江蘇省無(wú)錫市宜興匯文中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省無(wú)錫市宜興匯文中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若雙曲線﹣=1的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的離心率列出方程，求出m，然后求解雙曲線的漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線﹣=1的離心率為，e==，可得，解得m=，∴=，則此雙曲線的漸近線方程為：y=±x．故選：A．2.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)，則（

）A.

B.

C. D.參考答案：A3.有下列命題： ①設(shè)集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，則“a∈M”的充分而不必要條件是“a∈N”； ②命題“若a∈M，則b?M”的逆否命題是“若b∈M，則a?M”； ③若p∧q是假命題，則p，q都是假命題； ④命題P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0” 則上述命題中為真命題的是（） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；簡(jiǎn)易邏輯． 【分析】利用充要條件判斷①的正誤；逆否命題判斷②的正誤；復(fù)合命題的真假判斷③的正誤；命題的否定形式判斷④的正誤． 【解答】解：對(duì)于①，設(shè)集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，a∈N則“a∈M”，a∈M不一定有a∈N， 所以“a∈M”的充分而不必要條件是“a∈N”；①正確； 對(duì)于②，命題“若a∈M，則b?M”的逆否命題是“若b∈M，則a?M”；滿足逆否命題的形式，所以②正確． 對(duì)于③，若p∧q是假命題，則p，q至少一個(gè)是假命題；所以③不正確； 對(duì)于④，命題P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”滿足命題的否定形式，所以④正確． 故①②④正確． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，充要條件以及四種命題的逆否關(guān)系，復(fù)合命題的真假以及命題的否定的判斷，基本知識(shí)的考查． 4.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－1320

B．1320

C．－220

D．220參考答案：C略6.已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，拋物線y=+1與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為(

) A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由已知條件，根據(jù)雙曲線的焦距排除A，B，再由拋物線y=+1與雙曲線C的漸近線相切排除C．解答： 解：∵雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的焦距為2，∴排除選A和B，∵的漸近線方程為y=±2x，把y=2x代入拋物線y=+1，得，，∴拋物線y=+1與y=2x不相切，由此排除C．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，在選擇題中合理地運(yùn)用排除法往往能化繁為簡(jiǎn)，節(jié)約答題時(shí)間．7.已知橢圓與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為(

) A． B． C．4 D．10參考答案：C考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用橢圓、雙曲線幾何量之間的關(guān)系，即可求出a的值．解答： 解：由題意，a2﹣4=9+3，∵a＞0，∴a=4．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本小題考查雙曲線與橢圓的關(guān)系，考查圓錐曲線的基本元素之間的關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)雙曲線、橢圓的相應(yīng)知識(shí)也進(jìn)行了綜合性考查．8.若x＞0，y＞0，且2x+y=2，則的最小值是（） A．2 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先根據(jù)2x+y=2求得x+=1，進(jìn)而可把求的最小值轉(zhuǎn)化為求（x+）（）的最小值，然后展開后利用基本不等式求得其最小值． 【解答】解：∵2x+y=2 ∴x+=1 ∴=（x+）（）=++≥+2=（當(dāng)且僅當(dāng)2x2=y2時(shí)，等號(hào)成立）故選D 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．本題的解題巧妙的利用了x+=1，構(gòu)造出了基本不等式的形式，求得問(wèn)題的答案． 9.取一個(gè)正方形及其外接圓，隨機(jī)向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出豆子落入正方形外對(duì)應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“外接圓”的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，由已知易得：S正方形=1S外接圓=故豆子落入正方形外的概率P==故選B．10.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，則此三角形有（）A．一解B．兩解C．無(wú)解D．無(wú)窮多解參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=cos3的導(dǎo)數(shù)是_________參考答案：12.已知是等比數(shù)列，，則公比=

參考答案：13.命題“若實(shí)數(shù)a滿足a≤3，則a2＜9”的否命題是

命題（填“真”、“假”之一）．參考答案：真考點(diǎn)： 四種命題．專題： 簡(jiǎn)易邏輯．分析： 寫出該命題的否命題并判斷真假．解答： 解：命題“若實(shí)數(shù)a滿足a≤3，則a2＜9”的否命題是“若實(shí)數(shù)a滿足a＞3，則a2≥9”，它是真命題，因?yàn)閍＞3時(shí)，a2＞9，∴a2≥9成立．故答案為：真．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了四種命題之間的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了命題真假的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．14.已知總體的各個(gè)個(gè)體值由小到大依次是2，3，3，7，a,b,12,13.7,18.3,20,且總體中位數(shù)為10.5，若要使總體方差最小，則a,b的值分別是_____________參考答案：10.5,

10.5.15.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的最大值是__________．參考答案：6∵時(shí)，不等式恒成立∴，即設(shè)，∵∴∴∴∴的最大值為6故答案為6

16.已知函數(shù)在處取得最大值，則參考答案：17.已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是

.參考答案：x+3y=0

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某市2017年房地產(chǎn)價(jià)格因“棚戶區(qū)改造”實(shí)行貨幣化補(bǔ)償，使房?jī)r(jià)快速走高，為抑制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲，政府從2018年2月開始采用實(shí)物補(bǔ)償方式（以房換房），3月份開始房?jī)r(jià)得到很好的抑制，房?jī)r(jià)漸漸回落，以下是2018年2月后該市新建住宅銷售均價(jià)的數(shù)據(jù)：月份x34567y（百元價(jià)格/平方米）8382807877

（1）研究發(fā)現(xiàn)，3月至7月的各月均價(jià)y（百元/平方米）與月份x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y（百元價(jià)格/平方米）關(guān)于月份x的線性回歸方程；（2）用表示用（1）中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的銷售均價(jià)的估計(jì)值，3月份至7月份銷售均價(jià)估計(jì)值與實(shí)際相應(yīng)月份銷售均價(jià)差的絕對(duì)值記為，即，．現(xiàn)從5個(gè)數(shù)據(jù)，，，，中任取2個(gè)，記取到的2個(gè)數(shù)據(jù)和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．注意幾點(diǎn)：①可供選擇的數(shù)據(jù)，；②參考公式：回歸方程系數(shù)公式，；參考答案：（1）（2）見解析【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，求得，根據(jù)公式求得，進(jìn)而得到，即可求得關(guān)于的回歸方程。（2）利用（1）中的回歸方程，求得，得到隨機(jī)變量的值，進(jìn)而求得的可能取值為，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，利用公式，即可求解數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）由表格中的數(shù)據(jù)，可得，所以，則，所以關(guān)于的回歸方程。（2）利用（1）中的回歸方程，可得，所以，所以的可能取值為，則，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0.20.40.60.8P

期望?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，求得隨機(jī)變量的取值，準(zhǔn)確計(jì)算相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題。19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，其中，，AB=AD=2，DC=1．側(cè)面正△PAD所在平面與底面垂直．在棱PB上取一點(diǎn)E，使直線PD∥平面ACE．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求證：二面角P-AC-D與E-AC-B大小相等．

參考答案：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)O，則．由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD．

………………2分連結(jié)OB．設(shè)．顯然，△BAO≌△ADC，于是，由知，即．

………………3分又由平面ABCD，知．故平面POB．

………………4分所以．

………………5分（注：也可用三垂線定理；在底面上的證明可以略寫）（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于F，連結(jié)EF，則EF是平面PDB與平面ACE的交線．直線PD∥平面ACE，PD∥EF．

………8分．

……10分（Ⅲ）由平面POB可知，分別是二面角與的平面角．

……12分作于．在中，．故．又，故．．即．

所以，二面角與的大小相等．

………………15分22.20.已知雙曲線的離心率，過(guò)A（a，0），B（0，﹣b）的直線到原點(diǎn)的距離是．（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線y=kx+5（k≠0）交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由離心率為可得①，原點(diǎn)到直線AB的距離是，得=②，由①②及c2=a2+b2可求得b，a；（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，得x的二次方程，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點(diǎn)是E（x0，y0），由C，D都在以B為圓心的圓上，得kBE==﹣，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得k的方程，解出即可；【解答】解：∵（1）①，原點(diǎn)到直線AB：的距離==②，聯(lián)立①②及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求雙曲線方程為．（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，整理得（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0．設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中點(diǎn)是E（x0，y0），則，=，y0=kx0+5=，kBE==﹣，∴x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程、雙曲線方程及其位置關(guān)系，考查圓的性質(zhì)，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．21.已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲線y=f（x）與x軸切于原點(diǎn)O．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；（2）由題意可得（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1為二次方程x2+mx﹣n=0的兩根，即可得到m，n的值，進(jìn)而得到m+n的值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲線y=f（x）與x軸切于原點(diǎn)O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即為[（x﹣1）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=ex﹣x﹣1，設(shè)h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1，當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）≥0，h（x）遞增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）遞增，可得g（x）≥g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≥0；當(dāng)x≤0時(shí)，h′（x）≤0，h