材料力學(xué)講義六

材料力學(xué)講授:顧志榮同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第四章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例二外力偶矩、扭矩和扭矩圖三圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算五扭轉(zhuǎn)超靜定問題六矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)七薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例對稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例mmmm第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例這些構(gòu)件的受力特點(diǎn):所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。變形特點(diǎn):桿件的任意兩個(gè)橫截面都繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。第四章扭轉(zhuǎn)二外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖1外力偶矩的計(jì)算外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖2求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圓軸橫截面上的內(nèi)力—扭矩右手定則：右手四指內(nèi)屈，與扭矩轉(zhuǎn)向相同，則拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向與截面外法線相同，規(guī)定扭矩為正，反之為負(fù)。第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩符號(hào)規(guī)定：4扭矩的符號(hào)規(guī)定—右手螺旋法則mIImIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題已知圓軸受外力偶矩mA、mB、mC作用而處于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)，試求1-1、2-2截面上的扭矩。１１２２已知圓軸受外力偶矩作用，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。則１１２２用截面法求內(nèi)力：１１11扭矩第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖１１２２１１２２截面2-2上的內(nèi)力：２２第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖（+）１１２２5扭矩隨圓軸橫截面的位置變化的圖線—扭矩圖（-）扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖例題圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置更換放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力偶矩分別為解：IIIIIIIIIIII第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖ACBD（-事）扭矩除Mn突-圖（+誦）（在何CA傍段和最A(yù)D爬段）IIIIIIIIIIII第四陡章咳扭粥轉(zhuǎn)/米二杠外力艦偶矩腔、扭善矩和石扭矩償圖將A牽、D偽輪的顫位置稍更換匹，則ACBD扭矩煌Mn察-圖（-）（A允D段立）因此大將A惜、D舅輪的位置張更換珠不合企理。IIIIIIIIIIII第四臨章束扭壘轉(zhuǎn)/耗二悲外力京偶矩完、扭佳矩和綱扭矩定圖課堂旺練習(xí)圖示夕圓軸導(dǎo)中，鵲各輪濫上的廳轉(zhuǎn)矩兵分別笨為mA＝4資kN狐·m歪，煉mB＝1丘0k舍N·m,子mC＝6厲kN·m，咬試求葬1－算1截寒面和犯2－沾2截定面上怪的扭遲矩，大并畫嗽扭矩竊圖。1122輪軸軸承6K麥Nm4K買Nm第四聰章殺扭蕩轉(zhuǎn)/炕二何外力皮偶矩豆、扭批矩和舒扭矩鴉圖第四桃章為扭咬轉(zhuǎn)三保圓軸供扭轉(zhuǎn)賊時(shí)的哈強(qiáng)度夸計(jì)算第四還章怕扭志轉(zhuǎn)/螞三泊圓軸跨扭轉(zhuǎn)互時(shí)的執(zhí)強(qiáng)度慨計(jì)算1芬受扭頌圓軸密橫截立面上定的剪撥應(yīng)力（1描）公泄式推郵導(dǎo)的設(shè)思路應(yīng)力翠分布應(yīng)力刃公式變?nèi)滦螒?yīng)變符分布平面假定物性關(guān)系靜力方程MeMe平面輛假定變形都幾何1拘受扭砌圓軸溉橫截院面上刻的剪藍(lán)應(yīng)力（2廟）公遠(yuǎn)式推血導(dǎo)過西程dxMnMndxIp截面啞的極頸慣性漏矩dxTTdxIp截面磁的極扣慣性航矩(3書)受勺扭圓守軸橫爽截面第上的惡剪應(yīng)謹(jǐn)力計(jì)酬算公翠式扭轉(zhuǎn)適截面曠系數(shù)(3己)受亂扭圓捷軸橫跪截面紙上的棗剪應(yīng)圈力計(jì)標(biāo)算公醬式:實(shí)心抱圓截就面空心零圓截背面P1=1兆4k窗W,P2=P3=P1/2仇=7兔k妻Wn1=n2=筋12箭0r鏈/m默inn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例題冒已知：P1＝1驅(qū)4k縱W,n1=n2=管12缺0r級/m首in展,z1=3迅6,z3=1騎2;d1=7蕩0m湖m,d2=5喪0m魂m,d3=3擊5m膝m.度P2＝p3＝p1／2御。求:魄各軸橫截鏟面上鞋的最則大切散應(yīng)力。解：第四格章趟扭芬轉(zhuǎn)/鈔三異圓軸敬扭轉(zhuǎn)龍時(shí)的忙強(qiáng)度悅計(jì)算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四澡章薄扭姑轉(zhuǎn)/族三姜圓軸來扭轉(zhuǎn)丙時(shí)的燥強(qiáng)度湯計(jì)算2賠受扭界圓軸董任意源斜截波面上絞的應(yīng)烏力分他析第四膏章四扭蜻轉(zhuǎn)/聾三嚼圓軸瓦扭轉(zhuǎn)繞時(shí)的囑強(qiáng)度扒計(jì)算鑄鐵低碳樸鋼鑄鐵刊試件艙受扭趨為什傅么沿表45渾o螺霞旋面普斷開欠？低碳裁鋼試萬件受萍扭為怖什么扔沿橫午截面柄斷開彼？mmAτττAτefef第四維章基扭末轉(zhuǎn)/宅三宮圓軸齊扭轉(zhuǎn)掀時(shí)的咸強(qiáng)度伸計(jì)算討論摧:τττσmaxσminτ第四條章斑扭巨轉(zhuǎn)/斧三些圓軸局扭轉(zhuǎn)經(jīng)時(shí)的慘強(qiáng)度耍計(jì)算第四贏章報(bào)扭桐轉(zhuǎn)/弓三介圓軸科扭轉(zhuǎn)游時(shí)的連強(qiáng)度鞋計(jì)算3把圓軸百扭轉(zhuǎn)合時(shí)的何強(qiáng)度似條件為保怎證圓煩軸安云全工判作，糟要求像軸內(nèi)臉的最但大工麥作切田應(yīng)力貧不超積過材讓料的棒許用蜻切應(yīng)啞力，斬即：

式中的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn),并考慮適當(dāng)?shù)墓ぷ靼踩禂?shù)確定的.第四宰章旨扭贈(zèng)轉(zhuǎn)四致圓軸緩扭轉(zhuǎn)嚴(yán)時(shí)的介剛度皮計(jì)算第四犁章耐扭崇轉(zhuǎn)/唇四丈圓軸掌扭轉(zhuǎn)項(xiàng)時(shí)的腥剛度委計(jì)算1僑扭轉(zhuǎn)撒角脅與剪景切角mm第四未章忽扭森轉(zhuǎn)/糞四友圓軸房誠扭轉(zhuǎn)寧時(shí)的劍剛度溫計(jì)算2插圓軸牙扭轉(zhuǎn)犧時(shí)的萄變形暗計(jì)算如圖比所示猶階梯倘軸。膽外力背偶矩m1＝0拴.8巖KN悲·m哭，m2＝2特.3綢KN撫·m均，m3＝1鴿.5博KN用·m或，A釣B段丘的直愉徑d1＝4仍cm臘，B啟C段懶的直捎徑d2＝7葛cm單。已腥知材蓄料的敢剪切悅彈性藝模量懸G＝即80葉GP拘a，融試計(jì)餅算φAB和φAC。0.噸8k亂N·剝m1.鉛5k帖N·狼m0.8m1.0mABC例題圖示旅一空轟心傳精動(dòng)軸漁，輪紛1為謎主動(dòng)囑輪，礦力偶?xì)灳豰1＝9廢KN誦·m蓮，輪肝2、壤輪3鵝、輪漂4為繪從動(dòng)斃輪,害力偶鎖矩分銳別為m2＝4覽KN灶·m惱，m3＝3饞.5榮KN撤·m招，m4＝1朝.5屋KN術(shù)·m斯。已蝕知空銷心軸杯內(nèi)外陣徑之拘比d志/D櫻＝1剖/2糞，試唇設(shè)計(jì)遇此軸屬的外洽徑D叮，并暢求出蛋全軸軌兩端咽的相水對扭扮轉(zhuǎn)角φ24。G澤＝8訴0G躍Pa巖，［榜τ］＝6抄0M怨Pa鋼。5k舟N1.跨5k隙N4k沾N500500500例題已知滋鉆探痛機(jī)桿躲的外涌徑D度=6考0m笛m，易內(nèi)徑既d=催50怒mm摧，功牌率P晃=7日.3利5k巷W，甚轉(zhuǎn)速乘n=么18洞0r困/m綢in因，鉆論桿入誰土深說度L添=4魚0m濁，G惜=8插0G濃Pa封，[米τ]重=4蜻0M息Pa泊。設(shè)蟲土壤寺對鉆烏桿的腎阻力還是沿熟長度衛(wèi)均勻鈔分布臂的，鞏試求似：（卵1）懇單位扎長度口上土確壤對唇鉆桿巧的阻剪力矩m；（冤2）響作鉆新桿的淘扭矩放圖，驕并進(jìn)姓行強(qiáng)蠢度校洗核；占（3激）求升A、飾B兩稍截面某相對講扭轉(zhuǎn)房誠角。單位夏長度貝阻力武矩例題一內(nèi)勿徑為織d、騎外徑葛為D巴=2讓d的改空心疫圓管咽與一臂直徑胸為d陜的實(shí)靈心圓乖桿結(jié)懶合成魯一組別合圓朱軸，餐共同綁承受者轉(zhuǎn)矩定Me。圓戒管與皺圓桿莫的材犧料不心同，肯其切另變模怖量分笨別為毫G1和G2，且積G1=G2/2園，假擔(dān)設(shè)兩際桿扭返轉(zhuǎn)變禁形時(shí)恢無相碗對轉(zhuǎn)吳動(dòng)，部且均尼處于弦線彈綁性范宰圍。飾試問變兩桿馳橫截甘面上價(jià)的最灘大切熱應(yīng)力免之比盼τ1/τ2為多委大？杰并畫餓出沿哪半徑蛋方向峰的切趨應(yīng)力債變化腫規(guī)律逗。因兩澡桿扭蛾轉(zhuǎn)變縣形時(shí)醉無相瓣對轉(zhuǎn)伴動(dòng)例題第四塑章雖扭累轉(zhuǎn)/塊四爐圓軸累扭轉(zhuǎn)航時(shí)的交剛度屆計(jì)算3賴圓軸棗扭轉(zhuǎn)掌時(shí)的糕剛度鳥條件要求南單位要長度綿的扭董轉(zhuǎn)角思不超忽過某攀一許湯用值躁,即余:試分近別按賊實(shí)心懼圓軸碑和空桃心圓事軸選帝擇其析直徑逝，并萄比較瓦二種醫(yī)截面儲(chǔ)軸之遙重量柴。解：1.計(jì)算外力偶矩畫扭矩圖。例1：鋼制傳動(dòng)軸已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，輸入功率:NA＝360kW，輸出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危險(xiǎn)規(guī)截面衛(wèi)：A繼C段漁。2.選擇實(shí)心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件2.選擇空心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件由此謙應(yīng)選辜直徑曾D=蜜11安.6漆cm歇，d航＝D死／2斤＝5評.8護(hù)cm3.重量比由此應(yīng)選直徑解：由傳愁動(dòng)軸表的尺籮寸計(jì)樸算抗誼扭截鎮(zhèn)面模別量：軸的啦最大蒸剪應(yīng)究力例題2某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為Mx=1500N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知[]=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑為？所以呼此軸它安全示。若此縣軸改妙為實(shí)沖心軸隙，而式中解得淋：實(shí)心誕軸的嫌橫截筍面面免積為空心盆軸的挽橫截感面面祖積空心目軸與能實(shí)心優(yōu)軸的景重量亮之比竭：因此干在承識(shí)載能仇力相材同的嚼條件槐下，雅使用戚空心恨軸比喬較節(jié)約材贏料、棗比較牛經(jīng)濟(jì)瞇。采用幼空心臺(tái)軸可賢有效炮地減命輕軸波的重缸量，少節(jié)約掉材料釀。因?yàn)棰俑鶕?jù)伐應(yīng)力錯(cuò)分布面規(guī)律枯，軸心總附近職處的炊應(yīng)力遵很小漏，對磁實(shí)心縮慧軸而豆言，座軸心附斬近處頁的材內(nèi)料沒完有較回好地乘發(fā)揮汪其作耐用；②從截監(jiān)面的閃幾何蚊性質(zhì)右分析撇，橫截障面面身積相伶同的術(shù)條件斧下，副空心通軸材話料分布期遠(yuǎn)離禿軸心閃，其儉極慣大性矩Ip必大弱于實(shí)旗心軸墳，扭矛轉(zhuǎn)截學(xué)面系螺數(shù)Wp也比較大連，強(qiáng)恩度和朗剛度纖均可蠻提高患；③通邊常所難講保度持強(qiáng)若度不扣變，榮即指警最大夜切應(yīng)揚(yáng)力值筋不變招；保盆持剛薯度不寺變，故即指毀截面低圖形咸極慣塘性矩句保持溜不變抄。④對欄于軸手的強(qiáng)滿度或算剛度飲，采念用空架心軸販比實(shí)虹心軸氏都較倍為合鍋理。例題3圖示等截面圓軸，已知d=90mm,l=50cm,,。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔的孔徑d′應(yīng)為多大？AllBCd1122AllBCd（+禮）（-甲）扭矩叨圖解：(1無)軸逮的最紙大剪瘋應(yīng)力作扭限矩圖球：2211因此AllBCd（2桿）扭此轉(zhuǎn)角截面也B：截面陰CAllBCd（3柿）B叢C段武孔徑蒼d’由得解得浴：AllBCd例題影4圖示屈圓截席面桿志AB瓜左端晃固定仰，承痛受一利集度即為t身的均戒布力抽偶矩烈作用造。試糕導(dǎo)出奔計(jì)算老截面透B的姥扭轉(zhuǎn)助角公挎式。Lt

xdx解：取微獵段作因?yàn)檠袡?quán)究對甘象。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根據(jù)機(jī)平衡詢條件騙求得犧橫截瀉面上野的扭矩為男：微段美兩端箭截面調(diào)的相蓮對扭嘴轉(zhuǎn)角艦為AB因此LtAB第四玻章凡扭杏轉(zhuǎn)五譜扭轉(zhuǎn)銳超靜紹定問昨題扭轉(zhuǎn)桑超靜燒定問健題的揭解法選：（1爸）建毯立靜慌力平簡衡方現(xiàn)程；（2茫）由鬧變形腫協(xié)調(diào)垃條件粘建立啟變形天協(xié)調(diào)搜方程夏；（3）應(yīng)用扭矩與相對扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系：，代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補(bǔ)充方程；（4咱）補(bǔ)瞎充方窩程與談靜力溪平衡怨方程坐聯(lián)立舟，求戴解所壤有的鈔未知冬反力偶伸或扭覺矩。例題爺6一兩挨端固槍定的姻圓截遭面桿抬AB蛛受力僚偶矩劉作用根如圖離。要饒求：1）作室扭矩恢圖；夕2）裳若m藏=1數(shù)0K肅N.擾m,原材料叫的[]=搞60取MP扒a，多試選芹擇此丸等直保圓截治面桿越直徑卡。MABClMDll例題浙7一組幅合桿馬由實(shí)夢心桿劇1和麻空心屈管2秋結(jié)合僑在一愿起所插組成貪，桿屯和管賴的材普料相驅(qū)同。師剪切甚模量聯(lián)為G遷,試晶求組疤合桿拋承受充外力陜偶矩m以后前，桿溜和管椒內(nèi)的欣最大拿剪應(yīng)矩力，痕并繪便出橫借截面剩上應(yīng)抹力分遲布的泊規(guī)律聞。如秘果桿鐵和管杠的材叨料不牢相同蝴，結(jié)乞果又縱怎樣牙？12Mn12解：（1窄）靜朋力學(xué)在關(guān)系（2夠）變棋形協(xié)半調(diào)條協(xié)件（3于）物橋理關(guān)抬系：代入鑼變形取協(xié)調(diào)火方程魂，得莖補(bǔ)充驚方程（4循）補(bǔ)喪充方乞程與臭靜力逼平衡孫方程遣聯(lián)立犬，解引得（5糊）最仙大剪傾應(yīng)力桿1錘：管2滲：第四型章輕扭遞轉(zhuǎn)六瞎矩形鮮截面形桿的芬自由蔬扭轉(zhuǎn)自由餐扭轉(zhuǎn)勻：非圓饑截面嗎軸扭篇轉(zhuǎn)時(shí)緞，橫蔬截面推不再霞保持致平面內(nèi)而發(fā)倘生翹刺曲。約束朗扭轉(zhuǎn)億：橫截逮面可驅(qū)以自狐由翹晶曲。橫截猶面的支翹曲滔受到充限制能。橫截竿面上放只有流切應(yīng)矩力而無手正應(yīng)吼力橫截優(yōu)面上槍既有工切應(yīng)孫力又鹽有正仙應(yīng)力矩形耐截面垮軸扭無轉(zhuǎn)時(shí)于切應(yīng)咱力的欄分布導(dǎo)特點(diǎn)角點(diǎn)眨切應(yīng)劉力等決于零邊緣特各點(diǎn)窩切應(yīng)柱力沿憐切線而方向最大森切應(yīng)值力流發(fā)生菠在長邊義中點(diǎn)T分別模計(jì)算他兩種線截面侄桿最廈大切慰應(yīng)力圓桿：矩形劫桿：查表孕：β修＝0予.8次01分別勝計(jì)算剖兩桿瘡截面吐面積圓桿畢：矩形漂桿：矩形欲截面超面積境與圓父形面援積相艦近，朋但是陷最大疾切應(yīng)瞇力卻漏增大穩(wěn)了近夜一倍耽，因沉此工仿程中兇應(yīng)盡歲量避錦免使?jié)镁睾刃谓鼗鏃U嚇作扭坡轉(zhuǎn)桿嘴件。例題娛一林圓形為截面撲桿和陣矩形昂截面摧桿受摘到相胸同扭艱矩T鑒=4語00寧N·撤m作輔用，擇圓桿