結(jié)構(gòu)注冊工程師微分學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.函數(shù)定義:定義域值域設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中定義域：使表達式有意義的實數(shù)全體或由實際意義確定。函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與有限次復(fù)合而成且能用一個式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)2極限

極限定義的等價形式

(以為例)極限存在準則及極限運算法則無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限～～～～～～～～～等價無窮小代換存在(或為)定理(洛必達法則)說明:定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達法則3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例4.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時,為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時,為左導(dǎo)數(shù)

微分:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念例5.設(shè)在處連續(xù),且求解:2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。╇[函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法高階導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）例6.求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例7.求解:關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對該變量求導(dǎo)。4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)例8.

求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解：設(shè)則例9.設(shè)拉格朗日中值定理四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理柯西中值定理函數(shù)封單調(diào)宴性的塔判定慨及極珍值求叉法若定理永1鎖.設(shè)函銳數(shù)則在I內(nèi)單調(diào)遞增(遞蛾減)謝.在開巴區(qū)間I內(nèi)可日導(dǎo),3.葛函踢數(shù)的宣性態(tài)悄:2.波導(dǎo)刊數(shù)的浴幾何目意義極值纖第一獻判別財法且在昆空心遮鄰域內(nèi)有隸導(dǎo)數(shù)巾,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,極值輛第二鼻判別畏法二階峽導(dǎo)數(shù)磁,撫且則在點取極大值;則在點取極小值.例1兵0.確定臺函數(shù)的單萄調(diào)區(qū)終間.解:令得故的單調(diào)凱增區(qū)間哭為的單調(diào)赤減區(qū)間雄為例1傾1.求函申數(shù)的極曉值籍.解:1)扇求葵導(dǎo)數(shù)2)奸求悶駐點令得駐其點3)侍判筒別因故為極小值;又故需殖用第眾一判歲別法屈判別剃.定理傲2.(凹日凸判撿定法嚷)(1)在

I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函堤數(shù)在區(qū)循間I上有訴二階豬導(dǎo)數(shù)凹弧逃凸弧黃的分嘆界點箏為拐種點例1鑼2.求曲卡線的凹聞凸區(qū)障間及撥拐點渠.解:1)痕求2)駝求擁拐點?？梢裳近c坐界標令得對應(yīng)3)窗列雪表判斥別故該羽曲線佳在及上向輛上凹彎,向上磁凸逮,點(曠0啞,計1調(diào))及均為包拐點峽.凹凹凸的連級續(xù)性完及導(dǎo)繳函數(shù)例1居3.廢填叮空題(1步)莫設(shè)函孔數(shù)其導(dǎo)誘數(shù)圖批形如匆圖所亡示,單調(diào)纏減區(qū)鞋間為;極小繞值點純?yōu)?極大衡值點痕為.提示舌:的正才負作f(x)搖的示晉意圖爬.單調(diào)楊增區(qū)都間為;.在區(qū)挖間上是只凸弧壟;拐點關(guān)為提示拼:的正啞負作f(x)賄的示塵意圖蛾.形在映區(qū)間上是黑凹弧訴;則函駐數(shù)f(x)思的圖(2唇)設(shè)函含數(shù)的圖純形如裳圖所蒜示,曲線椒方程田為參例數(shù)方像程切線席方程切向堪量法平廚面方驢程4.堂多元蠟函數(shù)壯微分初法的怎應(yīng)用(1疏)在盆幾何刑中的舊應(yīng)用求曲行線的盟切線寬及法雕平面曲面碗在點M的法向唉量法線咸方程切平同面方皮程法線想方程當(dāng)光集滑曲素面的方掩程為膀顯式切平源面方冤程上求初一點牙,上使壁該點群處的百法線父垂直磚于例1放4.在曲徹面并寫凳出該庭法線反方程斷.提示庸:設(shè)所快求點倒為則該漲點的掃法向?qū)昧繛槔玫闷矫娣ň€完垂直液于平神面點在津曲面眾上說明療:使偏嫌導(dǎo)數(shù)或都為圓0舞的果點稱獵為駐點.極值個必要素條件函數(shù)偏導(dǎo)木數(shù),但駐拒點不池一定只是極喚值點檔.且在愧該點謹取得押極值糕,則有存在(2紋)極腿值與馳最值憲問題極值厲的必評要條喉件與花充分斬條件時,具有壯極值極值槳充分某條件的某晉鄰域性內(nèi)具剩有一躬階和運二階曾連續(xù)勻偏導(dǎo)估數(shù),伸且令則:確1棒)迷當(dāng)A<0才時取宅極大繪值;A>0除時砍取極精小值余.2)吼當(dāng)3)耐當(dāng)時,沒有豆極值練.時,不能央確定,耐需另到行討穩(wěn)論.若函共數(shù)極值者問題無條本件極屬值:條抖件料極該值趙:條件臨極值壟的求耐法:方法乏1索代入距法.求一絡(luò)元函途數(shù)的無川條件展極值粒問題對自開變量偽只有層定義鹿域限趨制對自匯變量陜除定貢義域煮限制浪外,還有背其它貫條件獵限制例如在,轉(zhuǎn)化引入教輔助甘函數(shù)則極遞值點首滿足水:方法孝2技拉格悼朗日逃乘數(shù)鑰法.解該蓋方程臺組，洞得極胡值點選。例1陽5.要設(shè)御計一疑個容你量為則問符題為題求x,y,令解方她程組解:設(shè)x,y,z分別零表示忽長、耍寬、吊高,下水伯箱表忠面積最小彩.z使在功條件水箱