2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．與2023°終邊重合的最小正角是．2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若與共線，則實數(shù)λ＝．3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，則cos（α﹣β）＝．4．|（3﹣4i）4|＝．5．已知tanx＝﹣2，則sin2x＝．6．函數(shù)f（x）＝asin2x+btanx+3滿足f（﹣2）＝1，則f（2﹣π）＝．7．空間中兩兩平行的3條直線最多可確定的平面的個數(shù)是．8．已知關(guān)于x的方程sinx+cosx＝a在區(qū)間[0，]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是．9．將y＝f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位之后，可得y＝sin2x的圖象，則f（）＝．10．已知k+2個兩兩互不相等的復(fù)數(shù)z1、z2、…、zk、w1、w2，滿足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），則k的最大值為．二、選擇題11．設(shè)a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a12．已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣213．P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＝λ+，則P點一定在（）A．△ABC內(nèi)部 B．在直線AC上 C．在直線AB上 D．在直線BC上14．空間中5個平面可以把空間最多分成的部分的個數(shù)為（）A．26 B．28 C．30 D．32三、解答題15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．（1）若C＝，求a的值；（2）若a＝3，求S△ABC．16．已知m∈R，α、β是關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的兩根．（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．17．已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值為m，且y＝f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是．（1）求m的值；（2）求y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間；（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范圍．18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐標平面上的三點，使得＝2[﹣（?）]，＝2[﹣（?）]．（1）若θ＝，P1的坐標為（20，21），求；（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；（3）若存在α∈[0，π），使得當(dāng)＝（cosα，sinα）時，△P1P2P3為等邊三角形，求θ的所有可能值．

2020-2021學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．與2023°終邊重合的最小正角是223°．【分析】利用終邊相同角的定義β＝α+k360°，k∈Z可得答案．【解答】解：因為2023°＝5×360°+223°，所以與2023°終邊重合的最小正角是223°．故答案為：223°．【點評】本題考查終邊相同角的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若與共線，則實數(shù)λ＝﹣．【分析】由平面向量共線定理的坐標運算可解決此題．【解答】解：∵向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若與共線，∴2λ﹣（﹣3）×3＝0，解得：λ＝﹣．【點評】本題考查平面向量共線定理坐標運算，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，則cos（α﹣β）＝．【分析】利用和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．【解答】解：α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，則cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×+×＝，故答案為：，【點評】本題考查了和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．|（3﹣4i）4|＝625．【分析】根據(jù)已知條件，運用復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．【解答】解：由|（3﹣4i）4|＝（|3﹣4i|）4＝．故答案為：625．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)模的計算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．5．已知tanx＝﹣2，則sin2x＝﹣．【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可求解．【解答】解：因為tanx＝﹣2，所以sin2x＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．函數(shù)f（x）＝asin2x+btanx+3滿足f（﹣2）＝1，則f（2﹣π）＝5．【分析】由函數(shù)f（x）＝asin2x+btanx+3滿足f（﹣2）＝1，求出asin4+btan2＝2，由此能求出f（2﹣π）．【解答】解：函數(shù)f（x）＝asin2x+btanx+3滿足f（﹣2）＝1，∴f（﹣2）＝asin（﹣4）+btan（﹣2）+3＝﹣asin4﹣btan2+3＝1，∴asin4+btan2＝2，則f（2﹣π）＝asin（4﹣2π）+btan（2﹣π）＝asin4+btan2+3＝2+3＝5．故答案為：5．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．空間中兩兩平行的3條直線最多可確定的平面的個數(shù)是3．【分析】根據(jù)直線平行的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：若三條直線在同一故平面內(nèi)，則此時三條直線只能確定一個平面，若三條直線不在同一故平面內(nèi)，則此時三條直線能確定三個平面，故三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為1個或3個，故答案為：3．【點評】本題主要考查平面的基本性質(zhì)和推理，根據(jù)直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．8．已知關(guān)于x的方程sinx+cosx＝a在區(qū)間[0，]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是[0，2]．【分析】利用和差公式化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．【解答】解：sinx+cosx＝a化為：sinx+cosx＝，∴sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴（x+）∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，∵關(guān)于x的方程sinx+cosx＝a在區(qū)間[0，]上有解，∴0≤≤1，解得0≤a≤2．則實數(shù)a的取值范圍是[0，2]，故答案為：[0，2]，【點評】本題考查了和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．將y＝f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位之后，可得y＝sin2x的圖象，則f（）＝﹣．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的值．【解答】解：函數(shù)y＝sin2x的圖象向下平移1個單位后，得到y(tǒng)＝sin2x﹣1的圖象，再向右平移個單位，得到f（x）＝sin（2x﹣）﹣1的圖象，所以f（）＝sin（）﹣1＝，故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的平移變換，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．10．已知k+2個兩兩互不相等的復(fù)數(shù)z1、z2、…、zk、w1、w2，滿足﹣＝，且|wj﹣za|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），則k的最大值為5．【分析】設(shè)w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R），從而可得（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，即w1、w2對應(yīng)平面內(nèi)距離為2的點，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：設(shè)w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R），∵﹣＝，∴（﹣）?（w1﹣w2）＝4，即（（a﹣b）﹣（c﹣d）i）（（a﹣b）+（c﹣d）i）＝4，即（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，故w1、w2對應(yīng)平面內(nèi)距離為2的點，如圖F、G，∵|wj﹣za|∈{1，3}，∴za與w1、w2對應(yīng)的點的距離為1或3，構(gòu)成了點A、B、C、D、E共5個點，故k的最大值為5，故答案為：5．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題11．設(shè)a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】直接利用反三角函數(shù)的應(yīng)用求出a，b，c對應(yīng)的值，進一步求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)反三角函數(shù)的定義a＝arcsin，整理得sina＝，由于a，所以a＝，由于b＝arccos，所以cosb＝，由于b∈（0，π），所以b＝，由于c＝arctan，所以tanc＝，由于c，由于，所以c．故b＞a＞c．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：反三角函數(shù)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．12．已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2【分析】直接由復(fù)數(shù)的實部等于0且虛部不等于0求解a的值．【解答】解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，∴，∴a＝2，故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件，是基礎(chǔ)題．13．P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＝λ+，則P點一定在（）A．△ABC內(nèi)部 B．在直線AC上 C．在直線AB上 D．在直線BC上【分析】根據(jù)共線定理可知即與共線，從而可確定P點一定在AC邊所在直線上．【解答】解：∵，＝λ+，∴＝λ+，∴﹣＝λ，∴∥，即與共線，∴P點一定在AC邊所在直線上，故選：B．【點評】本題主要考查向量的共線定理，要證明三點共線時一般轉(zhuǎn)化為證明向量的共線問題．屬于中檔題．14．空間中5個平面可以把空間最多分成的部分的個數(shù)為（）A．26 B．28 C．30 D．32【分析】由題意利用歸納推理，平面的基本性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，空間中1個平面可以將空間分為2部分，有1+1＝2；空間中有2個平面時，最多可以把空間分為4部分，有1+1+2＝4；空間中有3個平面時，最多可以把空間分為8部分，有1+1+2+4＝8；空間中有4個平面時，新增的一個平面最多和已知的3個平面有3條交線，這3條交線會把新增的這個新平面最多分成7部分，從而多出7個部分，最多可以把空間分為7部分，故總共有1+1+2+4+7＝15；空間中有5個平面時，新增的一個平面最多和已知的4個平面有4條交線，這4條交線會把新增的這個新平面最多分成11部分，從而多出11個部分，故總共有1+1+2+4+7+11＝26部分，故選：A．【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．（1）若C＝，求a的值；（2）若a＝3，求S△ABC．【分析】（1）直接利用解直角三角形知識的應(yīng)用求出結(jié)果；（2）利用解三角形知識的應(yīng)用，進一步利用正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．若C＝，所以，解得a＝2．（2）在△ABC中，設(shè)AB＝x，利用余弦定理：，解得，當(dāng)x＝3+時，＝；當(dāng)x＝3時，＝．【點評】本題考查的知識要點：三角形的解法，正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16．已知m∈R，α、β是關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的兩根．（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．【分析】（1）由α、β是關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的兩根．可得α+β＝﹣2，αβ＝m，對α，β分為為實數(shù)，與一對共軛虛根即可得出．（2）x2+2x+m＝0，不妨設(shè)α≤β．對m及其判別式分類討論，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（1）∵α、β是關(guān)于x的方程x2+2x+m＝0的兩根．∴α+β＝﹣2，αβ＝m，若α，β為實數(shù)，則2＝|α﹣β|＝＝，化為：m＝﹣1．若α，β為一對共軛復(fù)數(shù)，則2＝|α﹣β|＝＝|i|，化為：m＝3．綜上可得：m＝﹣1或3．（2）x2+2x+m＝0，不妨設(shè)α≤β．Δ＝4﹣4m≥0，即m≤1時，方程有兩個實數(shù)根．α+β＝﹣2，αβ＝m，0≤m≤1時，|α|+|β|＝|α+β|＝2．m＜0時，α與β必然一正一負，則|α|+|β|＝﹣α+β＝＝2．Δ＝4﹣4m＜0，即m＞1時，方程有一對共軛虛根．|α|+|β|＝2|α|＝2＝2綜上可得：|α|+|β|＝．【點評】本題考查了一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17．已知ω＞0，函數(shù)f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值為m，且y＝f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是．（1）求m的值；（2）求y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間；（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范圍．【分析】（1）利用恒等變換，將f（x）化簡為﹣sin（2ωx+），當(dāng)時，，即可求解m的值．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解．【解答】解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcos＝﹣sin2ωx＝sin（2ωx+），由題意可得T＝2×＝π，故2ω＝，即ω＝1，∴，當(dāng)時，，∴m＝．（2）令，即，k∈Z，當(dāng)k＝0時，，當(dāng)k＝1時，，又∵x∈[0，π]，∴y＝f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間為．（3）∵f（x）≥1，∴，即，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）≥1成立的x的取值范圍為．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐標平面上的三點，使得＝2[﹣（?）]，＝2[﹣（?）]．（1）若θ＝，P1的坐標為（20，21），求；（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；（3）若存在α∈[0，π），使得當(dāng)＝（cosα，sinα）時，△P1P2P3為等邊三角形，求θ的所有可能值．【分析】（1）利用向量的線性運算及數(shù)量積運算即可求得結(jié)論；（2）由題意可設(shè)＝6（cosα，sinα），利用向量的線性運算及數(shù)量積運算可求得＝24（0，cosθsin（α﹣θ）），當(dāng)θ＝，由模的運算以及三角函數(shù)的有界性即可求得最值；（3）求得，的坐標，進而可求得，，由△P1P2P3為等邊三角形，可得||＝||＝2|sin（α﹣θ）|＝1，cos＜，＞＝＝﹣，利用三角恒等變換化簡可求得cos2α＝﹣，分類討論結(jié)合2|sin（α﹣θ）|＝1即可求得θ的所有取值．【解答】解：（1）若θ＝，則＝（cos，sin）＝（0，1），則＝2[﹣（?）]＝2{（20，21）﹣[（0，1）?（20，21）]（0，1）}＝2[（20，21）﹣（0，21）]＝（40，0），所以＝2[﹣（?）]＝2{（40，0）﹣[（1，0）?（40，0）]（1，0）}＝（0，0）；（2）因為||＝6，不妨設(shè)＝6（cosα，sinα），由向量＝（cosθ，sinθ），得＝2[﹣（?）]＝2[6（cosα，sinα）﹣6cos（α﹣θ）（cosθ，sinθ）]＝12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））所以＝2[﹣（?）]＝2[12（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣12sinθsin（θ﹣α）（1，0）]＝24（0，cosθsin（α﹣θ）），若θ＝，則cosθ＝﹣，sinθ＝，則||＝12|sin（α﹣）|＝12|sin（α+）|，所以，當(dāng)|sin（α+）|＝1時，||取最大值12；（3）＝2[﹣（?）]＝2[（cosα，sinα）﹣（cosαcosθ+sinαsinθ）（cosθ，sinθ）]＝2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ）），＝2[﹣（?）]＝2[2（sinθsin（θ﹣α），cosθsin（α﹣θ））﹣2sinθsin（θ﹣α）（1，0）]＝4（