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文檔簡介

湖南省雅禮中學2022-2023學年高三畢業(yè)班質量檢測試題(A)數學試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若實數滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.2.直角坐標系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.3.已知向量,若,則實數的值為()A. B. C. D.4.中,角的對邊分別為,若,,,則的面積為()A. B. C. D.5.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實現(xiàn)目標,現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧,要求每個貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種6.已知集合,則=A. B. C. D.7.如圖,正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對8.已知為正項等比數列,是它的前項和,若,且與的等差中項為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.329.設為等差數列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.11.已知f(x)=是定義在R上的奇函數,則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)12.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數列為等比數列,,則_____.14.給出下列四個命題,其中正確命題的序號是_____.(寫出所有正確命題的序號)因為所以不是函數的周期;對于定義在上的函數若則函數不是偶函數;“”是“”成立的充分必要條件;若實數滿足則.15.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.16.已知,則_____。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達公路,中間設有至少8個的偶數個十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數據如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性;(2)若從所有的路口中隨機抽取4個路口,恰有個路口種植楊樹,求的分布列以及數學期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個種植同一種樹的路口,記總的選取方法數為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.19.(12分)如圖,在平面四邊形中,,,.(1)求;(2)求四邊形面積的最大值.20.(12分)我們稱n()元有序實數組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數.已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數為奇數的n維向量的個數為,這個向量的范數之和為.(1)求和的值;(2)當n為偶數時,求,(用n表示).21.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點.(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點C1到平面B1MC的距離.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

首先畫出可行域,利用目標函數的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數,滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標函數的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.2、D【解析】

根據題干得到點A坐標為,代入拋物線得到坐標為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設直線OA為,設點A坐標為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據一個條件得到關于的齊次式,結合轉化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).3、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數量積,考查了向量的坐標運算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數量積為0,繼而結合條件進行化簡、整理.4、A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面積公式計算.【詳解】由題意,.由得,.故選:A.【點睛】本題考查求三角形面積,考查正弦定理,同角間的三角函數關系,兩角和的正弦公式與誘導公式,解題時要根據已知求值要求確定解題思路,確定選用公式順序,以便正確快速求解.5、B【解析】

分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數.【詳解】如果甲單獨到縣,則方法數有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數有種.故總的方法數有種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算,屬于基礎題.6、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數學運算素養(yǎng).采取數軸法,利用數形結合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點睛】不能領會交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.7、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結構特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.8、B【解析】

設正項等比數列的公比為q,運用等比數列的通項公式和等差數列的性質,求出公比,再由等比數列的求和公式,計算即可得到所求.【詳解】設正項等比數列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負值舍去),則有S5===1.故選C.【點睛】本題考查等比數列的通項和求和公式的運用,同時考查等差數列的性質,考查運算能力,屬于中檔題.9、C【解析】

根據已知條件求得等差數列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數列前項和最值的求法,屬于基礎題.10、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.11、C【解析】

由奇函數的性質可得,進而可知在R上為增函數,轉化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數,所以,即,解得,即,易知在R上為增函數.又,所以,解得.故選:C.【點睛】本題考查了函數單調性和奇偶性的應用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.12、B【解析】

根據交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、81【解析】

設數列的公比為,利用等比數列通項公式求出,代入等比數列通項公式即可求解.【詳解】設數列的公比為,由題意知,因為,由等比數列通項公式可得,,解得,由等比數列通項公式可得,.故答案為:【點睛】本題考查等比數列通項公式;考查運算求解能力;屬于基礎題.14、【解析】

對①,根據周期的定義判定即可.對②,根據偶函數滿足的性質判定即可.對③,舉出反例判定即可.對④,求解不等式再判定即可.【詳解】解:因為當時,所以由周期函數的定義知不是函數的周期,故正確;對于定義在上的函數,若,由偶函數的定義知函數不是偶函數,故正確;當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤;若實數滿足則所以成立,故正確.正確命題的序號是.故答案為:.【點睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎題.15、2【解析】

由題得,再根據求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎題.16、【解析】

由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系式與和角的正切公式。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)沒有(2)分布列見解析,(3)證明見解析【解析】

(1)根據公式計算卡方值,再對應卡值表判斷..(2)根據題意,隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫出分布列,根據期望公式求值.(3)因為至少8個的偶數個十字路口,所以,即.要證,即證,根據組合數公式,即證;易知有.成立.設個路口中有個路口種植楊樹,下面分類討論①當時,由論證.②當時,由論證.③當時,,設,再論證當時,取得最小值即可.【詳解】(1)本次實驗中,,故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對任意,有.證明:因為,所以.設個路口中有個路口種植楊樹,①當時,,因為,所以,于是.②當時,,同上可得③當時,,設,當時,,顯然,當即時,,當即時,,即;,因此,即.綜上,,即.【點睛】本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.19、(1);(2)【解析】

(1)根據同角三角函數式可求得,結合正弦和角公式求得,即可求得,進而由三角函數(2)設根據余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,結合三角形面積公式可求得的最大值,即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】(1),則由同角三角函數關系式可得,則,則,所以.(2)設在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,當且僅當時取等號,由三角形面積公式可得,所以四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦和角公式化簡三角函數式的應用,余弦定理及不等式式求最值的綜合應用,屬于中檔題.20、(1),.(2),【解析】

(1)利用枚舉法將范數為奇數的二元有序實數對都寫出來,再做和;(2)用組合數表示和,再由公式或將組合數進行化簡,得出最終結果.【詳解】解:(1)范數為奇數的二元有序實數對有:,,,,它們的范數依次為1,1,1,1,故,.(2)當n為偶數時,在向量的n個坐標中,要使得范數為奇數,則0的個數一定是奇數,所以可按照含0個數為:1,3,…,進行討論:的n個坐標中含1個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數為;的n個坐標中含3個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數為;的n個坐標中含個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數為1;所以,.因為,①,②得,,所以.解法1:因為,所以..解法2:得,.又因為,所以.【點睛】本題考查了數列和組合,是一道較難的綜合題.21、(1)證明見解析.(2)【解析】

(1)連接AC1,BC1,結合中位線定理可證MN∥BC1,再結合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點,通過等體積法,設C1到平面B1CM的距離為h,則有,結合幾何關系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點;∵M是AB的中

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