av->oAr

分，記為：dy=f\x0)dx

1、全微分的概念

如果二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x。,％)處的全增量加可以表示為：

Az=AAx++o(p)

其中A,B與Ax,Ay無關，。(p)是/?=)(Ar)2+(1)2的高階無窮小,即“JJ1T=。，

則稱二元函數(shù)z=/(x,y)在點(x。,%)處可微分，其中AAr+BAy稱為函數(shù)％=/(x,y)在

點(入0，%)處的全微分，記為以，即dz=AAx+BAy。

如果函數(shù)z=/(x,y)在點(x0,y0)處存在全微分以=AAr+BAy。那么A=?與8=?

呢？下面的定理回答了這個問題：

定理如果函數(shù)名=/(x,y)在點(%0，＞0)處可微，則函數(shù)z=/(x,y)在點(/，川,)處的偏導

數(shù)目，母存在而且A=乳一,*=*

dxdydx]^0)dy,、

JJ(而為)

證明因為函數(shù)z=/(x,y)在點(而，打)處可微，所以其全增量可以表示為：

△z=AAx+BAy+o(0)

其中，A,B與Ax,Ay無關，=

0P

上式對任意的Ar,Ay都成立，則當Ay=0時也成立，這時全增量轉(zhuǎn)化偏增量

A.VZ=f(x0+△%,%)一/(x0,y0)=AAx+o(p),而「=|Ax|

兩端同除以Ar得上=A+您，

ArAx

因而lim等=limS+=A+lim^^=人

AYTOAr->0-TO

八&

即H|I：A=—

dx(與外)

Qz

同理可證8=，由此可知，當z=/(x,y)在點(XO，M))處可微時，必有

dx(均為)

,dz\A,dz.

dy("叫)>

像一元函數(shù)一樣，規(guī)定Ax=dx,Ay=dy則dz=副(/)，。),公+寺dy

,)"0%)

如果函數(shù)z=/(x,y)在區(qū)域O內(nèi)每一點都可微，則稱函數(shù)2=/(x,y)在區(qū)域。內(nèi)可微。

2、函數(shù)在某一點處可微與連續(xù)關系

定理：如果函數(shù)z=/(x,y)在點(與，打)處可微，則函數(shù)z=/(x,y)在點。0，%))處連續(xù)。

證明由函數(shù)z=/(x,y)在點(/，打)處可微，可得Az=4Ax+BAy+o(p),其中

V0（p）

UIPK=0

所以limAz=Hm（A頷+8Ay）+]im°（p）=。

Ax—>0AxfO〃f0

Ay->0AyTO

即：函數(shù)z=/（x,y）在點（豌）,光）處連續(xù)

定理也告訴我們，如果z=/。川）在點（%,打）處不連續(xù)，則/（x,y）在（xo，%）處不可微。

一元函數(shù)中，可微與可導是等價的，但在多元函數(shù)里，這個結論并不成立，例如：由第

二節(jié)的例子知道ga,/）={/+），2’,在點（0,0）處的兩個偏導數(shù)存在，但是

0,/+/=0

g（x,y）在點（0,0）處不連續(xù)，由定理可知g（x,y）在點（0,0）處不可微，因此兩個偏導

數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件，那么，全微分存在的充分條件是什么呢？

3、可微的充分條件

定理（可微的充分條件）如果函數(shù)z=/（x,y）在點魚0，打）的某一領域內(nèi)偏導數(shù)些，竽

oxdy

連續(xù)，則函數(shù)z=/（x,y）在點（%,凡）處可微，（證明略）

常見的二元函數(shù)一般都滿足定理的條件，從而它們都是可微函數(shù)，

二元函數(shù)全微分的概念可以類似地推廣到二元以上函數(shù)，例如三元函數(shù)〃=/（x,y,z）如

果三個偏導數(shù)包包包連續(xù)，則它可微且全微分為

dxdydz

.du.du.du.

du=——公+——ayH---az

dxdy及

例1求函數(shù)z=2在點（2,1）處當Ax=0.1,△），=—（）.1時的全增量與全微分。

X

解：全增量a=上土"一上=以且—4=—0.071。

x4-Axx2+0.12

因為奈心/）=一點|。刀=_；=-0-25,

/j）=H=05

所以全微

=-0.25x0.l+0.5x（-0.1）=-0.075.

例2求函數(shù)z=/，的全微分dz。

解因為

—=2yx2y-',—=2x2y\nx,

dxdy

所以

dz=2yx2y~]dx+2x2yInxdy.

例3求函數(shù)〃=/+sin）+awfg工的全微分

2y

解因為

du.du1yzduy

—二2x,—二一cos-----------,—=-----,

dxdy22y+dzy+z~

所以

du=2xdx+（—cos———■y—）dy+,）、dz.Az

22y2+z2y2+?

4、全微分在近似計算中的應用

由于函數(shù)2=f{x,y）在點（入0，%）處的全微分與全增量之差。（夕）是夕的高階無窮小，

所以當|Ar|、NV很小時，常用全微分dz代替全增量加：

△z?dz,

即

&*f（X。+>0）Ar+f'y（尤o,yo）Ay.（7—1）

所以

/（x0+Ax,y0+^y）-f（x0,y0）

?f（/，>（））—+fx'（/,%）△》，

即

f(xa+Ax,y0+Ay)

-f(x0,y0)+f'x(x0，先)+f'y(X。，>o)?

令x=X。+Ax,y=>o+△》.得函數(shù)值得近似公式：

f(x,y)?f(x0,y0)+f-(x0+y0)-(x-x0)+f'y(x0,y0)-(y-y0)(7—2)

例4計算7(1.01)3+(1.98)3的近似值

解把J(1Ji/+(1.98)3看成是函數(shù)z=J/+y3在%=ioi,y=].98處的值

取%=1,%=2.有

/*。+丫0)=々+23=3.

/?/、3x21

fx(XO，凡)=/33A=l=%，

2m3+y3尸22

3y2

fy(x0，為)=-/aaX=l=2.

2信