戰(zhàn)地黃花考研數(shù)學講座

(1)

“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結(jié)

果。實在是一件不容易的事。

非數(shù)學專業(yè)的本科學生與數(shù)學專業(yè)的學生的最基本差別，在于概念意識。數(shù)學科學從最嚴密的定義出發(fā)，在

準確的概念與嚴密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹。

在《高等數(shù)學》中，出發(fā)點處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導，可微等重要概念。

在《線性代數(shù)》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向

量。

在《概率統(tǒng)計》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學習《概率》需要學生

有較好的《高等數(shù)學》基礎(chǔ)。

非數(shù)學專業(yè)的本科學生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發(fā)分析解決問題?；A(chǔ)層次的概念不熟,

下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學難學的關(guān)鍵。

大學數(shù)學教學目的，通常只是為了滿足相關(guān)木科專業(yè)的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來

進行概念訓練。

考研數(shù)學目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導課上，往往會有

學生莫名驚詫，“大一那會兒學的不一樣?！痹蚓驮谟趯W過的概念早忘完了。

做考研數(shù)學復習，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。

按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數(shù)學課程，每

個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。

從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數(shù)學專業(yè)

的木科生們所接觸的，只是初等微枳分的?少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學生們要做的是接受，理解，記

憶，學會簡單推理。當你面對一個題目時，你的自然反應是，”這個題目涉及的概念是---"，而非“在哪兒做過這道題”,

才能算是有點入門了。

你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。

陽春三月風光好，抓好基礎(chǔ)正當時。

考研數(shù)學講座(2)筆下生花花自紅

在愛搞運動的那些年代里，數(shù)學工作者們經(jīng)常受到這樣的指責，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際?！?/p>

發(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點，不懂得考慮數(shù)學問題時“寫"與"思''同步的重要性。

也許是計算機廣泛應用的影響，今天的學生們學習數(shù)學時，也不太懂得“寫'’的重要性?？佳械膶W生們，往往拿

著一本厚厚的考研數(shù)學指導資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。

數(shù)學書不比小說?？磾?shù)學書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。

科學的思維是分層次的思維。求解一個數(shù)學問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何

邁出第一步。

或“依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？“(分析法)；

或“要證明這個結(jié)論，就是要證明什么？“(綜合法)。

在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。

“連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會怎樣？”

寫成“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。(窮盡法)。

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”移項，則“連續(xù)C一連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

有相當一些數(shù)學定義，比如“函數(shù)在一點可導“，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關(guān)鍵就在于是

否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，

題面上有已知條件f-(l)>0,概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出

h趨于0時，lim(f(l+h)-f(l))/h>0

然后由此自然會聯(lián)想到，下一步該運用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了。

又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aa=Xa,a/0,要是移項寫成

(A-XE)a=0,a#0,

這就表示a是齊次線性方程組(A一在)X=0的非零解，進而由理論得到算法。

數(shù)學思維的特點之一是“發(fā)散性”。一個數(shù)學表達式可能有幾個轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個方式會得到一個新

的解釋，這個解釋將導引我們邁出下一步。

車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能?

步步走。陳景潤那篇名揚世界的力+2”論文中有28個“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。

對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙。

《高等數(shù)學》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導運算。求導運算差，討論函數(shù)的圖形特征，

積分，解微分方程等，反應必然都慢。

《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問題,

選擇?個分塊變形就明白了。

《概率統(tǒng)計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續(xù)型隨機變量的各類問題。對于考數(shù)學三的同學來說，

二重積分又是《高等數(shù)學》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。

要考研嗎，要去聽指導課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。

我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內(nèi)作某年研考的全卷。

中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底?？纯闯煽兌嗌?。不要以為你已經(jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做,

你一寫出來也可能會面目全非。

多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

考研數(shù)學講座（3）極限概念要體驗

極限概念是微積分的起點。說起極限概念的歷史，學數(shù)學的都多少頗為傷感。

很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭?！?/p>

近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為n個窄曲

邊梯形，進而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越

來越精確的園周率值或面積?！?/p>

國人樸實的體驗延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點上率先突破。

極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。

自變量的變化趨勢分為兩類，一類是XTXO；一類是XTOO,

“當自變量有一個特定的發(fā)展趨勢時，相應的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的數(shù)a?”

如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限。

“無限接近”還不是嚴密的數(shù)學語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。

學習極限概念，首先要學會觀察，了解過程中的變量有無一定的發(fā)展趨勢。學習體驗相應的發(fā)展趨勢。其次才

是計算或討論極限值。

自然數(shù)列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。

自然數(shù)n趨于無窮時，數(shù)列1/n的極限是0；x趨于無窮時，函數(shù)1/x的極限是0；

回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗判斷是，

x趨于正無窮時，正指數(shù)的基函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大，沒有極限。

x趨于正無窮時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。

X—O+時，對數(shù)函數(shù)Inx趨于一8；x趨于正無窮時，Inx無限增大，沒有極限。

X—>00時，正弦sinx與余弦conx都周而復始，沒有極限。在物理學中，正弦y=sinx的圖形是典型的波動。

我國《高等數(shù)學》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當x趨于0時它沒有極限的原因是震蕩。具體

想來，當x由0.01變?yōu)?.001時;只向中心點x=0靠近了一點點，而正弦sinu卻完成了140多個周期。函數(shù)的圖

形在+1與-1之間上下波動140多次。在x=0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是“電子云”。

當年我研究美國各大學的《高等數(shù)學》教材時，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin（1/x）的值整整印了一大頁,

他們就是要讓學生更具體地體驗它的數(shù)值變化。

x趨于0時（1/x）sin（1/x）不是無窮大，直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢。1/x為虎作帳，讓

震蕩要多瘋狂有多瘋狂。

更深入一步，你就得體驗，在同一個過程中，如果有多個變量趨于0,（或無限增大。）就可能有的函數(shù)趨于

0時（或無限增大時）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。

考研數(shù)學還要要求學生對極限有更深刻的體驗。

多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即￡-3語言）。沒有這套

語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴密證明任何一個極限問題。但是，這套語言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)

學專業(yè)的本科學生很難搞懂。數(shù)十年來，考研試卷卜.都沒有出現(xiàn)過要運用￡-6語言的題目。研究生入學考題中，考

試中心往往用更深刻的體驗來考查極限概念。這就是

“若X趨于8時，相應函數(shù)值f（X）有正的極限,則當|X|充分大時，（你不仿設(shè)定一點X0,當|XI>x0

時，）總有f（x）>0”

*“若x趨于xO忖，相應函數(shù)值f（x）有正的極限，則在xO的一個適當小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”

這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。

除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數(shù)值體驗則更好。

若x趨于無窮時，函數(shù)的極限為0,則x的絕對值充分大時，（你不仿設(shè)定一點xO,當|x|>x0時，）函

數(shù)的絕對值恒小于1

若x趨于無窮時，函數(shù)為無窮大，則x的絕對值充分大時，（你不仿設(shè)定一點xO,當Ix1>x0

時，）函數(shù)的絕對值全大于1

*若x趨于0時，函數(shù)的極限為0,則在0點的某個適當小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對值充分小時;

函數(shù)的絕對值全小于1

（你不仿設(shè)定有充分小的數(shù)8>0,當0<Ix]<3時，函數(shù)的絕對值全小于1）

沒有什么好解釋的了，你得反復領(lǐng)會極限概念中“無限接近''的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由

設(shè)定的點xO,或充分小的數(shù)5>0,并利用它們。

考研數(shù)學講座（4）“存在”與否全面看

定義，是數(shù)學的基本游戲規(guī)則。所有的定義條件都是充分必要條件。

即便有了定義，為了方便起見，數(shù)學工作者們通常會不遺余力地去尋覓既與定義等價，又更好運用的描述方式。

討論極限的存在性，就有如下三個常用的等價條件。

1.海涅定理

觀察x趨于xO的過程時，我們并不追溯x從哪里出發(fā)；也沒有考慮它究竟以怎樣的方式無限靠近

x.O；我們總是向未來，看發(fā)展。因而最直觀的等價條件就是海涅定理：

定理（1）極限存在的充分必要條件是，無論x以何種方式趨于xO,相應的函數(shù)值總有相同的極限A存在。

這個定理條件的“充分性''沒有實用價值。事實上我們不可能窮盡x逼近xO的所有方式。很多教科書都沒有

點出這一定理，只是把它的“必要性''獨立成為極限的一條重要性質(zhì)。即唯一性定理：

“如果函數(shù)（在某一過程中）有極限存在，則極限唯二”

唯一性定理的基本應用之一，是證明某個極限不存在。

2.用左右極限來描述的等價條件

用E-S語言可以證得一個最好用也最常用的等價條件：

定理（2）極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。

這是在三類考研試題中出現(xiàn)概率都為1的考點?？佳袛?shù)學年年考連續(xù)定義，導數(shù)定義。本質(zhì)上就是考查極限存

在性。這是因為

函數(shù)在一點連續(xù)，等價于函數(shù)在此點左連續(xù)，右連續(xù)。

函數(shù)在一點可導，等價于函數(shù)在此點的左、右導數(shù)存在且相等。

山于初等函數(shù)有較好的分析性質(zhì)?？碱}往往會落實到分段函數(shù)的定義分界點或特殊定義點上?？忌欢ㄒ獙Ψ?/p>

段函數(shù)敏感，一定要學會在特殊點的兩例J分別考察函數(shù)的左右極限。

（3）突出極限值的等價條件

考數(shù)學一，二的考生，還要知道另一個等價條件：

定理（3）函數(shù)f（x）在某一過程中有極限A存在的充分必要條件是，f（x）-A為無窮小。

從“距離”的角度來理解，在某一過程中函數(shù)f（x）與數(shù)A無限接近，自然等價于

：函數(shù)值f（x）與數(shù)A的距離|f（x）-A|無限接近于0

如果記a=f（x）-A,在定理條件下得到一個很有用的描述形式轉(zhuǎn)換：

f（x）=A+a（無窮小）

考研題目經(jīng)常以下面三個特殊的“不存在”為素材。"存在”與否全面看。有利于我們理解前述等價條件。

我用exp（）表示以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，（）內(nèi)填指數(shù)。

例1x趨于0時，函數(shù)exp(1/x)不存在極限。

分析在原點x=0的左側(cè)，x恒負，在原點右側(cè)，x恒正。所以

x從左側(cè)趨于0時，指數(shù)1/x始終是負數(shù)，故左極限f(0-0)=0,

x從右側(cè)趨于0時，函數(shù)趨向+oo,由定理(2),函數(shù)不存在極限。也不能說，x趨于0時，exp(1/x)

是無窮大。

但是，在這種情形下，函數(shù)圖形在點x=0有豎直漸近線x=0

例2x趨于0時，“震蕩因子”sin(1/x)不存在極限。俗稱震蕩不存在。

分析用海涅定理證明其等價問題，“x趨于+8時，sinx不存在極限。”

分別取x=n7r及x=2im兩個數(shù)列，n趨于+8時，它們都趨于+如相應的兩列正弦函數(shù)值卻分別有極限

0與1,不滿足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在極限。(構(gòu)造法！)

例3x趨于oo時，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

分析把oo視為一個虛擬點，用定理(2)。由三角函數(shù)知識得，

x趨于+oo時，函數(shù)極限為兀/2,x趨于-8時，函數(shù)極限為一/2,

故，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

請注意，證明過程表明，函數(shù)y=arctgx的圖形有兩條水平漸近線。即

—8方向有水平漸近線y=—K/2；+8方向則有有y=兀/2

例4當xf1時,函數(shù)f(x)=(exp(1/(x7)))(x平方-IMxT)的極限

(A)等于2(B)等于0(C)為oo(D)不存在但不為8

b］分析考查x-l時函數(shù)的極限，通常認為x不取1；而x*時，可以約去分母(x-1),讓函數(shù)的

表達式化為f(x)=(x+l)exp(l/(x-1))

左極限f(1-0)=0,x從右側(cè)趨于1時，函數(shù)趨向+oo，(選(D))

(畫外音：多爽啊。這不過是“典型不存在1”的平移。)

例5f(x)=(2+exp(1/x))/(1+exp(4/x))+sinx/IxI,求x趨于0時函數(shù)的極限。

分析絕對值函數(shù)y=|x|是典型的分段函數(shù)。x=0是其定義分界點。?看就知道必須分左右計算。如果

很熟悉“典型不存在1”，這個5分題用6分鐘足夠了。實際上

X10-時，limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1

x—>0+時，exp(1/x)—>+oo,前項的分子分母同除以exp(4/x)再取極限

limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1

由定理(2)得X—>0時，limf(x)=1

例6曲線y=exp(l/x平方)arctg((x平方+x+l)/(x-l)(x+2))的漸近線共有

(A)l條.(B)2條。(C)3條。(D)4條。選(B)

分析先觀察x趨于8時函數(shù)的狀態(tài)，考查曲線有無水平漸近線；再注意函數(shù)結(jié)構(gòu)中，各個因式的分母

共有三個零點。即0,1和一2；對于每個零點xO,直線x=xO都可能是曲線的豎直漸近線，要逐個取極限來判斷。

實際上有

x—>oo時，limy=it/4,曲線有水平漸近線y=n/4

其中，xf?時，limexp(l/x平方)=1；im((x平方+x+l)/(x—l)(x+2))=1(分子分母同除以"x平方”)

考查"嫌疑點”1和一2時，注意運用“典型不存在3”，

f(1-0)=~en/2；f(1+0)=en/2,x=1不是曲線的豎直漸近線。

類似可以算得x=-2不是曲線的豎直漸近線。

XT0時，前因式趨向+00；后因式有極限arctg(-1/2),x=0是曲線的豎直漸近線。

啊，要想判斷準而快，熟記“三個不存在看了上面幾例，你有體會嗎？

*還有兩個判斷極限存在性的定理(兩個充分條件)：

定理(4)夾逼定理——若在點xO鄰近(或|x|充分大時)恒有g(shù)(x)Wf(x)@(x),月.x—xO(或xTOO)

時limg(x)=limh(x)=A則必有l(wèi)imf(x)=A

定理(5)單調(diào)有界的序列有極限。(或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。)

加上講座(3)中的““近朱者赤，近墨者黑“定理共計六個，可以說是微分學第一組基本定理。

考研數(shù)學講座(5)無窮小與無窮大

微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析

1.概念

在某一過程中，函數(shù)f(x)的極限為0,就稱f(x)(這一過程中)為無窮小。

為了回避『5語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數(shù)為無窮大。

無窮小是個變量，不是0；y=0視為“常函數(shù)”，在任何一個過程中都是無窮小。不過這沒啥意義。

依據(jù)極限定義，無窮大不存在極限。但是在變化過程中變量有絕對值無限增大的趨勢。為了記述這個特點，歷

史上約定，“非法地”使用等號來表示無窮大。(潛臺詞：并不表示極限存在。)比如

x從右側(cè)趨于0時，limlnx=_co；x從左側(cè)趨于兀/2時，Iimtgx=+oo

無窮大與無界變量是兩個概念。無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區(qū)間。無窮小和無窮

大量的名稱中隱含著它們(在特定過程中)的發(fā)展趨勢。在適當選定的區(qū)間內(nèi)，無窮大量的絕對值沒有上界。

y=tgx(在x—TT/2左陽I］時)是無窮大。在(0,兀/2)內(nèi)y=tgx是無界變量

x趨于0時，函數(shù)y=(1/x)sin(1/x)不是無窮大，但它在區(qū)間(0,1)內(nèi)無界。

不仿用高級語言來作個對比。任意給定一個正數(shù)E,不管它有多大，當過程發(fā)展到?定階段以后，無窮大量的

絕對值能全都大于E：而無界變量只能保證在相應的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點，此點處的函數(shù)絕對值大于E。

2.運算與比較

有限個無窮小量的線性組合是無窮??；“8—00”則結(jié)果不確定。

乘積的極限有三類可以確定：

有界變量?無窮小=無窮小無窮小?無窮小=(高階)無窮小無窮大?無窮大=(高階)無窮大

其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式

例10作數(shù)列x=1,0,2,0,3,0,0,n,0,---

y=0,1f0,2,0,3,0,—,0,n,0,—

兩個數(shù)列顯然都無界，但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會有無界?無界=有界

兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較如果極限為1,

分子分母為等價無窮??；極限為0,分子是較分母高階的無窮??；極限為其它實數(shù)，分子分母為同階無窮小。

無窮大有類似的比較。

無窮小(無窮大)的比較是每年必考的點。

x趨于0時，a=xsin(1/x)和。=x都是無窮小，且顯然有IaI<Ip|；但它們的商是震蕩因子sin(1/x),

沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin(1/x)的用途。能夠翻閱《分析中

的反例》的同學可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子。

回到基本初等函數(shù)，我們看到

x趨于+8時，y=x的H次方，指數(shù)n>0的基函數(shù)都是無窮大。且習慣地稱為M階無窮大。

(潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，,啊。)

x趨于+oo時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都是無窮大；底數(shù)小于1的都是無窮小。

X趨于+8或X趨于0+時，對數(shù)函數(shù)是無窮大。

X趨于00時，sinx及COSX都沒有極限。正弦，余弦，反三角函數(shù)(在任何區(qū)間上)都是有界變量。

請體驗一個很重要也很有趣的事實。

(1)x—>+oo時，lim(x的n次方)/fexp(x)=0,這表明：

“X趨于+00時，指數(shù)函數(shù)exp(x)是比任意高次方的塞函數(shù)都還要高階的無窮大。”

或者說，“x趨于+oo時，函數(shù)exp(-x)是任意高階的無窮小?！?/p>

(2)x-*+oo時，limlnV(x的6次方)=0；6是任意取定的一個很小的正數(shù)。這表明：

“x趨于+oo時，對數(shù)函數(shù)Inx是比x的6次方都還要低階的無窮大。”

在數(shù)學專業(yè)方向，通常稱幕函數(shù)(x的n次方)為“緩增函數(shù)”；稱exp(—x)為“速降函數(shù)”。

只需簡單地連續(xù)使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果

只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。

例11函數(shù)f(x)=xsinx(A)當xT8時為無窮大。(B)在(-8,+oo)內(nèi)有界。

(C)在(-8,+oo)內(nèi)無界。(D)在時有有限極限。

分析這和y=(1/x)sin(1/x)在x趨于0時的狀態(tài)一樣。(選(C))

例12設(shè)有數(shù)列Xn,具體取值為

若n為奇數(shù),Xn=（n平方+Yn）/n；若n為偶數(shù)，Xn=1/h

則當n—oo時，Xn是（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量

分析一個子列（奇下標）為無窮大，一個子列是無窮小。用唯一性定理。選（D））

請與“典型不存在1”對比。本質(zhì)相同。

例13已知數(shù)列Xn和Yn滿足n-8時，limXnYn=0,貝ij

（A）若數(shù)列Xn發(fā)散，數(shù)列Yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列Xn無界，數(shù)列Yn必定也無界。

（C）若數(shù)列Xn有界，數(shù)列Yn必定也有界。（D）若變量1/Xn為無窮小量，則變量Yn必定也是無窮小

量。

分析盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的

反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要Yn是適當高階的無窮小，就可以保證limXnYn=0

無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明Xn為無窮大。要保證limXnYn=0,Yn必須為無窮

小量。應選答案（D）。

考研數(shù)學講座（6）微觀分析始連續(xù)

微分學研究函數(shù)。函數(shù)是描述過程的最簡單的數(shù)學模型。

由六類基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或有限次復合所生成的，且由一個數(shù)學式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初

等函數(shù)。

大學數(shù)學還讓學生學習兩類，，分段函數(shù)，，?；蚴窃诓煌亩x區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初等函數(shù)來表示的函

數(shù)；或者是有孤立的特別定義點的函數(shù)。

微分學研究函數(shù)的特點，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導性，可微性。再通過函數(shù)的導數(shù)來宏觀

地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。

1.函數(shù)的連續(xù)性

定義——設(shè)函數(shù)f（x）在點xO的鄰近有定義。當x趨于x0時，如果函數(shù)有極限.且極限值等于函數(shù)值f

（x0）,就稱函數(shù)f在點xO連續(xù)。否則，稱函數(shù)f在點xO間斷。xO是它的間斷點。

“函數(shù)f在點xO的鄰近有定義”意味著，如果函數(shù)在點xO沒有定義，那xO只是函數(shù)的一個孤立的無定義點。

也就是函數(shù)的一個天然的間斷點。函數(shù)y=1/x在原點就是這樣的。

“有極限”意味著存在。在分段函數(shù)情形，要立即轉(zhuǎn)換成“左右極限存在且相等。”

函數(shù)在一點連續(xù)的定義等式，“左極限=右極限=中心點函數(shù)值“，最多可以得出兩個方程。如果在這里

出題：“用連續(xù)定義求參數(shù)值。''則函數(shù)可以含一個或兩個參數(shù)。

如果函數(shù)在區(qū)間上每一點連續(xù)，就稱函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。

最值定理——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大，最小值。

“有”，意味著至少有兩點，相應的函數(shù)值分別為函數(shù)值域中的最大，最小數(shù)。

介值定理——如果數(shù)c能被夾在連續(xù)函數(shù)的兩個值之間，則c一定屬于此函數(shù)的值域。

請體會我的描述方式，這比教科書上寫的更簡明。

介值定理的一個特殊推論是，連續(xù)函數(shù)取正取負必取零。從理論上講，求方程F（x）=0的根，可以轉(zhuǎn)化為討論

函數(shù)F的零點。

例16試證明，如果函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則它的值域也是一個閉區(qū)間。

分析函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，f必有最大值M=f（xl）,最小值m=f（x2）,閉區(qū)間［m,M］內(nèi)的任

-數(shù)c,自然就夾在f的兩個最值之間，因而屬于f的值域。即f的值域就是這個閉區(qū)間。

例17試證明連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間不變號。

（潛臺詞：沒有零點的連續(xù)函數(shù)定號。）

分析如果此連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間變號。則它取正取負必取零。與已知矛盾;

（潛臺詞：函數(shù)究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。）

例18函數(shù)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，其值域恰好也是［a,b］,試證方程f（x）=x在區(qū)間［a,b］上有解。

分析作F=f（x）-x,它顯然在已知閉區(qū)間上連續(xù)。且有F（a）＞0而F（b）＜0

如果有一等號成立，則結(jié)論得證。否則，用介值定理。

（潛臺詞：要尋找反號的兩個函數(shù)值，當然該先把已知點拿去試試。）

2.間斷點分類

連續(xù)的對立面是間斷。人們把函數(shù)的間斷點分為兩類。

若函數(shù)在某點間斷，但函數(shù)在這點的左右極限都存在。就稱此點為第一類間斷點。

若函數(shù)在某點間斷，且至少有個單側(cè)極限不存在，就稱此點為第二類間斷點。

第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷；左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個可去

間斷點時，你就規(guī)定極限值等于此點的函數(shù)值，讓其連續(xù)。

對于第二類間斷，我們只學了兩個特例。即

x=0是震蕩因子y=sin(1/x)的震蕩間斷點。(畫外音：請聯(lián)想“典型不存在(2)”)

x=0是函數(shù)y=exp(l/x)的無窮間斷點。(畫外音：請聯(lián)想”典型不存在(1)”)

只要函數(shù)在xO的?個單彳則為無窮大，xO就是函數(shù)的無窮間斷點。x=xO是圖形的豎直漸近線。

考題中經(jīng)常把問題平移到別的點去討論。

例19確定y=exp(l/x)arctg((x+1)/(x—1))的間斷點，并說明其類型。

分析函數(shù)的解析表達式中，分母有零點0,1(潛臺詞：兩個嫌疑犯啊。)

在點0,前因子的右極限為正無窮，后因子連續(xù)非零，故0點是無窮間斷點.

在點1,前因子連續(xù)非零，后因子的左極限是一兀/2,右極限為兀/2,第一類間斷。

三個特殊的“不存在”記得越熟，計算左右極限就越快。要有?個基本材料庫，典型的知識首先在基本材料范

圍內(nèi)滾瓜爛熟，你就會走得踏實走得遠。

例20設(shè)函數(shù)f(x)=x^a+exp(bx))在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，且x—?—8時，極限limf(x)=0；則常數(shù)a,b

滿足

(A)a<0,b<0(B)a>0,b>0(C)a<0,b>0(D)a>0,b<0

分析初等函數(shù)的表達式中若有分母，則分母的零點是其天然沒有定義的點，也就是函數(shù)的一個天然間斷

點。

已知函數(shù)連續(xù)，則其分母不能為0,而指數(shù)函數(shù)exp(bx)的值域為(0,+oo),故a^O

又，x--8時，極限limf(x)=0表明，f(x)分母是較分子x高階的無窮大，即要指數(shù)函數(shù)

exp(bx)為無窮大,只有bv為應選(D)?

(畫外音：一個4分題，多少概念與基礎(chǔ)知識綜合！典型的考研題！漂亮的考研題！)

*例21已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上處處有定義，且單調(diào)。若f(x)有間斷點，則只能是第一類間斷點。

分析(構(gòu)造法)不仿設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上單增，但是有間斷點xO；我們得證明f在點xO的左右極限

都存在。

已設(shè)f在區(qū)間單增，余下的問題是尋找其上界或下界。事實上有

XTXO一時，f單增，顯然f(b)是它的一個上界。故左極限存在。

x->xO+時，自變量從右向左變化，相應的f值單減。顯然f(a)是其一個下界。右極限也存在。

構(gòu)造法是微積分自己的方法。它的要點是，實實在在地梳理函數(shù)的構(gòu)造及其變化，山此推理獲得所要結(jié)果。

考研數(shù)學指導(7)導數(shù)定義是重點

選定一個中心點xO,從坐標的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議,

是選好?個邊際點。微量分析考慮的問題是：在xO點鄰近，如果自變量x有一個增量Ax,則函數(shù)相應該有增量

Ay=f(xO+Ax)—f(xO),我們?nèi)绾伪硎?，研究及估計這個Ay呢？

最自然的第一考慮是“變化率中國人把除法稱為“歸一法"。無論Ax的絕對值是多少，Ay/Ax總表示，“當自變量變

化一個單位時，函數(shù)值平均變化多少。”

定義令Ax趨于零，如果增量商Ay/Ax的極限存在，就稱函數(shù)在點xO可導。稱極限值為函數(shù)在點xO的導數(shù)。記

為

Ax—0,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

或Ax-0,lim((f(xO+Ax)—f(xO))/(x—xO))=f'(xO)

或x—xO,lim((f(x)—f(xO))/(x—xO))=f，(xO)

理解1你首先要熟悉“增量”這個詞。它代表著一個新的思維方式。增量Ay研究好了，在X0鄰近，f

(x)=f(xO)+Ay,函數(shù)就有了一個新的表述方式。

回頭用“增量”語言說連續(xù)，則

“函數(shù)在點xO連續(xù)”等價于“Ax趨于0時，相應的函數(shù)增量Ay?定趨于0”

理解2要是以產(chǎn)量為自變量x,生產(chǎn)成本為函數(shù)y,則Ay/Ax表示，在已經(jīng)生產(chǎn)xO件產(chǎn)品的狀態(tài)下，再生產(chǎn)

一件產(chǎn)品的平均成本。導數(shù)則是點xO處的“邊際成本”。

(畫外音：“生產(chǎn)”過程中諸元素的磨合，自然會導致成本變化。)

如果用百分比來描述增量，則(Ay/y)/(Ax/x)表示，在xO狀態(tài)下，自變量變化一個百分點，函數(shù)值平均變化多

少個百分點。如果Ax趨于零時極限存在，稱其(絕對值)為y對x的彈性。

理解3如果函數(shù)f在區(qū)間的每一點處可導，就稱f在此區(qū)間上可導。這時，區(qū)間上的點與導數(shù)值的對應關(guān)系構(gòu)成一

個新的函數(shù)。稱為f的導函數(shù)。簡稱導數(shù)。函數(shù)概念由此得到深化。

用定義算得各個基本初等函數(shù)的導數(shù)，稱為“求導公式添上"和，差，積，商求導法則”與“復合函數(shù)求導法則”，我們

就可以計算初等函數(shù)的導數(shù)。

例24設(shè)函數(shù)f(x)=(n—>oo)lim((1+x)/(1+x2n)),討論函數(shù)f(x)的間斷點，其結(jié)論為

(A)不存在間斷點(B)存在間斷點x=l(C)存在間斷點x=0(C)存在間斷點x=-l

分析這是用極限定義的函數(shù)，必須先求出f(x)的解析表達式，再討論其連續(xù)性。

任意給定一點x,(視為不變。)此時，把分母中的x2n項看成是(x2)n,這是自變量為n的指數(shù)函數(shù)。令n-8求

極限計算相應的函數(shù)值。

鑒于指數(shù)函數(shù)分為兩大類，要討論把x給定在不同區(qū)間所可能的影響。

(潛臺詞：函數(shù)概念深化，就在這變與不變。哲學?。?算得

-1<X<1時，f(x)=1+x；f(l)=l；f(-l)=o

而x<—1或x>1時，恒有f(x)=0,觀察得X—1時，limf(x)=2；應選(B)。

理解4運用定理(2),“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等?！眲t

“函數(shù)在點xO可導”等價于“左，右導數(shù)存在且相等”。

討論分段函數(shù)在定義分界點xO處的可導性，先看準，寫下中心點函數(shù)值f(xO),然后分別在xO兩值］算左導數(shù)，右

導數(shù)。

例25

(1)h趨于0+時，lim(f(h)-f(O))/h存在不等價于函數(shù)在0點可導，因為它只是右導數(shù)。

(2)h趨于0時，lim(f(2h)—f(h))/h存在不等價于函數(shù)在0點可導，因為分子中的函數(shù)增量不是相對于中心點

函數(shù)值的增量。

請對比：如果f(x)函數(shù)在0點可導，則h-0時，

lim(f(2h)-f(h))/h=lim(f(2h)-f(0)+f(0)-f(h))/h

=2lim(f(2h)-f(0))/2h-lim(f(h)-f(0))/h

=2「(0)-f，(0)=ff(0)

(畫外音：我把上述恒等變形技術(shù)稱為“添零項獲得增量考試中心認為你一定會這個小技術(shù)。

(2)中的不等價，要點在于，即便(2)中的極限存在，f(x)在0點也可能不可導。你可以作上述恒等變形，但是,

你無法排除“不存在一不存在=存在”的可能性。)

例26若函數(shù)f(x)滿足條件f(1+x)=af(x),且f((O)=b,數(shù)a#),厚0,貝U

(A)f(x)在x=l不可導。(B)f,(l)=a(C)f,(l)=b(D)f,(l)=ab

分析將已知f，(O)=b還原為定義lim(f(0+h)-f(0))/h=b,

要算f'⑴，考查lim(f(l+h)-f(D)/h

如何向「(0)的定義式轉(zhuǎn)化？！只能在已知恒等式上功夫。

顯然f(l+h)=af(h)；而f(1)=f(1+0)=af(0)

lim(f(l+h)-f(D)/h=lima(f(h)-f(0))/h=ab應選(D)。

*理解5可導的定義式，是兩個無窮小的商求極限，自然也就是兩個無窮小的比較。于是可以說，

連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0可導的充分必要條件是，x—xO時，函數(shù)增量Ay是與Ax同階，或較Ax高階的無窮

小。

考研的小題目中，經(jīng)常在原點討論可導性，且往往設(shè)函數(shù)在原點的值為零。我稱這為“雙特殊情形這時，要討論的

增量商簡化為f(x)/x,聯(lián)想一下高低階無窮小知識，可以說，“雙特殊情形”下函數(shù)在原點可導，等價于x趨于0

時，函數(shù)是與自變量x同階或比x高階的無窮小。

如果函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，你?眼就能得出結(jié)論。

例27設(shè)函數(shù)f(x)在點x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且恒滿足If(x)|Wx平方，則點x=0必是f(x)的(A)

間斷點。(B)連續(xù)而不可導點。(C)可導點，且「(0)=0(D)可導點，且『(0)，0

分析本題中實際上有夾逼關(guān)系0WIf(x)|<x2,在x=0的某鄰域內(nèi)成立。這就表明

f(0)=0,且|f(x)/x|WIx|由夾逼定理得，「(0)=0,應選(C)。

例28設(shè)有如下定義的分段函數(shù)f(x),x>0時,f(x)=(1—cosx/^x，xgO時，f(x)=x2g(x)

其中，g(x)為有界函數(shù)，則f(x)在點x=0(A)不存在極限(B)存在極限，但不連續(xù)。

(C)連續(xù)但不可導。(D)可導。

分析山定義得中心點函數(shù)值f(0)=0；本題在“雙特殊情形”下討論。

x>0時，顯然f(x)是比x高階的無窮小。右導數(shù)為0

xWO時，f(x)/x=xg(x),用夾逼法可判定左導數(shù)為0；應選(D)。

*理解6運用定理(3),若f(x)函數(shù)在點xO可導，即有已知極限

AXTO,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

于是Ay/Ax=f<xO)+a(x)(無窮小)；即Ay=ff(xO)Ax+a(x)Ax

由此即可證明，函數(shù)在點xO可導，則一定在xO連續(xù)。

“如果分母是無窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小。'‘經(jīng)濟類的考生可以這樣來體驗“可導一定連續(xù)考數(shù)學

一，二的同學則應將此結(jié)論作為一個練習題。

把導數(shù)定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會感到它抽象，也不會感到有多難。考研的題目設(shè)計都很有水

平，如果彳刖重考概念，題目中的函數(shù)結(jié)構(gòu)通常都比較簡單-

不要怕定義。就當是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心。

考研數(shù)學講座(8)求導熟練過大關(guān)

函數(shù)在一點xO可導，其導數(shù)值也就是函數(shù)圖形在點(xO,f(xO))處的切線斜率。從這個意義出發(fā)，我們有時把函

數(shù)可導說成是“函數(shù)光滑

1典型的不可導

可導一定連續(xù)。函數(shù)的間斷點自然是不可導點。這是平凡的。我們感興趣的是函數(shù)連續(xù)而不可導的點。

最簡單也最實用的反例是絕對值函數(shù)y=Ix|?這是一個分段函數(shù)。還原成分段形式后，在點x=0兩側(cè)分別用定義

計算，易算得右導數(shù)為1,左導數(shù)是一1

進一步的反例是y=IsinxI在點x=0和y=IInxI在點x=1連續(xù)而不可導。

從圖形變化上去看一個連續(xù)函數(shù)取絕對值，那是件非常有趣的事情。

連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點之間不變號。如果恒正，每?個正數(shù)的絕對值就是自己。在這兩個零點間的函數(shù)圖形不變。

如果恒負，每一個負數(shù)的絕對值都是它的相反數(shù)。這兩個零點間的函數(shù)圖形由x軸下面對稱地反射到了x軸上方。

y=sinx在原點的左側(cè)鄰近為負，右側(cè)鄰近為正。它的圖形在原點右側(cè)段不變，將左側(cè)段對稱地反射到上半平面，就是

y=Isinx|的圖形。反射使得圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。

這是否是一個普遍規(guī)律？不是！比如y=x3與y=|x3|在x=0點都可導。

函數(shù)y=x3的圖形叫“立方拋物線”。在點x=0,函數(shù)導數(shù)為0,圖形有水平的切線橫穿而過。(潛臺詞：真有特色啊,

突破了我們原有的切線印念。)要是取絕對值，圖形的原點左側(cè)段對稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新

函數(shù)仍然光滑。這里的關(guān)鍵在于，函數(shù)值為0,導數(shù)值也為0,x=0是立方函數(shù)的重零點。

綜合上述，在f(x)恒為正或恒為負的區(qū)間匕曲線y=|f(x)|和曲線y=f(x)的光滑性是一致的。

只有在f(x)的零點處，才可能出現(xiàn)曲線y=f(x)光滑而曲線y=|f(x)|不光滑的狀況。

數(shù)學三的考卷上有過這樣的4分選擇題。

例31f(x)在點x=a可導，則|f(x)|在x=a不可導若函數(shù)的充分必要條件是

(A)f(a)=0且「(a)=0(B)f(a)=0且f<a)彳0

(C)f(a)>0且「(a)>0(D)f(a)>0且「(a)<0

分析如果沒有思路，首先聯(lián)想y=x與y=|x|即可排除(A)；

俗語說，連續(xù)函數(shù)“一點大于0,則一段大于0"；相應絕對值就是自己。(C)(D)顯然都錯；只有選(B)。

(畫外音：如果用代數(shù)語言，f(x)可導，f(a)=0,而「(a),0,則點a是f(x)的單零點。這道題該算擦邊題。)

2.討論深化

我在講座(2)中舉例，“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”則“連續(xù)C一連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

推理的關(guān)鍵在于，逆運算減法可行。

自然類似有：可導A+不可導B=不可導C。比如y=x+Isinx|在點x=0不可導。

例32函數(shù)f(x)=IsinxI+Icosx|的不可導點是(？)

分析函數(shù)為“和”結(jié)構(gòu)。無論是Isinx|的不可導點或|cosxI的不可導點，都是f的不可導點。即

x=knx=krt+TT/2,k=0,±1,±2,...

更深化的問題是：可導Ax(連續(xù))不可導B,是可導還是不可導？

比如y=xIx|在點0可導嗎？

與“和”的情形相比，積的逆運算不一定可行。當且僅當A加時，才有C/A=B所以

結(jié)論1,若f(x)在點x0可導，且f(x0)聲0,g(x)在點x0連續(xù)不可導，則積函數(shù)尸f(x)g(x)在點x0，?

定不可導。

結(jié)論2(*例33)已知函數(shù)f(x)在點x=a可導，函數(shù)g(x)在點x=a連續(xù)而不可導，試證明

函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點x=a可導的充分必要條件是f(a)=0.

證明先證充分性，設(shè)f(a)=0貝F(a)=0

令h—>0,Fz(a)=lim(F(a+h)—F(a))/h=limf(a+h)g(a+h)/h

=(lim(f(a+h)—f(a))/h)limg(a+h)

=「(a)g(a)

再用反證法證必要性。設(shè)函數(shù)F(x)在點x=a可導而f(a),0.,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)在點x=a的

某鄰域內(nèi)恒