數(shù)值分析第7章答案

word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章1第七章非線性方程求根一、重點內(nèi)容提要〔一〕問題簡介求單變量函數(shù)方程f(x)0(7.1)的根是指求x*〔實數(shù)或復(fù)數(shù)〕，使得f(x*)0.稱x*為方程(7.1)的根,也稱x*為函數(shù)f(x)的零點.假設(shè)f(x)可以分解為f(x)(xx*)mg(x)其中m為正整數(shù),g(x)滿足g(x)0,那么x*是方程(7.1)的根.當(dāng)m=1時,稱x*為單根;當(dāng)m>1時,稱x*為m重根.假設(shè)g(x)充分光滑,x*是方程(7.1)的m重根,那么有f(x*)f'(x*)...f(m1)(x*)0,f(m)(x*)0假設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(a)f(b)0,那么方程(7.1)在(a,b)內(nèi)至少有一個實根,[a,b]為方程(7.1)的有根區(qū)間.有根區(qū)間可通過函數(shù)作圖法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的幾種常用方法1.二分法設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),f(a)f(b)0,那么f(x)0在(a,b)內(nèi)有根x*.再設(shè)x01f(x)0在(a,b)內(nèi)僅有一個根.令a0a,b0(a0b0)b,計算2和f(x0).假設(shè)f(x0)0那么x*x,完畢計算;假設(shè)f(a0)f(x0)0,那么令a1x0,b1b,得新的有根區(qū)間[a1,b1];假設(shè)f(a0)f(x0)0,那么令aab1x得新的有根區(qū)間10,,b1a11a0)x11b1)[a1,b1].[a0,b0](b0(a1計算f(x1),同上法[a1,b1],2.再令2得出新的有根區(qū)間[a2,b2],如此反復(fù)進展,可得一有根區(qū)間套...[an,bn][an1,bn1]...[a0,b0]且anx*bn,n0,1,2,...,bnan1(bn1a1)...1n(b0a0)22.lim(bnan)0,limxnlim1bn)x*(an故nnn2word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章2因此,xn1(anbn)可作為f(x)0的近似根,且有誤差估計2|xnx*|2n11(ba)(7.2)2.迭代法將方程式(7.1)等價變形為x(x)(7.3)假設(shè)要求x*滿足f(x*)0那么x*(x*);反之亦然.稱x*為函數(shù)(x)的一個不動點.求方程(7.1)的根等價于求(x)的不動點由式(7.3)產(chǎn)生的不動點迭代關(guān)系式(也稱簡單迭代法)為xk1(xk),k0,1,2...(7.4)函數(shù)(x)稱為迭代函數(shù).如果對任意xk1(xk),k0,1,2...,由式(7.4)產(chǎn)生的序列xk有極限limxkx*k那么稱不動點迭代法(7.4)收斂.定理7.1(不動點存在性定理)設(shè)(x)C[a,b]滿足以下兩個條件:1.對任意x[a,b]有a(x)b;2.存在正常數(shù)L1,使對任意x,y[a,b],都有|(x)(y)||xy|(7.5)那么(x)在[a,b]上存在惟一的不動點x*.定理7.2(不動點迭代法的全局收斂性定理)設(shè)(x)C[a,b]滿足定理7.1中的兩x[a,b],由(7.4)式得到的迭代序列xk收斂.到(x)的不動個條件,那么對任意0點,并有誤差估計式|xkx*|Lxk1||xk(7.6)1L|xkx*|Lkxk1|和|xk(7.7)1L定理7.3(不動點迭代法的局部收斂性定理)設(shè)x*為(x)的不動點,'(x)在x*的某個鄰域連續(xù),且|'(x)|1,那么迭代法(7.4)局部收斂.word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章3收斂階的概念設(shè)迭代過程(7.4)收斂于方程x(x)的根x*,如果迭代誤差ekxkx*當(dāng)k時成產(chǎn)以下漸近關(guān)系式ek1C(常數(shù)C0)ek(7.8)那么稱該迭代過程是p階收斂的.特別地,p=1時稱線性收斂,p>1時稱超線性收斂,p=2時稱平方收斂.定理7.4(收斂階定理)對于迭代過程(7.4),如果(K)(x)在所求根x*的鄰近連續(xù),并且'(x*)''(x*)...(p1)(x*)0(p)(x*)0(7.9)那么該迭代過程在點x*的鄰近是收斂的,并有l(wèi)imekp11(p)(x*)kekp!(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法當(dāng)不動點迭代法(7.4)只有線性收斂階,甚至于不收斂時,可用斯蒂芬森迭代法進展加速.具體公式為yk(xk),zk(yk)xk1(ykxk)2xk2ykxkzkk0,1,2,...(7.11)此法也可寫成如下不動點迭代式xk1(xk),k0,1,2,...(x)x((x)x)2(x))2(x)x((7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收斂定理)設(shè)x*為式(7.12)中(x)的不動點,那么x*是(x)的不動點;設(shè)''(x)存在,'(x*)1,那么x*是(x)的不動點,那么斯蒂芬森迭代(7.11)是2階收斂的.3.牛頓迭代法牛頓迭代法是一種特殊的不動點迭代法,其計算公式為xk1xkf(xk),k0,1,2,...其迭代函數(shù)為f'(xk)(7.13)word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章4(x)f(x)xf'(x)牛頓迭代法的收斂速度當(dāng)f(x*)0,f'(x*)0,f''(x*)0時,容易證''(x*)f''(x*)0f'(x*)明,f'(x*)0,,由定理7.4知,牛頓迭代法是平方收斂的,且limek21f''(x*)kek2f'(x*)(7.14)重根情形的牛頓迭代法當(dāng)x*是f(x)0的m重根(m2)時,迭代函數(shù)f(x)'(x*)10(x)x1'(x*)|1.所以牛頓迭代法f'(x)在x*處的導(dǎo)數(shù)m,且|求重根只是線性收斂.假設(shè)x*的重數(shù)m知道,那么迭代式xk1xkmf(xk),k0,1,2,...f'(xk)(7.15)(x)f(x)求重根二階收斂.當(dāng)m未知時,x*一定是函數(shù)f'(x)的單重零點,此時迭代式xk1(xk)f(xk)f'(xk)xkxk[f'(xk)]f(xk)f''(xk)'(xk)k0,1,2,...(7.16)也是二階收斂的.xk1xkf(xk),k0,1,2,...簡化牛頓法如下迭代法f'(x0)稱為簡化牛頓法或平行弦法.牛頓下山法為防止迭代不收斂,可采用牛頓下山法.具體方法見教材.4.弦截法將牛頓迭代法(7.13)中的f'(xk)用f(x)在xk1,xk處的一階差商來代替,即可得弦截法xk1xkf(xk)(xkxk1)f(xk)f(xk1)(7.17)定理7.6假設(shè)f(x)在其零點x*的鄰域:|xx*|內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且對word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章5任意x有fx0,x1充分小時,弦截法(7.17)'(x)0,又初值,,那么當(dāng)鄰域?qū)?51.618p2210的正根.按階收斂到x*.這里p是方程拋物線法弦截法可以理解為用過(xk1,f(xk1)),(xkf(xk))兩點的直線方程的根近似替f(x)0的根.假設(shè)f(x)0xk,xk1,xk2用過的三個近似根word文檔精品文檔分享(x ,f (x ))x,( f,x(kk1k1k所得的迭代法稱為拋物線法2k)x),(f2kx,())f(x)0的根,的拋物線方程的根近似代替,也稱密勒(Muller)法.word文檔精品文檔分享當(dāng)f(x)在x*的鄰近有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f'(x*)0,那么拋物線法局部收斂,且收斂階為p1.8391.84.二、知識構(gòu)造圖三、?？碱}型及典型題精解例7-1證明方程x3x10在[1,2]上有一個實根x*,并用二分法求這個根,要求|xk-x*|10-3.假設(shè)要求|xk-x*|10-6,需二分區(qū)間[1,2]多少次?解設(shè)f(x)=x3故方程f(x)=0在[1,2]x1,那么f(1)=-1<0,f(2)=5>0,上有根x*.又因f'(x)=3x2-1,所以當(dāng)x[1,2]時,f'(x)>0,即f(x)=0在[1,2]上有惟一實根x*.用二分法計算結(jié)果如表7-1所示.7-1kbkxkf(xk)的符號ak0121.5+111.51.25-21.251.51.375+word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章631.251.3751.3125-41.31251.3751.3438+51.31251.13431.3282+61.312581.3204-71.32041.32821.3243-81.32431.32821.3263+91.32431.32821.3253+1.3263此時x=1.3253滿足|x9-x*|10.97710-310-3,可以作為x*的近9210似值.假設(shè)要求|xk-x*|106,只需|xk-x*|110-6即可,解得k+119.932,k+12即只需把[1,2]二分20次就能滿足精度要求.例7-2函數(shù)方程(x-2)ex=1,(1)確定有根區(qū)間[a,b];(2)構(gòu)造不動word文檔精品文檔分享點迭代公式使之對任意初始近似x造的公式計算根的近似值,要求|x0[a,b],迭代方法均收斂;(3)用所構(gòu)kxk1|103.word文檔精品文檔分享解(1)令f(x)=(x-2)ex-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=ex-1>0,因此區(qū)間[2,3]是方程f(x)=0的一個有根區(qū)間.又因f'(x)=(x-1)ex,limf(x)=+,limf(x)=-1,xxf'(1)=-e1-1<0,當(dāng)x>1時f(x)單增,x<1時f(x)單減,故f(x)=0在(-,+)內(nèi)有且僅有一根x*,即x*[2,3].(2)將(x-2)ex=1等價變形為x=2+ex,x[2,3].那么(x)=2+ex.由于當(dāng)x[2,3]時2(x)3,|'(x)|=|-ex|e2<1故不動點迭代法x=2+xk,k=0,1,2,...,對x0[2,3]均收斂.k+1e(3)取x=2.5,利用xk+1=2+xk進展迭代計算,結(jié)果如表7-2所示.0e表7-2kxk|xkxk1|02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.000519761742.1202149760.000622589word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章7此時x4已滿足誤差要求,即x*x4 2.120214976.例73考慮求解方程2cosx3x120的迭代公式xk+1=4+2cosxk,k=0,1,2,...3試證:對任意初始近似x0R,該方法收斂;(2)取x=4,求根的近似值xk+1,要求|xk+1-x|10-3;0k所給方法的收斂階是多少?解(1)由迭代公式知,迭代函數(shù)(x)=4+2cosx,3x(,由于(x)的值域介于(4-2)與(4+2)之間,且).33|'(x)|=|-22sinx|133故根據(jù)定理7.1,7.2知,(x)在(,)內(nèi)存在惟一的不動點x*,且對x0R,迭代公式得到的序列xk收斂于x*.(2)取x=4,迭代計算結(jié)果如表7-3所示.0表7-3kxk|xkxk1|0413.5642375870.43576241323.39199516803541248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此時x5已滿足誤差要求，即x*x53.347529903〔3〕由于'(x*)0.1363231290，故根據(jù)定理7.4知方法是線性收斂的，并limek1'(x*)kek且有。例7-4對于迭代函數(shù)(x)xC(x22)，試討論：〔1〕當(dāng)C為何值時，xk1(xk)(k0,1,2,...)產(chǎn)生的序列xk收斂于2；〔2〕C為何值時收斂最快？11〔3〕分別取C22(x)的不動點2，要求2，，計算word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章8|xk1xk|105解：〔1〕(x)xC(x22)，'(x)12Cx，根據(jù)定理7.3，當(dāng)1C0|'(2)||122C|1，亦即2時迭代收斂。C122時迭代至少是二階〔2〕由定理7.4知，當(dāng)'(2)122C0，即收斂的，收斂最快。C1,11.2，迭代計算結(jié)果如表〔3〕分別取222，并取x07-4所示。表7-4kxk(C1k1)xk(C)22201.201.211.4811.39798989961.41336958621.414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此時都到達(dá)|xk1xk|105.事實上21.414213562...,x0,2例7-50a以及迭代公式給定初值xk1x(k2akx),k0,1,2,...,常數(shù)a0證明:(1)該迭代函數(shù)是二階收斂的;(2)該迭代產(chǎn)生的序列xk收斂的充要條件是|1ax0|1．解:(1)顯然,迭代函數(shù)為(x)x(2ax),且(1)11aa,即a是(x)的不動點.又'(x)2(1ax),''(x)2a,所以'(1)0''(1)2a0a,a，由定理7.4知，limek211''(1)a迭代是二階收斂的，且kek2a．word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章9ekxk11(axk1)，令rkaxk1，那么〔２〕因aaxk1xk(1rk),ek1rka然而rkaxk1axk1(1rk1)1(rk11)(1rk1)1rk21故rk2rk4rk2rk12...0ek1rk1r02kaalimek0limrk0limrk0|r0|1，即|1ax0|1．由此可知k等價于k，而k又等價于注〔１〕的結(jié)論也可以直接用二階收斂函數(shù)的定義去證明．另外，此題迭f(x)1a代式實際上是對x使用牛頓迭代法而得．例7-6對(x)xx3,x0為(x)的一個不動點,驗證迭代xk1(xk)對任意x00不收斂,但改用斯蒂芬森迭代卻是收斂的,并說明斯蒂芬森迭代計算(x)的不動點x0時的收斂階.解由于'(x)13x2,當(dāng)x0時|'(x)|1,且有|xk10||(xk)0||'()(xk0)|,介于xk與0之間,假設(shè)x00,L1,迭代不收.假設(shè)改用斯蒂芬森迭代(7.12),可得xk1(xk),(x)xx3x23x4'(0)23,根據(jù)定理7.3,斯蒂芬森迭代法收斂.20'(0)0時,收斂階p1.(請讀者由于3,故用斯蒂芬森迭代計算不動點x注意,這一結(jié)論與定理7.5的結(jié)論是否矛盾?)例7-7當(dāng)R取適當(dāng)值時,曲線yx2與y2(x8)2R2相切,試用迭法求切點橫word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章10坐標(biāo)的近似值,要求不少于四位有效數(shù)字 ,且不必求R.解yx2的導(dǎo)數(shù)y'2x,由y2(x8)2R2確定的函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)滿足2yy'2(x8)0,由兩曲線相切的條件,可得2x22x2(x8)0即2x3x80令f(x)2x3x8,那么f(1)0,f(2)0,f(x)0在(1,2)內(nèi)有實根.又f'(x)6x210,故f(x)0僅有一個根,構(gòu)造迭代公式xk1(xk),(x)(8x)31,x(1,2)2,那么當(dāng)x[1,2]時,1(x)2.22|'(x)||1(8x)3|L1(1)316263故迭代收斂.取x01.5,計算結(jié)果如表7-5所示.7-5kxk|xkx1|kxk|xxk1|kk01.50.01875221.4826710.00142311.48124831.4825630.00010811032|xx*|L|xx|110331L32,故可取x*x31.483,即可保證兩曲線切由于2點的橫坐標(biāo)的近似值具有四位有效數(shù)字.例7-8曲線yx30.51x1與y2.4x21.89在點(1.6,1)附近相切,試用牛頓迭代法求切點的橫坐標(biāo)的近似值xk1,使|xk1xk|105.解兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為y'3x20.51和y'4.8x,兩曲線相切,導(dǎo)數(shù)相等,故有3x24.8x0.510令f(x)3x24.8x0.51,那么f(1)0,f(2)0,故區(qū)間[1,2]是f(x)0的有根區(qū)word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章11間.又當(dāng)x[1,2]時,f'(x)6x4.80,因此f(x)0在[1,2]上有惟一實根x*.對f(x)應(yīng)用牛頓迭代法,得計算公式xk1xk3xk24.8xk0.51,k0,1,2,...6xk4.8由于f''(x)60,故取x02迭代計算一定收斂,計算結(jié)果如表7-6所示.表7-6kxkkxk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7繼續(xù)計算仍得x61.7,故x*1.7.注此題也可令x30.51x12.4x21.89,解得切點橫坐標(biāo)滿足方程f(x)x32.4x251x2.890,用有重根時的牛頓迭代法(7.15)式計算,此時2.仍取x02,經(jīng)四步可得x*1.7.例7-9(牛頓迭代法收斂定理)設(shè)f(x)在[a,b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件f(a)f(b)0;(2)在[a,b]上f'(x)0,f''(x)0;(3)x0[a,b]滿足f(x0)f''(x0)0.那么由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列xk單調(diào)收斂于f(x)0在[a,b]內(nèi)的惟一實根x*,并且是平方收斂的.證明因f(x)在[a,b]上連續(xù),由條件(1)知,方程f(x)0在(a,b)內(nèi)有根x*.又由于條件(2)知f'(x)在[a,b]上恒正或恒負(fù),所以f(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào),因而x*是f(x)0在(a,b)內(nèi)的惟一實根.條件(1),(2)共有四種情形:(1)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章12(2)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];(3)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b];(4)f(a)0,f(b)0,f'(x)0,f''(x)0,x[a,b].僅就(1)進展定理證明,其余三種情況的證明方法是類似的.由x0[a,b],f(x0)f''(x0)0可知f(x0)0,再由f'(x)0知f(x)單增且x0x*.又由牛頓迭代法知x1x0f(x0)x0f'(x0)又臺勞展開得f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)1f''(0)(xx0)22!其中0介于x與x0之間.利用f(x*)0,得f(x0)f'(x0)(x*x0)1f''(0*)(x*x0)202word文檔精品文檔分享x*x1f(x0)x0f'(x0)*1f''(0)(x*2f'(x0)1f''(0*)(x*x0)22f'(x0)x0)2word文檔精品文檔分享由f'(x) 0,f''(x)0以及前面證明的x1x0,有x* x1x0一般地,設(shè)x*xkxk1,那么必有f(xk)0且xk1xkf(xk)xkf'(xk)同樣由臺勞公式f(x)f(xk)f'(xk)(xxk)1f''(k)(xxk)22!及f(x*)0,得word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章13f(xk)f'(xk)(x*xk)1f''(k*)(x*xk)202x*xkf(xk)1f''(k*)(x*xk)2f'(xk)2f'(xk)xk11f''(k*)(x*xk)2xk1xk2f'(xk)根據(jù)歸納法原理知,數(shù)列xklimxkl單調(diào)下降有下界x*,因此有極限.設(shè)k.對迭xk1xkf(xk)f'(xk)兩端取k的極限,并利用f(x).f'(x)的連續(xù)性知代式f(l)0,即lx*.limxk1x*1f''(x*)由上述證明知,有關(guān)系式k(xkx*)22f'(x*),即對于單根,牛頓迭代法是平方收斂的.例7-10設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(x*)0,f'(x*)0,f''(x*)0,xk是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明xk1xkf''(x*)lim2k(xkxk1)2f'(x*)解牛頓迭代法為word文檔精品文檔分享故其中xk1xkf(xk),k0,1,2,...f'(xk)xk1xkf(xk)f'(xk)xk1xkf(xk)2f'(xk1)(xkxk1)2f'(xk)f(xk1)f(xk)f(x*)[f'(xk1)]2[f(xk1)f(x*)]2f'(xk)f'(k)[f'(xk1)]2(xkx*)f'(xk)[f'(k1)]2(xk1x*)2k介于xk與x*之間,k1介于xk1與x*之間,根據(jù)式(7.14)得word文檔精品文檔分享limxk1xk(xkxk1)2k1f''(x*)2f'(x*)數(shù)值分析第七章14limf'(k)[f'(xk1)]2xkx*22kf'(xk)[f'(k1)](xk1x*)word文檔精品文檔分享例7-11設(shè)f(x)具有連續(xù)的m階導(dǎo)數(shù),x*是f(x)0的m重根(m2),xk是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明limxk1x*11;kxkx*m(1)limxk1xk11;kxkxk1m(2)limxk1xkm.kxk2xkxk1(3)1證明(1)因x*是f(x)0的m重根,那么f(x)可以表示成f(x)(xx*)mh(x),h(x)0所以f'(x)m(xx*)m1h(x)(xx*)mh'(x)(xx*)m1[mh(x)(xx*)h'(x)]xk1xkf(xk)f'(xk)得由牛頓迭代法xk1x*xkx*(xkx*)mh(xk)(xkx*)m1[mh(xk)(xkx*)h'(xk)](xkx*)1h(xk)mh(xk)(xkx*)h'(xk)故limxk1x*11kxkx*m(2)word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章15xk1xkf(xk)f'(xk1)xkxk1f(xk1)f'(xk)(xkx*)mh(xk)(xk1x*)m1[mh(xk1)(xk1x*)h'(xk1)](xk1x*)mh(xk1)(xkx*)m1[mh(xk)(xkx*)h'(xk)]xkx*h(xk)mh(xk1)(xk1x*)h'(xk1)xk1x*h(xk1)mh(xk)(xkx*)h'(xk)利用h(x*)0及(1)的結(jié)論得limxk1xk11;kxkxk1m(x)xf(x)(3)先證明牛頓迭代函數(shù)f'(x)的導(dǎo)函數(shù)'(x)11x*)(xm因x*是f(x)的m重零點,那么由假設(shè),f(x)具有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù),得f(x*)f'(x*)...f(m1)(x*)0,f(m)(x*)0且f(x)1f(m)(1)(xx*)mm!f'(x)(m1f(m)(2)(xx*)m11)!f''(x)12)!f(m)(3)(xx*)m2(m其中1,2,3介于x與x*之間,故有'(x*)f(x)f''(x)m1f(m)(1)f(m)(3)11lim[f'(x)]2limm[f(m)(2)]2mnx*nx*而xk1xkxk1xkxk12xkxk1(xk1xk)(xkxk1)xk1xk1xk1xk'(k)(xk1xk)1'(k)word文檔精品文檔分享所以word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章16limxk1xklim11mxk12xkxk11'(k)kk11(1)m'(x*)11注結(jié)論(1)和m都說明牛頓迭代法求重根時僅為線性收斂.結(jié)論(3)可以用來計算重根數(shù)m.例7-12考慮以下修正的牛頓公式(單點斯蒂芬森方法)f2(x)xk1xkkf(xkf(xk))f(xk)設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(x*)0,f'(x*)0,試證明該方法是二階收斂的.證明將f(xkf(xk))在xk處作臺勞展開,得f(xkf(xk))f(xk)f'(xk)f(xk)1f''()f2(xk)2其中介于xk與xkf(xk)之間,于是f(xkf(xk))f(xk)f'(xk)f(xk)1f''()f2(xk)f(xk)2xk1x*xkx*1f'(xk)f''()f(xk)2由于x*是f(x)0的單根,故f(x)(xx*)h(x),h(x*)0所以f'(xk)h(xk)(xkx*)h'(xk)xk1x*xkx*(xkx*)h(xk)1f''()f(xk)h(xk)(xkx*)h'(xk)2(xkx*)1h(xk)1h(xk)(xkx*)h'(xk))f(xk)f''(2(xkx*)2h'(xk)1f''()h(xk)2h(xk)(xkx*)h'(xk)1f''()h(xk)2word文檔精品文檔分享故word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章17xk1x*h'(x*)1h(x*)f''(x*)lim2(xkx*)2h(x*)k即迭代法是二階收斂的.四、學(xué)習(xí)效果測試題及答案1、證明方程ex10x20在(0,1)內(nèi)有一個實根x*,并用二分法求這個根.假設(shè)要求|xnx*|106,需二分區(qū)間[0,1]多少次?(答案:當(dāng)|xnx*|103時x*x90.090820313對分次數(shù)k120.)2、對方程3x2ex0,確定[a,b]及(x),使xk1(xk)對任意x0[a,b]均收斂,并求出方程的各個根,誤差不超過104.(答1x[a,b][1,0],(x)e2,x*0.4589622673案:(1);(2)1x[a,b][1,0],(x)e2,x*0.9100075723;(3)[a,b][3,4],(x)ln(3x2),x*3.733079028)3、建立一個迭代公式計算222...,分析迭代的收斂性,取x00,計算x6.(答案:xk12xk,k0,1,2,...,x61.999397637.)4、試分別采用1(x)2lnx和2(x)ex2的斯蒂芬森迭代法求方程xlnx2|xkxk1|108在區(qū)間(2,)內(nèi)的根x*,要求xk.(答案:取x03,其解分別為x43.146193220和x53.146193262.)5、由方程f(x)x44x240求二重根x*2,試用牛頓法(7.13),有重根時的牛頓法(7.15),(7.16)計算x*,要求|xk1xk|108.word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章18(答案:三種方法均取x01.5,分別得x241.414213568,x31.414213562,x31.414213562.)6、用弦切法求Leonardo方程f(x)x32x210x200的根,要求|xk1xk|106.(答案:取x01,x22,用式(7.17)得x51.368808108.)7、用拋物線法求解方程x33x10在x02附近的根,要求|xk1xk|106.(答案:取x01,x22,x32.5,x*x61.879385242.)8、試構(gòu)造一個求方程exx2根的收斂的迭代格式,要求說明收斂理由,并求根|xkxk1|1103的近似值xk,使2.(答案:有根區(qū)間[0,1],不動點迭代式xk1(xk)ln(2xk),取x00.5,x*x140.442671724.另外,也可用牛頓迭代法求解得x*x30.442854401.)9、試確定常數(shù)p,q,r,使迭代公式xkpxkqa215xk產(chǎn)生的序列收斂到3a,并使其收斂階盡可能高.可得pq51(答案:利用定理7.49,r9,且'''(3a)0,此時迭代法三階收斂.)10、(x)xp(x)f(x)q(x)f2(x),試確定函數(shù)p(x)和q(x),使求解f(x)0且以(x)為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.p(x)1,q(x)1f''(x)3.(答案:利用定理(7.4)可得f'(x)2[f'(x)])五、課后習(xí)題全解word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章191、用二分法求方程x2x10的正根,要求誤差小于0.05.解設(shè)f(x)x2x1,f(1)10,f(2)10,故[1,2]為f(x)的有根區(qū)間.又011f'(x)2xxf(x)單增,x2時f(x)單增.而1,故當(dāng)2時,當(dāng)f(1)5,f(0)1,由單調(diào)性知f(x)0的惟一正根x*(1,2).根據(jù)二分法的2410.05誤差估計式(7.2)0.05,只需2k115.322,故至知要求誤差小于,解得k少應(yīng)二分6次.具體計算結(jié)果見表7-7.表7-7kakbkxkf(xk)的符號0121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375--x*x51.609375.2、為求x3x210在x01.5附近的一個根,設(shè)將方程改寫成以下等價形式,并建立相應(yīng)的迭代公式:x11xk111(1)x22,迭代公式xk;1(2)x31x2,迭代公式xk1(1xk2)3;x21xk11xk1.(3)x1,迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性,并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似.解取x01.5的鄰域[1.3,1.6]來考察.(1)當(dāng)x[1.3,1.6](x)11[1.3,1.6],|'(x)||2|2L1時,x2x31.33,故迭代公word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章20xk111在[1.3,1.6]上整體收斂.式xk2(2)當(dāng)x[1.3,1.6]時(x)(1x2)1/3[1.3,1.6]|'(x)|2|x2|21.62L0.52213(1x2)33(11.32)31故xk1(1xk2)3在[1.3,1.6]上整體收斂.1111(x),|'(x)||2(x1)3/2|1xk1(3)x12(1.61)故xk1發(fā)散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式計算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字,只需|xkx*|1L|xkxk1|1103L2即|xkxk1|1L11030.5103L2取x01.5計算結(jié)果見表7-8.表7-8kk11.48124803441.46704797321.47270573051.46624301031.46881731461.465876820由于|x6x5|1103x61.466.2,故可取x*3、比擬求ex10x20的根到三位小數(shù)所需的計算量:在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法;2exkxk110,取初值x00.(2)用迭代法解(1)因x*[0,1],f(0)0,f(1)0,故0x*1,用二分法計算結(jié)果見表7-9.7-9kxkbkxk1akf(xk)的符號xk2k1word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章210010.5+0.5100.50.25+0.25200.250.125+0.125300.1250.0625-0.062540.06250.1250.09375+0.0312550.06250.093750.078125-0.01562560.07781250.093750.0859375-0.007812570.08593750.093750.08984375-0.0039062580.089843750.093750.09179687+0.0019531290.089843750.091796875+5100.0898437550.09082031-0.00097656110.090332030.090820312+212120.09033203-0.00048828130.090332030.090820311-114120.09057617+0.000244140.090454100.0905761710.00012207110.090454100.000061030.090515130.0905761715610.090515130.000030510.090576176710.090545653此時|x14x*|10.0000305171104,x*x142152具有三位有效數(shù)字.(2)當(dāng)x[0,0.5]時,(x)[0,0.5],|'(x)|1|ex|L0.82510,故迭代試xk11(2exk)上整體收斂.取x00,迭代計算結(jié)果如表7-10所示.10在[0,0.5]表7-10kxkxkk10.140.09051261620.08948290850.09052646830.09063913560.090524951word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章22|x6x*|L|x6x5|0.000007201104x6準(zhǔn)確到三位小數(shù).此時1L2,故x*4、給定函數(shù)f(x),設(shè)對一切x,f'(x)存在且0mf'(x)M,證明對于X圍02,迭代過程xkxkf(xk)均收斂于f(x)0的根M內(nèi)的任意定數(shù)1x*.證明由于f'(x)0,f(x)為單增函數(shù),故方程f(x)0的根x*是惟一的(假定方程有根x*).迭代函數(shù)(x)xf(x),|'(x)||1f'(x)|,.由020mf'(x)M2,11M0mf'(x)MM得,1f'(x)1m1,故及|'(x)|Lmax{|1m|,|1M|}1,由此可得|xkx*|L|xk1x*|...Lk|x0x*|0(k)limkx*即k.5、用斯蒂芬森迭代法計算第2題中(2)的近似根,準(zhǔn)確到105.13(x)1解記第2題中(2)的迭代函數(shù)2(x)(1x2)2,(3)的迭代函數(shù)為x1,利用迭代式(7.11),計算結(jié)果見表7-11.表7-11k加速〔x〕的結(jié)果xk加速〔x〕的結(jié)果x2k3k01.501.511.46555848511.46734228621.46557123321.46557608531.46557123231.46557123241.4655712326、設(shè)(x)xp(x)f(x)q(x)f(2x),試確定函數(shù)p(x)和q(x),使求解f(x)0且以(x)為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.解要求xk1(xk)三階收斂到f(x)0的根x*,根據(jù)定理7.4,應(yīng)有word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章23(x*) x*, '(x*) 0, ''(x*)0.于是由word文檔精品文檔分享x* x*'(x*)''(x*)2p(x*)f(x*)q(x*)f〔x*〕=x*1p(x*)f'(x*)02p'(x*)f'(x*)p(x*)f''(x*)2q(x*)[f'(x*)]20word文檔精品文檔分享得11f''(x*)p(x*),q(x*)[f'(x*)]3f'(x*)2故取11f''(x)p(x),q(x)3f'(x)2[f'(x)]即迭代至少三階收斂.7、用以下方法求f(x)x33x10在x02附近的根.根的準(zhǔn)確值x*1.87938524...,要求計算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.用牛頓法;(2)用弦截法,取x02,x11.9;(3)用拋物線法,取x01,x13,x22.解f(1)0,f(2)0,f(x)3x233(x21)0,f''(x)6x0,對x[1,2].取x02,用牛頓迭代法x33x12x31xk1xkkkk3xk233(xk21)x11.888888889,x21.879451567,|x2x*|1103,故計算得2x*x21.879451567.(2)取x22,x11.9,利用弦截法xk1xk(xkxk1)f(xk)f(xk)f(xk1)x21.981093936,x31.880840630,x41.879489903,|x4x*|1103得,2,故取word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章24x*x41.879489903.(3)x01,x13,x22.拋物線法的迭代式為xk1xk2f(xk)wsign(w)w24f(xk)f[xk,xk1,xk2]wf[xk,xk1]f[xk,xk1,xk2](xkxk1)迭代結(jié)果為:x31.953967549,x41.87801539,x51.879386866已達(dá)四位有效數(shù)字.8、分別用二分法和牛頓迭代法求xtanx0的最小正根.解顯然x*0滿足xtanx0.另外當(dāng)|x|較小時,tanxx1x3...x2k1...x(0,)x,因此,方程32k1,故當(dāng)2時,tanx( ,3 )x tanx0的最小正根應(yīng)在2 2內(nèi).f(x)xtanx,x(,3)記22,容易算得f(4)2.842...0,f(4.6)4.26...0,因此[4,4.6]是f(x)0的有限區(qū)間.對于二分法,計算結(jié)果見表7-12.7-12kakbkxkf(xk)的符號04.04.64.3+14.34.64.45+24.454.64.525-34.454.5254.4875+44.48754.5254.50625-54.48754.506254.496875-64.48754.4968754.4921875+74.49218754.4968754.49453125-84.49218754.494531254.493359375+94.4933593754.494531254.493445313-|x9x*|11103此時2101024.word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章25f'(x)(tanx)2 0,f''(x)2tanx10假設(shè)用牛頓迭代法求解,由于cos2x,故取x04.6,迭代計算結(jié)果如表7-13所示.7-13word文檔精品文檔分享kxkkxkword文檔精品文檔分享14.54573212244.49341219724.50614558854.49340945834.4941716364.493409458所以xtanx0的最小正根為x*4.493409458.9、研究求a的牛頓公式xk11(xka),x002xk證明對一切且序列是遞減的.x00xk1(xk1a)xk0證法一用數(shù)列的方法,因由2x1知,且kxk1(xk1a)2a,k1,2,3,...2xk1.又由xk11a1,k1xk22a故xk1xk,即xkk1單減有下界a.根據(jù)單調(diào)原理知,xk有極限.易證起極限為a.證法二設(shè)f(x)x2a(a0).易知f(x)0在[0,)內(nèi)有惟一實根x*a.對f(x)應(yīng)用牛頓迭代法,得xk1f(xk)1axk(xk),k0,1,2,...f'(xk)2xk利用例7-9的結(jié)論知,當(dāng)x0a時,xkk0單減有下界limxkaa,且k.當(dāng)x0(0,a)時,word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章26x11(x0a)1[x0a]2aa2x02x0此時,從x起,xkk1單減有下界a,且極限為a.1xk1xkf(xk)10、對于f(x)0f'(xk),證明的牛頓公式Rkxkxk1(xkxk2)21f''(x*)收斂到2f'(x*),這里x*為f(x)0的根.證明見例7-10.11、用牛頓迭代法和求重根的牛頓迭代法(7.15)和(7.16)(書中式(4.13),(4.14))計算方程f(x)(sinxx)205x02.2的一個近似根,準(zhǔn)確到10,初始值f(x)(sinxx)2解2的根x*為2重根,即f'(x)2(sinxx)(cosx1)22用牛頓法迭代公式為(sinxkxk)2xk1xk2x)(cosx1)2(sinx22sinxkxkxk2,k0,1,3,...2cosxk1x0,那么x11.785398,x21.844562,...,迭代到令2x201.895494,|x*1.89549|105.用求重根的迭代公式(7.15),迭代迭代公式為sinxkxkxk1xk2,k0,1,2,...cosxk12x02,那么word文檔精品文檔分享數(shù)值分析第七章27x1 2.000000,x2 1.900996,x3 1.895512,x4 1.895494,x51.895494.四次迭代到達(dá)上面x20的結(jié)果.假設(shè)用公式(7.16),那么有xk1f(xk)f'(xk)xk2f(xk)f''(xk)[f'(xk)]f''(x)2(cosx1)22sinx(sinx1x)將f(x),f'(x)及22