一階微分方程習題課

一階微分方程習題課基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.全微分方程6.線性方程7.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4歐拉方程二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對應(yīng)項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容1、五種標準類型的一階微分方程的解法(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法(2)齊次型方程解法作變量代換一、主要內(nèi)容可化為齊次的方程解法化為齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．(5)全微分方程形如其中注意：解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為用直接湊全微分的方法.可化為全微分方程形如公式法:觀察法:熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通過觀察直接找出積分因子．2。各類方程的內(nèi)在聯(lián)系

三種基本類型變量可分離一階線性全微分方程其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化成基本類型三種基本類型代表三種典型解法分離變量法常數(shù)變易法全微分法變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法微分方程解題思路一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非全微分方程非變量可分離冪級數(shù)解法降階作變換作變換積分因子3、一階方程解題程序分離變量Y解方程NY解方程N積分因子YN齊次型一階線性Bernoulli二、典型例題例1求一微分方程使其通解為解由求導得再求導再求導例2解原方程可化為代入原方程得分離變量兩邊棵積分所求穴通解搶為例3解原式維可化客為伯努仇利方磨程原式衰變?yōu)橐浑A喚線性淋非齊遮方程對應(yīng)寸齊方春通解踢為利用釋常數(shù)潑變易凳法代入竿非齊調(diào)方程奶得原方哥程的斗通解剩為例4解方程帥為全看微分樂方程.(1織)利用辱原函提數(shù)法細求解:故方督程的身通解氧為(2皮)利用婚分項濤組合聯(lián)法求竿解:原方耐程重綱新組譜合為故方男程的夢通解拍為(3笨)利用竊曲線灣積分肆求解:故方嬸程的報通解際為例5解非全男微分止方程.利用掘積分蛇因子不法:原方盼程重尿新組里合為故方脾程的公通解捕為例6解方洋程[分析]本題境看起繁來簡挨單但具搶體求面解時循發(fā)現(xiàn)不是渾變量偉可分溫離也不音是齊牛次型不是渡一階慣線性也不付是全新微分客方程怎么盟辦？必須培對方萬程進琴行變形解一分項退組合通解待為解二變量嚴代換令一階率非齊君次線祥性微聽分方浴程相應(yīng)棕齊方底程令解三由存在節(jié)關(guān)于x的積舟分因搞子為全缺微分茶方程通解滲為積分礦因子傾法例7設(shè)曲碧線積乎分在右哈半平樣面內(nèi)攀與路鴿徑無苗關(guān)其中f(x)可導且f(1蜜)=羞1求f(x)解由曲廢線積睬分與吃路徑之無關(guān)汪的條梨件知即一階款線性釀微分某方程代入f(1攪)=娘1得故例8解方館程并求圖此曲膜線y=y(x)和直像線x=隨0柴,x=僅1三者摸所圍據(jù)部分淋繞x軸旋眉轉(zhuǎn)一馬周所罷成旋欣轉(zhuǎn)體愛的體娛積解特解賴為高階制微分跌方程脾習題蕉課一、給主要嬸內(nèi)容高階駐方程可降叛階方艘程線性蠅方程萄解的卷結(jié)構(gòu)二階愧常系既數(shù)線永性方程徐解的愛結(jié)構(gòu)特征麥根法特征歇方程摟的根及其環(huán)對應(yīng)腫項待定姥系數(shù)眼法f(釣x)的形質(zhì)式及餅其特解頃形式微分序方程男解題話思路一階精方程高階砌方程分離耀變量花法全微裹分方哀程常數(shù)箱變易牛法特征漫方程族法待定如系數(shù)艦法非全鉛微分召方程非變蒼量可滾分離冪級儀數(shù)解侵法降階作變渡換作變姻換積分秩因子1、可揪降階膊的高瘋階微掛分方逼程的漆解法型解法接連娛積分n次，掀得通戶解．型特點解法代入棍原方帶程,得型特點解法代入霸原方啞程,得2、線腥性微狼分方傳程解境的結(jié)株構(gòu)（1）月二階目齊次椒方程斧解的張結(jié)構(gòu):（2）二跟階非康齊次房誠線性儲方程頑的解話的結(jié)蔥構(gòu):非齊疼方程奏的任衰兩解桑之差紗是相園應(yīng)齊菜方程魄的解非齊歌通解=齊通權(quán)解+非齊隊特解3、二久階常破系數(shù)竟齊次鍋線性劇方程宗解法n階常澆系數(shù)計線性蘿微分撤方程二階傅常系造數(shù)齊奔次線芳性方死程二階額常系靈數(shù)非期齊次選線性扭方程解法由常居系數(shù)鏟齊次班線性燙方程嬸的特賭征方丙程的滋根確仇定其吉通解考的方枯法稱物為特征桃方程拘法.特征辰方程諸為推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法特征劍方程謠為特征方程的根通解中的對應(yīng)項4、二磚階常淺系數(shù)共非齊樂次線澆性微閘分方央程解賓法二階擋常系廊數(shù)非恒齊次夸線性廣方程解法待定甚系數(shù)翻法.二、幟典型易例題例1解代入環(huán)方程永，得故方爪程的俯通解幟為例2解特征桐方程特征往根對應(yīng)擋的齊法次方屋程的喂通解贈為設(shè)原戒方程紋的特嘩解為原方嘉程的薄一個玻特解災(zāi)為故原新方程網(wǎng)的通使解為由解得所以書原方照程滿朝足初你始條普件的斑特解繼為例3設(shè)二由階非敲齊次刪線性孫方程鵝的三爸個特礦解為求其班通解解由解島的結(jié)雀構(gòu)知脆非齊留方程牧的任胖二解聚之差胞是相誓應(yīng)齊份方程配的解故是齊儉方程霞的兩量個解齊通拿解且線愁性無路關(guān)非齊決通解例4設(shè)f(x)具有議連續(xù)述的二稼階導遲數(shù)試里確定f(x)使曲弄線積躬分與路警徑無憑關(guān)解由曲仰線積纖分與磚路徑躁無關(guān)績的條倡件得即這是泥一個裂二階自常系蜻數(shù)非批齊次漏線性庸微分穩(wěn)方程齊通取解例5解特征鋸方程特征束根對應(yīng)秩的齊綠