大學(xué)精品課件：現(xiàn)代制造系統(tǒng)(v4.1)7A 直接間接數(shù)據(jù)模型

1、現(xiàn)代制造系統(tǒng),第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析（1-2） 東北大學(xué)秦皇島分校 黃亮 n-,制造系統(tǒng)的研究可分為分析與綜合兩個(gè)階段： 系統(tǒng)分析的目的是了解系統(tǒng)的運(yùn)行原理，以便能夠?qū)π碌南到y(tǒng)設(shè)計(jì)方案的執(zhí)行效果進(jìn)行預(yù)測(cè)，是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。其主要工作為制造系統(tǒng)的建模與性能評(píng)價(jià)（第7、8、9章,系統(tǒng)綜合的目的就是根據(jù)系統(tǒng)分析掌握的原理，構(gòu)造出新的更優(yōu)秀的制造系統(tǒng)。其主要工作為制造系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與控制（第10、11章,使用制造系統(tǒng)模型具有重要意義： （1）有利于加速新系統(tǒng)的研究開(kāi)發(fā)； （2）可降低實(shí)驗(yàn)成本； （3）有利于保證安全； （4）節(jié)省時(shí)間，提高效率； （5）簡(jiǎn)化操作，易于理解。 課程第7章至第9章按照從制

2、造數(shù)據(jù)、制造過(guò)程到制造企業(yè)的順序，由局部到整體，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步介紹制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域的常見(jiàn)模型，以及這些模型的性能分析方法,很顯然，這門課程涉及到的模型不是實(shí)物模型或比例模型，而都是由信息構(gòu)造的虛擬模型。 這樣，不管模型有多復(fù)雜，其根本上都是由數(shù)據(jù)組成的，這些數(shù)據(jù)的來(lái)源包括 （1）直接測(cè)量得到的； （2）間接計(jì)算得到的； （3）通過(guò)預(yù)測(cè)得到的。 本章將按此分類分成三節(jié)介紹這些數(shù)據(jù)的建模方法,第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析,第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析 7.1 直接測(cè)量數(shù)據(jù)模型 7.2 間接計(jì)算數(shù)據(jù)模型 7.3 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)模型,復(fù)習(xí)真值： 在某一時(shí)刻和某一狀態(tài)下， 某量的客觀值或?qū)嶋H值。 絕對(duì)意義

3、上，真值一般是未知的； 相對(duì)意義上，真值是可以獲得的，例如： 公理，例如平面三角形三內(nèi)角之和為180； 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)； 高精度儀器所測(cè)之值； 多次實(shí)驗(yàn)值的平均值,復(fù)習(xí)平均值： 有很多種，在制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域，我們通常只使用算術(shù)平均值（arithmetic mean） 思考：為什么平均值就接近真值,既然平均值只是近似地表達(dá)真值，那如何評(píng)價(jià)這種近似的準(zhǔn)確程度呢？ 相關(guān)概念：誤差。 誤差的計(jì)算方法有很多，制造系統(tǒng)建模領(lǐng)域最常用的是樣本標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation,當(dāng)真值本身也是不確定數(shù)據(jù)時(shí)，均值與標(biāo)準(zhǔn)差難以充分描述真值，這時(shí)常使用概率分布函數(shù)。 例如，正態(tài)分布的概率密度函數(shù),不確

4、定性數(shù)據(jù)的表達(dá)方式： （1）均值； （2）均值 + 標(biāo)準(zhǔn)差； （3）概率分布函數(shù)。 以上方式的表達(dá)效果越來(lái)越好， 但相應(yīng)的計(jì)算也越復(fù)雜， 并且對(duì)樣本數(shù)量的要求也越來(lái)越大,直接測(cè)量數(shù)據(jù)有哪些？ 直接測(cè)量數(shù)據(jù)指生產(chǎn)管理文檔中直接記載的數(shù)據(jù)，服務(wù)于制造過(guò)程建模的主要有 （1）活動(dòng)持續(xù)時(shí)間，例如某道工序的加工時(shí)間、裝配時(shí)間，某種原料的采購(gòu)時(shí)間等。 （2）事件發(fā)生頻率，例如訂單或客戶的到達(dá)頻率，出現(xiàn)不合格品的頻率，設(shè)備出現(xiàn)故障的頻率等。 （3）資源消耗數(shù)量，例如鑄造一個(gè)零件消耗的鑄鐵重量，設(shè)備工作一小時(shí)消耗的平均電量等,7.1 直接測(cè)量數(shù)據(jù)模型,什么樣的概率分布函數(shù)適合描述制造系統(tǒng)中的不確定性數(shù)據(jù)？ 首

5、先是“實(shí)踐出真知”， 記錄一定數(shù)量的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)， 然后轉(zhuǎn)化成概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)， 得到的概率分布通常稱為經(jīng)驗(yàn)分布（empirical distribution）。 經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)源于實(shí)際數(shù)據(jù)，因此準(zhǔn)確度較高，缺點(diǎn)是信息存儲(chǔ)量較大，需要數(shù)據(jù)表記錄,1）對(duì)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的模擬 案例1：記錄某種零件170次采購(gòu)所需的時(shí)間，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下,1.1）經(jīng)驗(yàn)分布（empirical distribution） 將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成經(jīng)驗(yàn)分布， 得到案例1中零件采購(gòu)時(shí)間的概率密度函數(shù)為,與上述經(jīng)驗(yàn)分布的概率密度函數(shù) 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)為,除了（1.1）經(jīng)驗(yàn)分布，人們還常使用標(biāo)準(zhǔn)分布（standard dist

6、ribution）來(lái)描述不確定數(shù)據(jù)。 常用來(lái)描述活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)分布有： （1.2）均勻分布（uniform distribution）； （1.3）三角形分布（triangular distribution）； （1.4）正態(tài)分布（normal distribution）； （1.5）指數(shù)分布（exponential distribution）； （1.6）愛(ài)爾朗分布（Erlang distribution）。 使用標(biāo)準(zhǔn)分布的好處是信息存儲(chǔ)量較小，并且其中有些能夠支持分析類過(guò)程模型的快速計(jì)算，缺點(diǎn)是與實(shí)際分布的差異較大（相對(duì)于經(jīng)驗(yàn)分布,1.2）均勻分布（uniform distributi

7、on） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 服從均勻分布的x落在區(qū)間a, b中長(zhǎng)度相等的任一子區(qū)間內(nèi)的可能性是相等的，所謂的均勻指的就是這種等可能性。在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)我們無(wú)法區(qū)分在隨機(jī)變量x 取不同值的可能性有何不同時(shí)，我們可以假定x 服從均勻分布,分別使用區(qū)間9,13 來(lái)構(gòu)造均勻分布， 用來(lái)模擬案例1中的零件采購(gòu)時(shí)間，得到概率密度函數(shù)圖為,與上述均勻分布的概率密度函數(shù) 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,均勻分布總結(jié)： 均勻分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗(yàn)分布的差異較大，因此用于實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)間的模擬可能產(chǎn)生較大的誤差，僅用于模擬持續(xù)時(shí)間較短的活動(dòng)。 均勻分布的優(yōu)點(diǎn)在于產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)方便（甚

8、至可以用骰子模擬），很多軟件開(kāi)發(fā)工具提供的隨機(jī)數(shù)函數(shù)都直接產(chǎn)生區(qū)間0,1上的均勻分布，是產(chǎn)生其它復(fù)雜概率分布的基礎(chǔ),1.3）三角形分布（triangular distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) a稱之為下限，b稱之為上限，c稱之為眾數(shù),令a =7，b =17，c =11，使用三角形分布來(lái)模擬案例1中的零件采購(gòu)時(shí)間，得到概率分布函數(shù)圖為,與上述三角形分布的概率密度函數(shù)圖 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,三角形分布總結(jié)： 三角形分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗(yàn)分布的很接近，但在變化趨勢(shì)上存在著一定的誤差。 在仿真類過(guò)程模型中，三角形分布經(jīng)常被用于模擬生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)間

9、，但不如正態(tài)分布應(yīng)用得多。 相對(duì)于正態(tài)分布，三角形分布的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，并且可以描述概率密度函數(shù)出現(xiàn)“偏心”的情況,1.4）正態(tài)分布（normal distribution） 正態(tài)分布又名高斯分布（Gaussian distribution），是數(shù)學(xué)、物理和工程領(lǐng)域應(yīng)用得非常廣泛的一種概率分布，其定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 其中，參數(shù)為概率分布的均值，為概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差,卡爾弗里德里希高斯（C. F. Gauss） （1977-1855）德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一。 高斯在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。除

10、了計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之外，高斯還發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，證明了數(shù)論中的二次互反律，提出了微分幾何中的正投影理論等等，貢獻(xiàn)十分之多。 為了紀(jì)念高斯，1989年至2001年流通的10元德國(guó)馬克紙幣上印有高斯的肖像,以兩種參數(shù)對(duì)案例1中的零件采購(gòu)時(shí)間進(jìn)行模擬，得到概率密度函數(shù)圖為 案例1中170次采購(gòu)時(shí)間的均值是11.49天，標(biāo)準(zhǔn)差是2.57，以此構(gòu)造正態(tài)分布記作正態(tài)分布1； 以均值11、標(biāo)準(zhǔn)差1.8構(gòu)造正態(tài)分布記作正態(tài)分布2,與上述正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,正態(tài)分布總結(jié)： 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗(yàn)分布的很接近，比三角形函數(shù)的誤差還小，但不適合描述分布的

11、“偏心”情況。 不一定是與樣本數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)注差一致正態(tài)分布擬合的最好，實(shí)際中往往需要反復(fù)調(diào)整參數(shù)來(lái)追求更高的擬合效果，是個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，常用統(tǒng)計(jì)軟件提供相關(guān)的優(yōu)化功能。 在仿真類過(guò)程模型中，正態(tài)分布經(jīng)常被用于模擬生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)間，是應(yīng)用得最多的一種標(biāo)準(zhǔn)分布,1.5）指數(shù)分布（exponential distribution） 定義： 概率密度函數(shù) 累積分布函數(shù) 指數(shù)分布也稱作負(fù)指數(shù)分布，常用來(lái)描述連續(xù)兩次事件之間的時(shí)間間隔，參數(shù)表示事件發(fā)生的平均頻率，既是函數(shù)的均值，也是方差,案例1中170次采購(gòu)時(shí)間的均值是11.49天， 以1/11.49為構(gòu)造指數(shù)函數(shù)， 則概率密度函數(shù)圖為,與上述指數(shù)分布的概率密

12、度函數(shù)圖 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,指數(shù)分布總結(jié)： 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)從形狀上看與經(jīng)驗(yàn)分布差異非常大，但由于其良好的計(jì)算特性，能夠極大地簡(jiǎn)化多個(gè)指數(shù)分布函數(shù)之間的合并運(yùn)算，因此仍廣泛地應(yīng)用于以排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)為代表的分析類模型中。 指數(shù)分布僅在活動(dòng)持續(xù)時(shí)間較短的情況下模擬誤差較小，對(duì)于案例1這種誤差較大的情況，實(shí)際應(yīng)用時(shí)也常使用（常數(shù)+指數(shù)分布）的方式模擬，如下,將案例1中的生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)間用（常數(shù)10 + 參數(shù)為3.5的指數(shù)分布）模擬， 得到概率密度函數(shù)圖為,與上述（固定值 + 指數(shù)分布概率密度）函數(shù)圖 對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖為,1.6）愛(ài)爾朗分布（Erlang distribution）

13、 愛(ài)爾朗分布按階次分類，k階愛(ài)爾朗分布的概率密度函數(shù)為 一階愛(ài)爾朗分布為指數(shù)分布，即指數(shù)分布為愛(ài)爾朗分布的特例；而30階以上的愛(ài)爾朗分布近似于正態(tài)分布,與指數(shù)分布類似，愛(ài)爾朗分布在排隊(duì)理論中也有一定的應(yīng)用： 案例1：k個(gè)服務(wù)臺(tái)串行處理1件任務(wù)，各個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個(gè)服務(wù)臺(tái)的總服務(wù)時(shí)間服從k階愛(ài)爾朗分布。 案例2：k個(gè)串行完成的任務(wù)在1個(gè)服務(wù)臺(tái)處理，各個(gè)任務(wù)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，并且都服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，則k個(gè)任務(wù)的總服務(wù)時(shí)間服從k階愛(ài)爾朗分布,2）對(duì)事件發(fā)生頻率的模擬 除模擬活動(dòng)時(shí)間之外，離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中另一個(gè)需要模擬的重要對(duì)象是事件發(fā)生的頻率，

14、例如訂單的到達(dá)頻率、不合格品出現(xiàn)的頻率等。 除了（2.1）經(jīng)驗(yàn)分布外，通常情況下，事件的發(fā)生與否可以看做是重復(fù)n次的伯努利試驗(yàn)，則事件的發(fā)生概率服從（2.2）二項(xiàng)分布； 當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大，并且事件的發(fā)生概率很低時(shí)，二項(xiàng)分布又近似等于（2.3）泊松分布,2.2）二項(xiàng)分布（binomial distribution） 二項(xiàng)分布用于表達(dá)n次試驗(yàn)中正好得到k次成功的概率，因此常用于模擬每批產(chǎn)品中的不合格品數(shù)量（第3.3節(jié)）。 其概率密度函數(shù)為 累積分布函數(shù)為,2.3）泊松分布（Poisson distribution） 在二項(xiàng)分布的伯努利試驗(yàn)中，如果試驗(yàn)次數(shù)n很大，二項(xiàng)分布的概率p很小，且乘積=np比較

15、適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來(lái)逼近。事實(shí)上，二項(xiàng)分布可以看作泊松分布在離散時(shí)間上的對(duì)應(yīng)物。 由于泊松分布比二項(xiàng)分布計(jì)算簡(jiǎn)單些，在制造系統(tǒng)建模的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常代替二項(xiàng)分布。特別是對(duì)一段時(shí)間內(nèi)某事件發(fā)生頻率的模擬，泊松分布比二項(xiàng)分布也更符合實(shí)際情況，例如對(duì)訂單到達(dá)頻率、設(shè)備故障頻率等事件的模擬,泊松分布的概率密度函數(shù)為 能夠證明，當(dāng)某種事件在一段時(shí)間內(nèi)的發(fā)生頻率服從泊松分布時(shí)，這些事件的發(fā)生間隔時(shí)間服從指數(shù)分布。 上述性質(zhì)使得泊松分布經(jīng)常在排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型中用于模擬訂單或顧客的到達(dá)頻率,西莫恩德尼泊松（Simeon Denis Poisson） （1781-1840），法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)

16、家和力學(xué)家,泊松最重要的貢獻(xiàn)即為提出描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種常用分布泊松分布； 在固體力學(xué)領(lǐng)域，泊松以材料的橫向變形系數(shù)泊松比而知名； 除此之外，泊松還解決了許多熱傳導(dǎo)、靜電學(xué)、靜磁學(xué)和引力學(xué)等方面的問(wèn)題； 在光的波動(dòng)說(shuō)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)于圓板陰影中央的亮斑也以他命名,3）對(duì)資源消耗量的模擬 相對(duì)于活動(dòng)持續(xù)時(shí)間和事件發(fā)生頻率，制造系統(tǒng)中資源的消耗相對(duì)穩(wěn)定（例如一個(gè)零件總是固定需要一套毛坯），因此采用概率函數(shù)進(jìn)行模擬的相關(guān)研究較少。 對(duì)于存在不確定性的資源消耗（例如原料的采購(gòu)價(jià)格存在浮動(dòng)），常用的模擬手段即為均值，也有一些研究使用（3.1）經(jīng)驗(yàn)分布、（3.2）均勻分布或（3.3）正態(tài)分布進(jìn)行模擬,直接測(cè)量

17、數(shù)據(jù)的建模方法： （1）對(duì)于活動(dòng)持續(xù)時(shí)間的模擬： 經(jīng)驗(yàn)分布；均勻分布；三角形分布；正態(tài)分布；指數(shù)分布；愛(ài)爾朗分布。 （2）對(duì)于事件發(fā)生概率的模擬： 經(jīng)驗(yàn)分布；二項(xiàng)分布（常用于模擬不合格品數(shù)量）；泊松分布（常用于模擬訂單或客戶的達(dá)到頻率）。 （3）對(duì)于資源消耗量的模擬： 均值；經(jīng)驗(yàn)分布；均勻分布；正態(tài)分布,直接測(cè)量數(shù)據(jù)模型的評(píng)價(jià)： 除了經(jīng)驗(yàn)分布直接依據(jù)樣本數(shù)據(jù)產(chǎn)生外，各種標(biāo)準(zhǔn)分布都是對(duì)樣本數(shù)據(jù)的一個(gè)近似模擬，即用一個(gè)連續(xù)的函數(shù)擬合一系列離散的點(diǎn)，函數(shù)曲線與離散點(diǎn)的差異大小即為模型好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 上述評(píng)價(jià)問(wèn)題稱為：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。 例如實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中提及的正態(tài)分布擬合質(zhì)量的檢驗(yàn)方法：卡方檢驗(yàn),擬合優(yōu)度

18、檢驗(yàn)：判斷某標(biāo)準(zhǔn)分布符合一組樣本數(shù)據(jù)。 常用方法（SPSS等常用統(tǒng)計(jì)軟件提供）： K-S檢驗(yàn)（Kolmogorov-Smirnov test）， 音譯作科爾莫格洛夫-斯莫洛夫檢驗(yàn)； A-D檢驗(yàn)（Anderson-Darling test）， 音譯作安德森-達(dá)林檢驗(yàn),實(shí)際數(shù)據(jù)的采集： 實(shí)際生產(chǎn)中使用操作指示單（又稱作業(yè)票）記錄和管理生產(chǎn)數(shù)據(jù)。樣單舉例如下圖,從操作指示單中采集的最重要數(shù)據(jù)是實(shí)動(dòng)工時(shí)，是制造系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。采集時(shí)可根據(jù)操作指示單的下發(fā)與回收時(shí)間計(jì)算。 其次重要的是合格品數(shù)。由于不合格品率通常很低，多數(shù)時(shí)候合格品數(shù)即為原料數(shù)量，需要額外記錄這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候很少,管理信息系統(tǒng)簡(jiǎn)化并加

19、快了數(shù)據(jù)采集工作,虛擬數(shù)據(jù)的產(chǎn)生： 在利用制造系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真預(yù)測(cè)時(shí)，很多情況下，僅根據(jù)采集到的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)難以構(gòu)造出足夠數(shù)量或多樣化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這時(shí)可以參照采集到的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)用于仿真。 通常的步驟為 （1）采集實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)； （2）將實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成經(jīng)驗(yàn)分布或某種標(biāo)準(zhǔn)分布； （3）利用經(jīng)驗(yàn)或標(biāo)準(zhǔn)分布產(chǎn)生虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù),利用經(jīng)驗(yàn)或標(biāo)準(zhǔn)分布產(chǎn)生虛擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)： 首先利用均勻分布產(chǎn)生0-1之間的隨機(jī)數(shù)， 之后以上述隨機(jī)數(shù)為變量，求經(jīng)驗(yàn)概率函數(shù)的反函數(shù),第7章 制造數(shù)據(jù)的建模與分析 7.1 直接測(cè)量數(shù)據(jù)模型 7.2 間接計(jì)算數(shù)據(jù)模型 7.3 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)模型,7.2 間接計(jì)算數(shù)據(jù)模型,

20、在制造系統(tǒng)中，間接計(jì)算得到數(shù)據(jù)主要是投入資源（設(shè)備、能源、資金等）與獲得收益（產(chǎn)量增加、生產(chǎn)周期縮短、不合格品率降低等）之間的關(guān)系。這些關(guān)系數(shù)據(jù)無(wú)法直接測(cè)量，而是通過(guò)其它直接測(cè)量數(shù)據(jù)建立起關(guān)系模型，間接計(jì)算解得。 用于描述數(shù)據(jù)之間關(guān)系的常用模型是多項(xiàng)式模型，相關(guān)的建模與分析工作稱為回歸分析?；仡檶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中回歸分析的分類： 一元線性回歸；一元非線性回歸； 多元線性回歸；多元非線性回歸,一元線性回歸的應(yīng)用案例： 當(dāng)某種零件僅需單個(gè)工人生產(chǎn)時(shí)，其產(chǎn)量通常與生產(chǎn)人數(shù)呈線性關(guān)系,案例1：某散熱器生產(chǎn)車間采用手工方式處理串片工序，該工序配置人數(shù)與串片數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系經(jīng)測(cè)量如下表，求工人人數(shù)與日串片量的關(guān)系,

21、案例1，解題思路： （1）建立線性方程 （2）以b為決策變量，以總殘差最小為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對(duì)于一元線性回歸，可使用正規(guī)方程組（參考實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)回歸分析章節(jié)）求解，也可使用優(yōu)化工具求解，解得b =810,一元非線性回歸的應(yīng)用案例： 當(dāng)一個(gè)大型產(chǎn)品需要多個(gè)工人同時(shí)裝配時(shí)，其生產(chǎn)速度與工人人數(shù)往往呈非線性關(guān)系。 案例2：某壓縮機(jī)裝配人數(shù)與日產(chǎn)量關(guān)系如下表所示，求工人人數(shù)與日產(chǎn)量之間的關(guān)系,案例2，解題思路： （1）建立一元二次方程 （2）以a, b1, b2為決策變量，以總殘差最小為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型求解； （3）對(duì)于一元非線性回歸，可使用多項(xiàng)式回歸、坐標(biāo)系變換等方法求解，也可使用優(yōu)化工具求解,多元線性回歸的應(yīng)用案例： 在有足夠多的記錄數(shù)據(jù)的支持下，多元線性回歸建?？梢蕴幚矶鄠€(gè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)共用一個(gè)測(cè)量工具情況下的分析問(wèn)題,案例3：3臺(tái)設(shè)備共用一個(gè)電表記錄耗電量，各個(gè)設(shè)備的每周生產(chǎn)時(shí)間有明顯差異。假設(shè)3臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)時(shí)的平均功率都穩(wěn)定，求各個(gè)設(shè)備的平均功率,案例3，解題思路： 設(shè)周耗電為y，各設(shè)備周生產(chǎn)時(shí)間x1，x2和x3， 各設(shè)備平均功率為b1，b2和b3千瓦/小時(shí)， 建立回歸方程y=b1x1+b2x2+b3x3， 記錄3周以