2020-2021學(xué)年新疆烏魯木齊四中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年新疆烏魯木齊四中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（5分）設(shè)（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|＝（）A．1 B． C． D．22．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+ax的導(dǎo)函數(shù)f（x）＝2x+1，則的值等于（）A． B． C． D．3．（5分）當(dāng)σ取三個不同值σ1，σ2，σ3時，正態(tài)曲線N（0，σ2）的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．σ1＜σ2＜σ3 B．σ1＜σ3＜σ2 C．σ2＜σ1＜σ3 D．σ3＜σ2＜σ14．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（）A． B． C． D．5．（5分）甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為（）A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.756．（5分）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示，且E（ξ）＝1.6，則ab＝（）ξ0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.47．（5分）某班安排6位班干部在周一至周六值日，每天1人，每人值日1天，若6位班干部中的甲、乙排在相鄰兩天，丙、丁不排在相鄰兩天，則不同的安排方案共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．720種8．（5分）設(shè)ξ是服從二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量，又E（ξ）＝15，D（ξ）＝，則n與p的值分別為（）A．60， B．60， C．50， D．50，9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為（）A． B． C． D．10．（5分）為了檢驗(yàn)設(shè)備M與設(shè)備N的生產(chǎn)效率，研究人員作出統(tǒng)計，得到如表所示的結(jié)果，則（）設(shè)備M設(shè)備N生產(chǎn)出的合格產(chǎn)品4843生產(chǎn)出的不合格產(chǎn)品27P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635附：參考公式：．A．有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 B．沒有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 C．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 D．不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性11．（5分）已知（x+1）10＝a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．512．（5分）已知函數(shù)f（x）＝若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4個零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．（5分）曲線y＝xex﹣1在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率等于．14．（5分）已知a，b∈R，且a﹣2b+1＝0，則的最小值為，此時ab＝．15．（5分）在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝﹣2sinθ的圓心的極坐標(biāo)為．（寫出一個即可）16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（0，+∞）上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．（10分）Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的普通方程；（2）求直線l被曲線C截得的線段的長．19．（12分）央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，它創(chuàng)新性地利用現(xiàn)代傳媒手段實(shí)現(xiàn)了詩詞娛樂化，用健康的娛樂化方式實(shí)現(xiàn)了“擴(kuò)群”，體現(xiàn)了國人精神中對于優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的呼喚與眷戀．在某市組織的詩詞大賽中，某中學(xué)高中組與初中組成績卓著．組委會進(jìn)入該中學(xué)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將學(xué)生對詩詞知識的掌握情況分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中達(dá)到優(yōu)秀等級的學(xué)生有70名．（1）若該中學(xué)共有8000名學(xué)生，試估計該中學(xué)的學(xué)生中達(dá)到優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)；（2）若抽取的達(dá)到優(yōu)秀等級的70名學(xué)生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分層抽樣的方法從中抽取7名學(xué)生，然后從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生代表該市參加比賽，記這3名學(xué)生中高中生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知（2x+）n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32．（1）求n的值；（2）求（2x+）n的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)；（3）求（x﹣）（2x+）n展開式中的常數(shù)項(xiàng)．21．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．（1）證明：EF⊥平面ABE；（2）求二面角D﹣BF﹣E的余弦值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)φ（x）＝xf（x）+tf′（x）+，存在函數(shù)x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

2020-2021學(xué)年新疆烏魯木齊四中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（5分）設(shè)（1+i）x＝1+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x+yi|＝（）A．1 B． C． D．2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值是解決本題的關(guān)鍵．2．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+ax的導(dǎo)函數(shù)f（x）＝2x+1，則的值等于（）A． B． C． D．【分析】由函數(shù)f（x）＝x2+ax的導(dǎo)函數(shù)f（x）＝2x+1，得a＝1，然后根據(jù)微積分基本定理可求得的值．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝x2+ax的導(dǎo)函數(shù)f（x）＝2x+1，得a＝1，∴＝（x2﹣x）dx＝（x3﹣x2）＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、定積分、微積分基本定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）當(dāng)σ取三個不同值σ1，σ2，σ3時，正態(tài)曲線N（0，σ2）的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．σ1＜σ2＜σ3 B．σ1＜σ3＜σ2 C．σ2＜σ1＜σ3 D．σ3＜σ2＜σ1【分析】直接由σ的值域曲線形狀的關(guān)系得答案．【解答】解：由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)知，當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，∴σ1＜σ2＜σ3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量μ和σ的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)出|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得m＝a，再通過∠F1PF2＝60°，由余弦定理列出方程，即可求解雙曲線的離心率．【解答】解：F1，F(xiàn)2為雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，設(shè)|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因?yàn)椤螰1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，所以e＝＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查方程思想、轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．5．（5分）甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為（）A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計算可得目標(biāo)被擊中的概率，進(jìn)而由條件概率的公式，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，則P（C）＝1﹣P（）P（）＝1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.5）＝0.8；則目標(biāo)是被甲擊中的概率為P＝＝0.75；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查條件概率的計算，是基礎(chǔ)題，注意認(rèn)清事件之間的關(guān)系，結(jié)合條件概率的計算公式正確計算即可．6．（5分）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示，且E（ξ）＝1.6，則ab＝（）ξ0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4【分析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及E（ξ）＝1.6，列出方程組，求出a，b，由此能求出ab．【解答】解：由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及E（ξ）＝1.6，得：，解得a＝0.3，b＝0.5，ab＝0.3×0.5＝0.15．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查兩數(shù)乘積的求法，涉及隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．7．（5分）某班安排6位班干部在周一至周六值日，每天1人，每人值日1天，若6位班干部中的甲、乙排在相鄰兩天，丙、丁不排在相鄰兩天，則不同的安排方案共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．720種【分析】根據(jù)題意，設(shè)6人中出甲乙丙丁之外的2人為a、b，分3步分析：①，將甲乙看成一個整體，②，將這個整體與2人全排列，③，排好后，有4個空位可選，在其中任選2個，安排丙丁，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)6人中出甲乙丙丁之外的2人為a、b，分3步分析：①，將甲乙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A22＝2種情況，②，將這個整體與2人全排列，有A33＝6種安排方法，③，排好后，有4個空位可選，在其中任選2個，安排丙丁，有A42＝12種安排方法，不同的安排方案共有2×6×12＝144種；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意常見問題的處理方法，屬于中檔題．8．（5分）設(shè)ξ是服從二項(xiàng)分布B（n，p）的隨機(jī)變量，又E（ξ）＝15，D（ξ）＝，則n與p的值分別為（）A．60， B．60， C．50， D．50，【分析】由題意知ξ～B（n，p），根據(jù)E（ξ）和D（ξ）的計算個數(shù)求出n、p的值．【解答】解：由題意知ξ～B（n，p），由E（ξ）＝np＝15，D（ξ）＝np（1﹣p）＝，解得p＝，n＝60．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為（）A． B． C． D．【分析】通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的側(cè)面對角線是球的直徑，求出球的半徑．【解答】解：因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面B1BCC1，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長，因?yàn)锳B＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝，所以球的半徑為：．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計算能力．10．（5分）為了檢驗(yàn)設(shè)備M與設(shè)備N的生產(chǎn)效率，研究人員作出統(tǒng)計，得到如表所示的結(jié)果，則（）設(shè)備M設(shè)備N生產(chǎn)出的合格產(chǎn)品4843生產(chǎn)出的不合格產(chǎn)品27P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635附：參考公式：．A．有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 B．沒有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 C．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性 D．不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性【分析】根據(jù)列聯(lián)表求出K2，再對照表格可得答案．【解答】解：∵K2＝≈3.053＞2.706，因此有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與設(shè)備的選擇具有相關(guān)性．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬中檔題．11．（5分）已知（x+1）10＝a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．5【分析】寫出各項(xiàng)的系數(shù)，可得a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，結(jié)合數(shù)列a1，a2，a3，…，ak是一個單調(diào)遞增數(shù)列，可得結(jié)論．【解答】解：由二項(xiàng)式定理，得ai＝（1≤i≤11，i∈Z），因?yàn)閍1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，且數(shù)列a1，a2，a3，…，ak是一個單調(diào)遞增數(shù)列，所以k的最大值是6．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4個零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】問題轉(zhuǎn)化為f（x）＝|kx2﹣2x|有四個根，?y＝f（x）與y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四個交點(diǎn)，再分三種情況當(dāng)k＝0時，當(dāng)k＜0時，當(dāng)k＞0時，討論兩個函數(shù)是否能有4個交點(diǎn)，進(jìn)而得出k的取值范圍．【解答】解：若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4個零點(diǎn)，則f（x）＝|kx2﹣2x|有四個根，即y＝f（x）與y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四個交點(diǎn)，當(dāng)k＝0時，y＝f（x）與y＝|﹣2x|＝2|x|圖象如下：兩圖象只有兩個交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)k＜0時，y＝|kx2﹣2x|與x軸交于兩點(diǎn)x1＝0，x2＝（x2＜x1）圖象如圖所示，當(dāng)x＝時，函數(shù)y＝|kx2﹣2x|的函數(shù)值為﹣，當(dāng)x＝時，函數(shù)y＝﹣x的函數(shù)值為﹣，所以兩圖象有4個交點(diǎn)，符合題意，當(dāng)k＞0時，y＝|kx2﹣2x|與x軸交于兩點(diǎn)x1＝0，x2＝（x2＞x1）在[0，）內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，所以若有四個交點(diǎn)，只需y＝x3與y＝kx2﹣2x在（，+∞）還有兩個交點(diǎn)，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）還有兩個根，即k＝x+在（，+∞）還有兩個根，函數(shù)y＝x+≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝時，取等號），所以，且k＞2，所以k＞2，綜上所述，k的取值范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用分類討論思想，分析函數(shù)的交點(diǎn)，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．（5分）曲線y＝xex﹣1在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率等于2．【分析】由求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率．【解答】解：由題意得，y′＝（xex﹣1）′＝（x）′ex﹣1+x（ex﹣1）′＝ex﹣1+xex﹣1＝（1+x）ex﹣1，所以在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率k＝（1+1）e1﹣1＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．14．（5分）已知a，b∈R，且a﹣2b+1＝0，則的最小值為，此時ab＝﹣．【分析】由a﹣2b+1＝0得a﹣2b＝﹣1，＝2a+2﹣2b利用基本不等式可解決此題．【解答】解：由a﹣2b+1＝0得a﹣2b＝﹣1，∴＝2a+2﹣2b≥2＝2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝﹣2b＝﹣，即a＝﹣，b＝時，取“＝”，∴ab＝﹣．故答案為：，﹣．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝﹣2sinθ的圓心的極坐標(biāo)為．（寫出一個即可）【分析】由已知中圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝﹣2sinθ，我們分別取θ＝0，θ＝，并由此可以確定出圓的一條直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到答案．【解答】解：∵圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝﹣2sinθ則它表示過極坐標(biāo)原點(diǎn)，（﹣2，）點(diǎn)的，以2為直徑的圓故圓心落點(diǎn)故答案為：【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是簡單曲線的極坐標(biāo)方程，其中根據(jù)已知圓的極坐標(biāo)方程確定圓直徑及直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（0，+∞）上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，）．【分析】求導(dǎo)，由題意可知：f′（x）＝0在（0，+∞）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實(shí)數(shù)根．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝tx2﹣3x+2，由f（x）在（0，+∞）上既有極大值又有極小值，則f′（x）＝0在（0，+∞）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實(shí)數(shù)根．∴?0＜t＜，故答案為：（0，）．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題(本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．（10分）Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意可得，解得a1＝1，q＝3，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式即可求出，（2）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列，分別令n＝1，2，3，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出λ的值，再根據(jù)定義證明即可．【解答】解：（1）由題意可得，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n﹣1，Sn＝＝，（2）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列，∵S1+λ＝λ+1，S2+λ＝λ+4，S3+λ＝λ+13，∴（λ+4）2＝（λ+1）（λ+13），解得λ＝，此時Sn+λ＝×3n，則＝3，故存在常數(shù)，使得數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)與判斷，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的普通方程；（2）求直線l被曲線C截得的線段的長．【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化．（2）利用直線和曲線的位置關(guān)系，建立一元二次方程，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵可化為ρsin2θ＝4cosθ，整理得：y2＝4x．（2）將直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入y2＝4x，得，∴，t1t2＝2．由直線參數(shù)方程的幾何意義可知：|t1﹣t2|＝＝8，∴所求線段長為8．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．19．（12分）央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，它創(chuàng)新性地利用現(xiàn)代傳媒手段實(shí)現(xiàn)了詩詞娛樂化，用健康的娛樂化方式實(shí)現(xiàn)了“擴(kuò)群”，體現(xiàn)了國人精神中對于優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的呼喚與眷戀．在某市組織的詩詞大賽中，某中學(xué)高中組與初中組成績卓著．組委會進(jìn)入該中學(xué)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將學(xué)生對詩詞知識的掌握情況分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中達(dá)到優(yōu)秀等級的學(xué)生有70名．（1）若該中學(xué)共有8000名學(xué)生，試估計該中學(xué)的學(xué)生中達(dá)到優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)；（2）若抽取的達(dá)到優(yōu)秀等級的70名學(xué)生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分層抽樣的方法從中抽取7名學(xué)生，然后從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生代表該市參加比賽，記這3名學(xué)生中高中生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）先求出優(yōu)秀率，然后結(jié)合總體數(shù)，求解即可；（2）先求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)樗槿〉?00名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級的有70個，所以優(yōu)秀率為＝，故該中學(xué)的學(xué)生中達(dá)到優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)為8000×＝5600人；（2）由分層抽樣可知，在抽取的7名學(xué)生中，高中生4名，初中生3名，則X的可能取值為0，1，2，3，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列為：X0123P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【點(diǎn)評】本題考查了頻率、頻數(shù)、樣本容量之間的關(guān)系，離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知（2x+）n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32．（1）求n的值；（2）求（2x+）n的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)；（3）求（x﹣）（2x+）n展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值．（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)．（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：（1）由題意結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得2n＝32，解得n＝5．（2）由題意得（2x+）n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?25﹣r?，令5﹣＝2，解得r＝2，所以展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為23×＝80．（3）由（2）知，（2x+）n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?25﹣r?，令5﹣＝﹣1，解得r＝4；令5﹣＝，解得r＝3，故（x﹣）（2x+）n展開式中的常數(shù)項(xiàng)為21?﹣22?＝﹣30．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．（1）證明：EF⊥平面ABE；（2）求二面角D﹣BF﹣E的余弦值．【分析】（1）證明DA⊥AB，BC⊥AB，EF⊥AB．證明EF⊥AE，EF⊥BE，即可證明EF⊥平面ABE．（2）過D作DG⊥EF交EF于G．過D作DH⊥BF交BF于H，連結(jié)GH．說明∠DHG為二面角D﹣BF﹣E的平面角，然后通過求解三角形，推出結(jié)果即可．【解答】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因?yàn)椤螦BC＝∠BAD＝，故DA⊥AB，BC⊥AB，因?yàn)镋F∥BC，故EF⊥AB．所以在折疊后的幾何體中，有EF⊥AE，EF⊥BE，而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE．（2）解：如圖，在平面AEFD中，過D作DG⊥EF交EF于G．在平面DBF中，過D作DH⊥BF交BF于H，連結(jié)GH．因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG?平面AEFD，故DG⊥平面EBCF，因?yàn)锽F?平面EBCF，故DG⊥BF，而DG