電磁場(chǎng)與電磁波課后答案(馮恩信著)西安交通大學(xué)出版社各章答案匯總

習(xí)題

1.1已知N=2￡+3夕-E;：=￡+夕一2￡,求：0/和8的大小(模)：(b)彳和8的單位

矢量：(c)A(d)[x月：(c)/f和8之間的夾角：⑴71在8上的投影.

解：(a)4和8的大小

/=+七：+￡=+3，+1，=VM=3.74

5=|fi|=+B：+B；=-Jl2+12+2-=V6=2.45

(b)A和8的單位矢量

AI

o=_=__(2.v+3y-z)=0.535+0.803--0.26T

.B

b=~=芯(.t+y-2z)=0.408.v+0.408r-0.816z

(c)AB

A-B=AxBt+AyBy+A,B.=2+3+2=7

(d)A^B

xy2

4xQ=4兒3-1=-5.v+3y-z

紋B、1-2

(e)/和夕之間的夾角a

根據(jù)N?占=ABcosa/

AB7

cosa=-----—--—=0.764a=40.19°

AB9.163

⑴4在8上的投影

一AAB7

A-h==2.86

2.45

1.2如果矢聞：4、8和C在同一平面，證明4?(8xC)=0.

證明：設(shè)矢量X、8和C所在平面為個(gè)平面

A=Atx+Ayy

B=Bxx+Byy

e=c/+c.

xyz

尾紇紇紇紇

BKC=BXBy=（G-￡C>+（G-sc）+（q-c*

Cqc

=（B￡「B、C）2

1（月x。=0x（8c-BrCx）zz=0

1.3已知d=￡cosa+jsina、8=￡cos/7-f，sin6和C=?cos/+，sin/7,證明這三個(gè)

矢量都是單位矢地，且三個(gè)矢量是共面的。

證明：

1)三個(gè)矢員都是單位矢fit

//=p|=J/：+A；+力；=Vcos-a+sin-a=1

8=同=JB；+B：+B'=JcoS夕+siri#=1

C=|c|=Jc：+c；+c：=Jcos^尸+sin:夕=I

2)三個(gè)矢用是共而的

xy

BxC=B,8,B=2cos/?sin/5E

C、C,c

A（BKC）-Ox2cos夕sin"=0

1.4A=x+2y-z；B=ax+y-3z,當(dāng)彳時(shí)，求a.

解：當(dāng)1，月時(shí)，AB=O

A?B=a+2+3=0

所以

a=-5

1.5證明三個(gè)矢量X=5￡—5?、8=3￡—73-2和C=-2；-2/-￡形成一個(gè)三角形的三

條邊,并利用矢積求此三角形的而枳.

證明：因?yàn)锳-B=2x+2y+z

A+(-ff)+C=O

所以三個(gè)矢量4、8和C形成一個(gè)三角形

此二.角形的而積為

s=/x同=4445-50=V5-+5:+20:/2=10.6

紇紇B：3-7-1

1.6P點(diǎn)和Q點(diǎn)的位置矢量分別為5￡+12$，+2和23—3$，+2,求從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢

量及其長(zhǎng)度.

解：從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量為

R=rQ-rP-(2x-3y+z)-(5x+12y4-z)=-3x-15y

從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離為

/?=|^|=V32+15:=15.3

1,7求與兩矢量4=4￡-3/+2和8=2￡+3-2都正交的單位矢屬。

解：設(shè)矢12C與西矢是彳=4￡-3?+2和8=2￡+?-2都正交，則

（I）

AC=4CX-3C,+C=0

BC=2CX+C,-C=0（2）

（I）+（2）得6C,-2CV=0->C,=3Ct（3）

得（

（I）+3x（2）10C,-2Cr=0tC:=5CX4）

如果矢量。是整位矢昆，則

c=|c|=Jc：+C；+C；=Jc；+9C：+25C：=I

所以C=,=0.169

Jl+9+25

C,=3C,=0.507

C:=5C,=0.845

C=0.1（?9.r+0.507>?+O.X45z

1.8將直角坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)E（x,y,z）=f，E（xj,z）=y分別用網(wǎng)柱和網(wǎng)球坐標(biāo)系中的

坐標(biāo)分量表示.

解：在圓柱坐標(biāo)系中

cos（psin°0z;cos。sin夕0rcos*

—-sinecos。0產(chǎn)”=-sin夕cos。00=-sin^7

兒001兒00100

K（p,（p,z）=3s（p0-s\n神

COS0sin。o--F,/cos8sin。（fo-sin0

—-sin^9cos研0—一sin0cos^01=cos。

FZ2001FZ200100

F:（p,（p,z）=sin而+cos加

在圓球坐標(biāo)系中

sinOcosesinOsin*cos0TFj

F,,=cosOcos/cusGsin/-sin小J

-sin/COS0olz」

sin。cos。sinOsin(pcos。Tll「sinOcos。

=cosdcoswcos0sincp-sinJ0=cosOcos。

一sin。cos。0]()[[一sing

F,(r,0,<p)=sin0cos(ppJrcosJcosw。-sin<p<p

sinOcos/sin0sin(pCOS0-%-

Fg=COS夕COS0cosOsin0-sin。小

一singCOS00L_F-c-J

sin夕cos。sin6sin0COS0o-sin夕sin(p

=COS〃COS0cosOsin@-sin。1=cosOsine

-sin。cos(p00cos。

F,(r,0,<p)=sir^si而+co9siT^>0+COtp(p

1.9將網(wǎng)柱坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)月（0,夕*）=20,尼仙伊,2）=30用五角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分

量表示.

解：

-sin夕

COSQ⑴

0明

得

1-1

cose—sin夕

%=sin。cos。

A.00

E(x,y,z)=2cos而+2sin好

又因?yàn)?/p>

r9

E(x,y,z)=2p=)-:(xx+yy)

Jx-+尸

一sin伊

cose

0

尸,z)=-3sin而+3cos@

利用(2)式可得

-3

(x,y,z)=3。=i」(xy->x)

Jx+y

i.io將噠球坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)=5"R(八"伊)=b用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分

量:表示.

解:根據(jù)

'A'sinPcosecosOcos。一sin夕

4—sin^sin^cossin^7cose4(1)

_A*..cos。-sin。04.

得

sinOcosQcosOcose一sing55sin8cos°

=sinOsin0cosOsin。COS00=5sin夕sin。

兒cos。-sin。005cos。

R(.V,y,z)=15sin8cos夕+?5sin6sine+￡5cos0

r=rsin0cos^

又因?yàn)閥=rsin0sin(p(2)

z=rcosd

-5

得F(x,y,z)=,-=(xv+yy+zz)

tJx"+z2

戶(hù)=。=0x戶(hù)

r=j?=(xx+vv+zz)

->Jx2+y2+z2

E億=，=0x;

=7二二(xy-詞x-；'(xx+yy+zz)

yjx'+yyjx+y+z'

=J..1?.[-z(x;+/)+xzx+j與]

777/777/77

1.11計(jì)算在回柱坐標(biāo)系中兩點(diǎn)尸(5,乃/6,5)和0(2,n/3,4)之間的距曲。

解：兩點(diǎn)P(5//6,5)和0(2,zr/3.4)之間的距離為

222

d=^l(x]-x2)+(>'1-y2)+(z,-z2)

="7(5XCOSCT/6)-2XCOSCT/3))2+(5xsin(/r/6)-2xsin(.r/3));!+(5-4);

=7(3.33)2+(0.76^+(1)2=V12.69=3.56

1.12空間中同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓柱坐標(biāo)系，4=3方+50-4￡,8=2。+版+3E,

求:(a)/l+8；(b)/x8：(c)/l和8的單位矢屬；(dM和8之間的夾角；(c)/1和8的大

?。孩?在8上的投影。

解：

(a)J+B=(3+2)p+(5+4)0+(-4+3)z-5p+9(p-z

P0P(P2

(b)Jxfi=35-4=31p-17^+2i

Ap44

4,紇,B;23

(c)4=二==/[(ip+5。-42)=—J—(2p+4。+3z)

力V32+524-427.07

-B11

b=—==/(2/+40+3z)=-----(20+毋+3E)

B722+4;+325385

(d)4和8之間的夾角

0-cos_1('B)=cos1(———)=68.40

AB38.077

(cM和8的大小

L+父+代=7.071

8=物+段+8；=5.385

⑴X在8上的投影

A-b=(3p+5(p-4z)^^(2p+4^+3z)=2.6

1.13矢量場(chǎng)中，取圓柱坐標(biāo)系，已知在點(diǎn)P(l,/r/2,2)矢量為4=2戶(hù)+30,在點(diǎn)。(2,1,3)

矢員為8=-3)+102；求:(a)/+8；(b)d(c)4和8之間的夾角.

解：轉(zhuǎn)換到口角坐標(biāo)系

(a)/4B=2y+l0z

(b)A?R=9

A和8之間的夾角

e=cosT(^~^)=cos-1(—^-)=125.7°

AB15.44

1.14計(jì)算在圓球坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P(10H/4,;r/3)和。(2,尸/2,幻之間的距離及從P點(diǎn)到Q

點(diǎn)的距離矢量。

解：根據(jù)圓球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系

x=rsinOcos。

y=rsintfsin^

z=rcQsO

x[=rsin0cos^=10x0.707x0.5=3.535

必=rsin6>sin=10x0,707x0,866=6J22

Z[=rcos^=10x0.707=7.07

x2=，sin〃cos0=2x1x(-l)=-2

y2=rsinOsin=2xlx=0

z2=rcosO=2x0=0

22

d=yl(xt-x2)+(^-y2)+(z,-z2)-

=7(3.535+2)2+(6.122)2+(7.O7)2=10.87

1.15空間中的同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓球坐標(biāo)系，4=39+J+5。，8=29一。+40,

求:⑶A+B；(b)4?B：(c)/和8的單位矢員：(d)/和8之間的夾角:(c)4和8的大

?。孩?在8上的投影.

解：(a)4-8=5戶(hù)+90

(b)A-B=25

(c)/和8的單位矢量

4=-^=(3戶(hù)+日+50)；b=^=(2r-0+4<p)

735歷

(d)4和8之間的夾角

0=cos-,(-^)=cos1(-=—)=22.75°

AB27.11

(c)4和8的大小

/=〃—：=5.92

8=在+比+8：=4.58

⑴4在8上的投影

33=(3戶(hù)+分+5。)(2戶(hù)一1+初=5.455

1.16求/(x,y,z)=x'.Tz的梯度.

吁今+垛+哈

解:3x2y2zx^方+x3y2z

1.17求標(biāo)量場(chǎng)/(x,y,z)=?，+2z?在點(diǎn)(1J1)沿』=〃-2#+￡方向的變化率。

Vf=.￡且+f豆+E旦=嵐+?+4點(diǎn)

解:

&chct

i-.=(xx-2y+z)

JY+/+]

xy-2x+4z

所以

孤.5=石

Z4JJ?<V/<U

1.18由▽<!)=￡」+/J+￡零，利用圓柱坐標(biāo)和亶角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)

etctycz

3泮+0"巫

dppdipdz

解：在直角坐標(biāo)系中

V(p=.^^f^

++(1)

永42

x=pcos(p

?y=ps\n(p(2)

z=z

P=&2+/

y

(P=arc/g-(3)

x

x=Qco§3-0sin3(4)

y=psin^74-0cos夕(5)

由⑵、(3)式可得

Zp

玄=cos*⑹

y=-----sin<p(7)

&1+(￡)2『+?>'P

X

dp.

—=sin。

2_

加_X1

X-----T=-COS0

O'l+g)2丁+y-----p

X

由(1)一(5)式得

▽①=x—+y——

exoy

八65I)A處.㈤

=(萬(wàn)cos0-0sin⑼=+("sin0+0COS0)=+2-

&。應(yīng)

而

生=翌知孚蟲(chóng)="叱」嗎誦

acpdxc（pdxcppc（p

用)cOdpcOc(pcdb.1cO

——=----------+-----------=------sin°+---------cos。

0cpdyd(pdy>dppd(p

再由（6）-（9）式可得

CAC<I>IC)(I).

VO=(pCQS<p-(psix\(p)(——COS0--------—sm(p)

dppdtp

-..8).1卻

+(0sin0+0cos⑺(——sin*+-------cos。)+z——

dppd(p&

。色cos"建嗎in“-0丑cos.n展加色8S*n>

dppd(pdppd(p

.(2.、.1cd)c4)1ckp.川)

+p——sin-e+0———cos'(p+0A-^cos0sin°+pA--------cospsin^4-z——

dppd(pdppd(p&

V*泮+0空+d

dppd(pa

1.19求/(0,8,2)=/7cos/的梯度.

解:Qc0s°_0sin0

“，,通,加，冽)

1.20=.v—+y-7r+^—?利用網(wǎng)球小標(biāo)和立角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)

.1加

V中=n+定把+(p—：------

&ro0rsin。dtp

解：

x=rsii^cotp

-y=rsii^sinp

z=rcoJ

x*+y-+z?

i/g在三

(P-arcigJ

x=戶(hù)sinecose+@cosecosQ-0sine

y=3sin0sinQ+OcosOsine+0cos8

z=/cos〃一Osin"

效=這包+以包+小絲

AdrdxcOdxc(pdx

加_c4)dr+c4>dO+c<I>c(p

才er?，c0dyc(pdy

加說(shuō))(

——-----d--r+-c--4-)--c-O-+-c--O---d--p-

adrdzcOdzc(pdz

a-r=sin0cos^

ar

=sinSsin。

c?^-r

-=cose

A-

M=-COS0COS^

ar

COS"”

d\fr

—=——sin。

dzr

dtpsin夕

dx尸sin。

d(p_cos9?

dyrsin。

*。

+N——

&

drc(J)GO兇)的、,,方q-.、

=————+-———)(rs1Wco8十〃coJco平一0sixip)

ordxcOdrc(pdx

tXPdr汕。。c<bu(p,A..￡A，-、

+(---------F--------d----------)(rsm夕Nsm8+￡cos&sin夕+geos/)

drdydOdyv(pdyf

―卻少d^de,加麗山nnn.

+(-------+--------+--------)(廠cosO-Osm0)

erdzcOdzc(pdz

=(^^sinJcos夕)(rsin0cos(p+0cos0cos(p-^sin(p)

dr

+(li^cosJcos。)(rsin^cos^+"cosecos。-0sin⑺

rdO

|CXJ)A°

一(—；---—sin(p)(rsin0cos(p+JcosJcos伊一0sin夕)

■sin夕dtp

+(^-^sinOsin(p)(rsinOsin/+/cosOsincp+0cos8)

dr

+(—^-^cos^sin(p)(rsinOsing+OcosJsin(p+03s(p)

rdO

+(cos。)("sin6sin°+@8s6sine+0cos夕)

/sin，c(p

Ab.

+(——cos。)(戶(hù)cos。一?sinff)

dr

+(」disin⑶(戶(hù)cosO-Osin。)

rdO

3-0

araersin。卻

1.21求f(r,e,(p)=r2sinOcos砂的梯度。

解：

V/=r—^0-^(p------------

crrcOrsm^ctp

=/2rsin夕cos>+^cos^cos^-iprsin(p

1.22求梯度其中。為常數(shù).

解：

=P^r=P

①

Vr=/?—=r

&

V?1=r—=rA-？r

&

1.23在圓球坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)廣⑺為戶(hù)(>)=七八其中〃為常數(shù)，證明矢量場(chǎng)所)對(duì)

廠

任意閉合曲線/的環(huán)量積分為零，即

jFdl=0。

/

證明：根據(jù)斯托克思定理：

jFdl=jj\7xFdS

Is

rrdvsin附

亙=0

VXA?)=VX=專(zhuān)

X7^^「串

0

所以

fr</7=JjvxF-4/s=o

/

1.23證明(I)V^=^?(4V<!)-<DV'P)：(2)VF(O)=F(0)V<D.

證明：

(1)▽蟲(chóng)=f色蟲(chóng)+f蟲(chóng)色+￡色蟲(chóng)

Wdv甲dzT

=讓色力心￡曳+$，八_j,￡曳+」色中一zq空

M7dx甲dy'P-dy41dz+一夜

上甘色中+這中+4吁當(dāng)邑+性+衛(wèi)｝

dxdyfdz/drdydz

=^?(TVO-OVT)

(2)VF(O)=.v^F++

dxdydz

=xF'—0)+F7—OJ+ZF'—0=F'(0)V<D

dxdydz

伊.曲

1.24|l：V-/<=|jm3------推導(dǎo)

解:

圖1-1

1.25由▽?1=勺+23+七&推導(dǎo)廠.1=,￡(加,,)+,且+”和

axczpdp1P加&

\d>1d1亂

▽=3二(//,)+—?—--(sin6M0)+---------

r'ari\x\OdOrsin。&p

解：

(1)▽?4=土，+―-+―

a0日

_鞏切,羽的,a，dp訊dip利

一-----十--------------十--------------十------n--------

dpdxd(pdxcpdyd(pdyA

由

-sin*0

cos。0

0I

得-4si叩

4=/即+4（：。和

Op

—=COS0

d(p1

——=——sm^7

dxp

dp.

=sin。

如p

廠j二次，Id/、d>?前?M的?盤(pán)，

由dxd(pdxdyd(pdyfA

Q\g

=coip—(Aco^-As\np)一一sii^—(/Isi(^)

cppc(p

6]eSA

+siup—(Asiw+力co取)+—co取^(4si叩+4co乾)?+■—

dppcip&

，，,

——6,Acos"(p----6--AAcosgsin.°-----1sin.^cos^——0A/+1—sin?*(pA

cpdpvpd(pp

ldA?,Ji,i

+--------sin+—sin8cos阿。H?—cos*<p-------cosRsingd,,

pd(pp'pdipp

+sin%￡4+sin9cos44+Los°sin<p—A,+-cos'叫+生

dpxdppc(pAp&

8A,

=-4+—+1叫+曳

多Pp即&

M1曲E《,dA

p^p

-1，，IdI現(xiàn)

(2)▽?力=二△(//,)+—^-=-(sin叫)+」----

r-cv/sin"/〃rsin6?exp

or.

—=sin0cos^

￥=sinOsin(p

=cosO

=-cos0cos^

r

de

=-cosOsin°

—=—sin。

dzr

。

d--(p-=—sin

dxrsin6?

dtpcos*

dy尸sin。

皿=0

dz

4sinOcosecos^cos^一sin°/，

4=sinOsin0cos〃sin0cosu

A.cos<7-sin00

-dA出「dA

▽?/=—工+—L+—L

A&A

=-cA-d-r+c-A^c—OdAd(p+M—dr———dO—+,—4--d三(p

&dxcGdxd(pdx&dydOdyc(pdy

cA.drdAdOcAd(p

+—=——+z---+-z-—

&&d0&v(pdz

e

=sin9cos0—(sin，cos研+cosOcos磯,-sin(pA)

&

?e

+cos?cose------(sinecos”L+cos?cos@。-sin伊J)

rdO

sin。U,.△/c4..、

---------------(sin"cos+cos”cos儂〃-sin儂)

rsin/7ckp

+sinsin(p—(sin6?sin(pAt+cos〃sk】040+cos04)

&

?(;

+cos?sin0———(sin，sin04,+cos0sin^i^+cos^o4)

rdO

cos?3一八.46?▲.、

H-------------(smc/sin^4+cos〃sui3%+cos叫,)

rsin^加r

+cose￡(cos6M,—sin6M°)

cr

一^(cos例-sin叫)

=siir0cos2(p—A+sin0cos0cos2(p—A-sin0cos^siii(p—A

drfdrodr

.2.2d.2?e

+sin'Osin’(p—A+sin^cos0sin*<p—A+sinOsin*cos0—A

&f&o&

2/?，

+cos*0—A-cosOsin。一A

at&o

+-(sin0cosl9cos2(p—A4-cos20cos2(p—A-cos0cos^sinq>—A)

rdOrdO0dO

g3《r

+一(sin〃cos8sin'(p—A,4-cos:夕sin’(p——A+cosOsin0cos0——A)

rdOdOoGO

1/9/7

2

—(sin0cos0—-sinO—Ao)

rc>0dO

+-(cos20cos2(pA-sintfcos^cos2(pA)

rf0

222

+—(cos0sin0At-sin0cos5sin(p40)

r

2

4--(sin0At+sinOcos也)

+——(-sin6>sin^cos^—/I-cos6>sin^cos^—/f+sin>—4)

/sing即r加s加

1/-zi.3Ad.，//、

+--------(sintfs\n(pcos(p——At.+cosc/sin^cos^——Ao+cos"cp——A)

rsinOdtpeipeip

+---------(sinOsin，油4-cos0sin:(pA+sin℃os胸)

rsin^0

2-

+---------(sin0cos(pAt+cos0cos(/iA0-sin℃os那)

rsinff

3、2sin。△cos。1鞏

——(4,)+-[,+—：--------(4°)+—：—+—：-------?-

&rrsin^cGrsin?！竤in。exp

iE

=-7?—(r'A)H-------------(sinOA^)+

r2a-rsinOrO°rsin/9rip

1.26計(jì)算下列矢量場(chǎng)的散度

a)F=yzx+zyy+xzz

b)戶(hù)=0+

c)戶(hù)=2戶(hù)+，?cos"0+〃0

解：

1/nc\1國(guó)4.cos20

c)V-F=——(r*F)H----------(sin6匕)+-----------=sin。+------

廣&rsin^cGrsin0&prsin。

1.27計(jì)算散度。(加),▽?八▽?(%")，其中定為常矢量.

解：

V(z^p)」Js“)=2

Vr=VF=

…。，口r/中夕①lea1//加、1/①

1.28由▽-<!)=--+—「推1A導(dǎo)▽-<!)=----(p-)+——-

解：

a2od.15co.icd>

——-=(cos3----sing-----Xcos。-----sing-----)

dx*dppd(pdppd(p

.c20).51cO.1ccd)

=cos-cp--r-sinecos伊——(-----)-sin伊-----(cos^?)

dp-dppd(ppd(pdp

a2<D,.d1a、/.純Ir<D

——-=(sme—+cos@----)(sin*——+cos尹-----)x

力-dppd(pdppd<p

Qi]a

+sinecose—(----)+cose-----(sine——)

dppd(ppdtpdp

(c。酩果

+COS67-；----

P'3s

,,d)中d}.\d和

Vd)=cos*(/)——--sin^cos^—(---)-sin(p——(cQs(p——)

dp'dppdippdipdp

1dc^>

+sm^——(sm^—)

p-o(pd(p

,a2oe/&D、ie/.w>、

+snr(p—r+smecos伊——(----)+cos伊----(sm^——)

dp"dppc(ppd(pdp

1d

+cos^——z(cosv?—)

p-dtpc(p

%+S/J以-sMosJ也+S2OS」以

dp'pdpPd(pdppzdtp

,1ao).Id?61dd>,Ia2o)

4-COS*(p-----4-COS^Sin^--------cos^sm^--——4-COS*(p-r——r

pdppd(pdpp、d(pp-dqT

d2a)iaoia2o)

dp2pdpp:d(p:

1.29已知

a)f(r)=x2z

b)f(r)=p

c)f(r)=r

求

解：

1.30求矢量場(chǎng)戶(hù)=成>+0+z￡穿過(guò)山1,0<<^-,0<z<1確定的1*域的封閉面的通

量.

解：F=pp+(jj+zz

解法I：

目戶(hù)?而=JJ1戶(hù)?而+JJ戶(hù)?"M+戶(hù)?ds+J|F-ds

SS\SQSy

9為半徑為1的圓弧側(cè)面;另為側(cè)平面;下端面:S4上端而。

IX

jj戶(hù)?而=+zz)-zpd(pdz=JJppclqxlz=n

11

jjF-=Jj(/￥?+(&+zz)-(~y)dxdz=-Jj(j+7：'[,)dzdx

s.s.-ioJb+V*y=0

=JtZr-j<Zr=0

jj戶(hù).而=”(加+0+zi)(—z)pdpd(p=0

5、S3z=0

jjF?dS=JJ(而+0+zf)a)pdpd(p=眉2

目戶(hù)?&?=]]戶(hù)WM+JJ戶(hù)”6+jJ戶(hù)+0戶(hù)?(拉=31/2

SS\譏$Sj

解法2：

Id1五印

VF=-—^)+一一廣+Y=2+1=3

pcppcipC2

號(hào)戶(hù)曲="V?FdV=jJJ3</r=3r=3^/2

r-■??***

\Adixyz

2aaa

i.3i由(▽x/)，6=[jm------推導(dǎo)Vxx=———?

七;As島W2

444

解：

1)設(shè)方=3/為邊長(zhǎng)為與，和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路

-dA,

A-dl=—/<Az-(JH----△z)Ar+(4H----Ar)Az-i-J,.Av

tdz.丹?

一身"，+%如

dzdyf

A-dl

網(wǎng).

----+—dA,—

dzdy

2）設(shè)方=卞，/為邊長(zhǎng)為At和Az的.中心在*,y,z）的矩形回路

r__SASA

jAdl=-/、Ar—(/；+?^AY)AZ+(4i力;Az

-25Az+%&At

dxdz

Asdxdz

3）設(shè)方=2,/為邊長(zhǎng)為At和與，的，中心在（x,j，,z）的矩形回路

-,0A

Adi7=-AAy-(A+——-Ay)A.v+(J,,+---A.v)Av+Ax

vxdydx

dAdA.

----xAyAxH----tZLvAv

生'dx

?-J..04HA.、dA.dAdASA

v*八以一三+靖+y+云x)+烈-至t+—)

戈

，

a-

4

1.32計(jì)算矢量場(chǎng)F=.xyf+2yzv-z的旋度

解：

=x(-2y)+p(0+0)+f(-x+0)

=-2yx-xz

1.33計(jì)算▽x萬(wàn),Vx尸,▽x(zp),▽x0

解:

Vxp=-=0

Pdtp3

00

PP<PZ

cdd

Vx(zp)=-=0

Pcfp&

z00

rdrsin0(p

aa

Vxr=0

r'sin。百

r0

rf)

I.cos。*1

▽x0=r----------0—

/sin。dr加7,sin<7

00rsin。

1.34已知A=yx-xy.計(jì)算J-(VxA)

解:

對(duì)于任意矢量,若A=4(x,y)f+/,(x,.y)>1

￡A

y

J旦u

VX=-長(zhǎng)也+

及

44Cdy

44

,i4(x，J')o

--dAHA」

…M)=[4(x,y)f+4(-玄+右)R

1.35證明矢量場(chǎng)/向+*P+A>5既是無(wú)散場(chǎng)，乂是無(wú)旋場(chǎng)。

訐：

1.36已知￡=/?oCOS停-Z?oSin的,求和Vxf。

解:

1瘟0

V￡(sin體0)+

rsin^cG「sin。op

(sin0(-sin0))

rsin，弟

。_

2￡0cos，2E0cos0

rsin附

d

dip

rsin0Ea

rOrsin^

1_6dd

r2sin0&萬(wàn)加

E0cos。-rE0sin30

=—(-&sirt?+航si田)=0

1.37證明Vx(<I>/1)=<I)Vx彳+V(I>xA?

+M4防F])+)'(4]-4丁)+石