復數(shù)及其運算

復變函數(shù)與拉氏變換

主講

欒靜聞機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院§1.1復數(shù)及其運算第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.2復變函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院機動目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1復數(shù)及其代數(shù)運算一.復數(shù)及其代數(shù)運算二.復數(shù)幾何表示三.復數(shù)的四則運算及其幾何意義四.復數(shù)的乘冪與方根*五.復球面、擴充復平面珞珈學院珞珈學院§1.1復數(shù)及其運算一.復數(shù)及其代數(shù)運算運算的封閉性使得數(shù)的概念不斷擴張，自然數(shù)整數(shù)減法除法有理數(shù)極限開方實數(shù)復數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束開方

2.復數(shù)

1.

虛單位

虛單位：，且一般地，復數(shù)形如或。

復數(shù)

的虛部記為，實數(shù)可看作復數(shù)，因此純虛數(shù)是復數(shù)：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院復數(shù)的實部記為，全體實數(shù)集全體復數(shù)集3.共軛復數(shù)稱實部相同而虛部為相反數(shù)的兩個數(shù)，即和互為共軛復數(shù)，簡稱共軛數(shù)。設(shè)，則復數(shù)

的共軛復數(shù)記為4.復數(shù)的相等若且，則稱復數(shù)與復數(shù)相等。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束復數(shù)沒有序關(guān)系,任意兩個復數(shù)不能比較大小。珞珈學院二.復數(shù)幾何表示1.復平面與復數(shù)的幾何表示復數(shù)的直角坐標表示法：Ox(橫軸)y(縱軸)Ox(實軸)y(虛軸)實平面復平面實平面上的點復平面上的點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院復數(shù)的代數(shù)表示法復數(shù)的極坐標表示：Ox(實軸)y(虛軸)表示向量的長度，稱之為復數(shù)的模，記為表示以x軸正向為始邊，以向量為終邊的角度，稱之為復數(shù)的輻角，記為，輻角不唯一。稱滿足的輻角為的主輻角，記為，因此復平面與復數(shù)的幾何表示（續(xù)）

復數(shù)時，輻角無定義。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院全體整數(shù)集由極坐標變換知：Ox(實軸)y(虛軸)復數(shù)可表示為：稱之為復數(shù)的三角表示。復平面與復數(shù)的幾何表示（續(xù)二）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院復數(shù)的三角表示法：3.復數(shù)的主輻角計算OOO機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院例1.1.1將下列復數(shù)化為三角表示式：解由于在第三象限，根據(jù)主輻角計算公式：所以的三角表示式為：

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院解所以的三角表示式為：

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院三.復數(shù)的四則運算及其幾何意義

1.復數(shù)的加(減)法加減法的幾何意義OxyOyx機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院2.復數(shù)的乘法3.復數(shù)的除法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院4.復數(shù)的運算律（1）加法、乘法運算律結(jié)合律交換律分配律機動目錄上頁下頁返回結(jié)束珞珈學院（2）共肥軛運瓜算律機動廣目鳴錄廁上頁挑下隱頁熔返回稠結(jié)澆束珞珈嬌學院（3）模的光性質(zhì)三角開不等棋式Oyxz1z2z2z1+z2Oyxz|x||y||z肆|機動失目交錄訂上頁趁下恰頁肉返回事結(jié)澤束珞珈坡學院機動點目對錄淋上頁消下雷頁浪返回裳結(jié)蒙束例1.寒1.生2證明胡對任定意兩梢個復解數(shù)下式昆成立企：證明（方法一）設(shè)則證明（方晶法二縫）珞珈堅學院四.復數(shù)廊的乘邁冪與伏方根1.復數(shù)素的乘馳積與炊商定理1.固1.肝1設(shè)則證明機動怖目垮錄脂上頁搞下今頁逐返回鹿結(jié)綁束珞珈破學院復數(shù)戰(zhàn)乘法恢的幾渡何意咱義xyO將向量

旋轉(zhuǎn)角度后，

再將它的長度伸縮倍，所得即為向量。

特別地，當時，向量z1z2就是將向量z2旋轉(zhuǎn)角度所得的向量。機動鋤目卡錄婆上頁繞下密頁貼返回胡結(jié)顧束珞珈杏學院推論1.舅1.的2推論1.著1.鼠3(D置e窩Mo漆iv震e公式)2.復數(shù)誓的乘品方與化開方(1傻)乘方機動爪目楊錄道上頁毅下蛙頁豈返回孩結(jié)耳束珞珈綁學院(2挑)開方設(shè)，則稱是的次方根。記為，表示的次方根的主值。方根律的計襖算公痰式設(shè)

，則機動涂目煌錄蔥上頁名下剪頁招返回土結(jié)長束珞珈剃學院證明設(shè)由，得則即所以n次方褲根有n個相秒異的屆根。由正紗弦、擊余弦素函數(shù)技的周筍期性題可知喪，非鑒零數(shù)廈的機動棒目架錄蜘上頁熔下掉頁屈返回撥結(jié)詢束珞珈嫩學院方根想的幾擦何意熊義θ/nw1wk-1wkwn-1xyOw0z機動割目餅錄著上頁瘡下嬌頁申返回挨結(jié)浴束2π/n珞珈噸學院方根誰的幾辟何意鍬義θ/nw1wk-1wkwn-1xyOw0z機動誦目假錄決上頁兄下約頁譽返回馳結(jié)宿束2π/n以原點為圓心，以為半徑的圓周，作輻角為的射線，

交于圓周上的點；為頂憂點作炭圓周畫的內(nèi)姓接贏正n以邊形凳，其n個頂旗點就查對應艙著z的n次方好根的n個值臨：珞珈斤學院機動穗目塌錄南上頁鍛下星頁捉返回捧結(jié)根束例1.歐1.換3求解珞珈重學院五.復球防面、諒擴充室復球姥面復球尊面OxyP

zSN單位奏球面粘切于捕復平悲面于待原點O,球面駱上點S與點O重合,點S的對眉徑點萄為N。S--租--蓄-南極僻點N--狐--菜-北極鉛點球面上任意點直線PN與復平面交于點z,即得紡球面(除去蒙北極王點N外)與復允平面購上點糖的1－1的對謎應關(guān)沉系。復平面上任意點直線zN與球面交于點P，

機動煉目扁錄穩(wěn)上頁漲下樓頁循返回議結(jié)嗎束珞珈猶學院擴充流復平浙面對于滲球面枕上的作北極棍點N，在復引平面C上沒狗有對涼應點帳。設(shè)想睡在復筆平面勵上增觀加一拾個理釣想點靜∞,即無魄窮遠商點與之對應,由此得到的擴充復平面與球面1-1對應。關(guān)于城新“鋒數(shù)”濟∞需金作如握下幾辰點規(guī)勸定：(1區(qū))復平材面上宇每一盜條直盈線都績通過繳點∞饞，同講時沒嫁有一掉個半手平面職包括解點∞;(2勇)∞的過實部釀，虛蕉部及長幅角迫都無演意義,踐|∞|致=摸+∞;(3執(zhí))b≠0(但可沙為∞)時，∞·b=b·∞,b/0=∞;(4腔)a≠∞時,乒∞/a=0,a/0通=∞座,攔∞±a=饅a±∞=雜∞。(5沈)運算幼∞±繪∞,0·∞助,托∞·0,儉∞武/距∞渡,0/帶0無意擠義。機動凳目室錄洞上頁便下蔑頁洽返回弟結(jié)孝束珞珈態(tài)學院作業(yè)P朝251.飲1.會1(野a)遞