離散數(shù)期末復(fù)習(xí)3

復(fù)習(xí)1中包含了，第1到第5章的內(nèi)容：1：命題、命題邏輯聯(lián)結(jié)詞命題變?cè)?、合式公式重言式、永真蘊(yùn)含、恒等式帶入規(guī)則、替換規(guī)則對(duì)偶原理范式及其判定問題命題演算的推理2：謂詞、個(gè)體、量詞合式謂詞公式自由變?cè)图s束變?cè)辛吭~的等價(jià)式和永真蘊(yùn)含式謂詞邏輯中的推理理論前束范式、斯柯林范式3：集合的概念與表示方法集合的基本運(yùn)算包含與排斥原理多重序元迪卡爾乘積4：多重序元與笛卡爾乘積關(guān)系的基本概念關(guān)系的性質(zhì)關(guān)系的表示關(guān)系的運(yùn)算合成關(guān)系的關(guān)系圖、關(guān)系矩陣特殊關(guān)系：等價(jià)關(guān)系和劃分，相容關(guān)系和覆蓋，偏序關(guān)系和哈斯圖等。5：函數(shù)的基本概念函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的合成、合成函數(shù)的性質(zhì)特殊函數(shù)反函數(shù)、特征函數(shù)基數(shù)二元運(yùn)算１、求下列公式的主范式，并判定公式的屬性。例1.1(pqr)(pqr)(pq)解：上式=(pqr)(pqr)(pq)(rr)=(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)=m7,m3,m1,m0其中表示析取。該公式含三個(gè)變?cè)?，與其等價(jià)的主析取范式四項(xiàng)，所以它是可滿足的。例1.2(p(qr))(p(qr))解：上式＝(p(qr))(p(qr))=(pq)(pr)(pq)(pr)=(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)=M4,M5,M6,M2,M3,M1其中表示合取。該公式是可滿足的。

例1.3剛進(jìn)入大學(xué)的小張與寢室里的其他三人聊天，這三個(gè)人根據(jù)小張的口音分別作出下述判斷：甲說：小張不是蘇州人，是上海人。乙說：小張不是上海人，是蘇州人。丙說：小張既不是上海人，也不是杭州人。小張聽后，笑曰：你們?nèi)擞幸蝗巳f對(duì)了，有一人全說錯(cuò)了，還有一人對(duì)錯(cuò)各半。試用命題邏輯推斷小張究竟是哪里人。解：首先符號(hào)化：設(shè)：Ｐ：小張是蘇州人Ｑ：小張是上海人Ｒ：小張是杭州人根據(jù)題意有：甲：PQ,乙：QP,丙：QR分析小張只可能是其中一個(gè)城市的人或者不是這三個(gè)城市的人。

根據(jù)甲乙丙三人的說話內(nèi)容可以判斷：丙至少說對(duì)了一半，因此甲或乙必有一人全錯(cuò)了。若甲全錯(cuò)了，則有QP即乙全對(duì)了。若乙全錯(cuò)了，則甲全對(duì)。所以丙必是一對(duì)一錯(cuò)。將小張的話符號(hào)化為：((PQ)((QR)(QR)))((QP)((QR)(QR)))?T化簡(jiǎn)得：(PQR)(PQR)小張不可能既是蘇州人又是杭洲人，所以只能是上海人。例1.4甲乙丙?。慈酥袃H有兩個(gè)人代表單位參加了市里的橋牌比賽，關(guān)于誰(shuí)參加比賽，下列４種說法都是正確的：１甲和乙兩人中有一人參加；２若丙參加，則丁必參加；３乙和丁兩人中至多參加一人；４若丁不參加，則甲也不參加。試判斷哪兩個(gè)人參加了比賽。解：符號(hào)化命題如下：設(shè)Ａ：甲參加了比賽；Ｂ：乙參加了比賽Ｃ：丙參加了比賽Ｄ：丁參加了比賽依題意將1,2,3,4分別符號(hào)化為：((AB)(AB))(CD)(BD)(DA)?T

將上式化為主析取范式應(yīng)有24=16個(gè)極小項(xiàng)即m0000,m0001,m0010,m0011,m0100,m0101,m0110,m0111,m1000,m1001,m1010,m1011,m1100,m1101,m1110,m1111根據(jù)題意去掉不合法的得到的結(jié)論是甲和丁參加了比賽。例1.5當(dāng)p，q，r，s四個(gè)人考試成績(jī)出來后，有人問四個(gè)人中誰(shuí)的成績(jī)最好，p說“不是我”，q說“是s”，r說是“q”，s說“不是我”。四個(gè)人的回答只有一個(gè)人符合實(shí)際，問哪一位的成績(jī)最好。若有兩人成績(jī)并列最好，是誰(shuí)？解：令p:p的成績(jī)最好；q：q的成績(jī)最好；r：r的成績(jī)最好；s：s的成績(jī)最好。若只有p回答正確：psqs若只有q回答正確：psqs若只有r回答正確：psqs若只有s回答正確：psqs由于(psqs)(psqs)(psqs)(psqs)=(pqs)(pqs)=(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)若只有一個(gè)人成績(jī)最好，必是pqrs為真，即p成績(jī)最好；若有兩個(gè)人成績(jī)并列最好，可能是p,s或者p,r練習(xí)：利用主范式判斷下式的類型(p→q)(q→r)→((pq)→r)結(jié)果=M4,M6,M2該公式是可滿足的２、仰對(duì)下寒面的半問題間首先莊符號(hào)截化，篩然后訴使用勞８條恐規(guī)則艘進(jìn)行易有效沉推理荒證明鞋。2.搖1每一域個(gè)自產(chǎn)然數(shù)雅不是域奇數(shù)場(chǎng)就是踩偶數(shù)皂，自雜然數(shù)使是偶猜數(shù)當(dāng)投且僅址當(dāng)它凈能被2整除爹，并套不是之所有誓的自志然數(shù)曲都能然被2整除苗。因島此，幕有的福自然怖數(shù)是資奇數(shù)黑。解法1：首怨先定框義如撤下謂弟詞：N(擇x)鼻:x是自考然數(shù)Q(造x)碼:x是奇耗數(shù)E(咱x)征:x是偶辦數(shù)I(眾x)極:x能被2整除于是伍問題丙可用沈符號(hào)巾表述對(duì)為：(?耳x)氧(N(價(jià)x)(Q(金x)?E(勇x)極))筍,(?堡x)漲((N(腫x)E(痰x)起)?I(斧x)謹(jǐn)),(?賊x)償(N(戲x)I(億x)么)，?(?x鑄)(N(啄x)Q(公x)西)推理惜證明牌過程森如下蝕：1(?x妻)(N(纖x)I(異x)同)郵P規(guī)則2(?x肅)(N(冠x)蹤蝶I(肚x)卻)網(wǎng)T規(guī)則昆和13墓N(就a)咸I(擔(dān)a)掀ES規(guī)則航和24悔N(夠a)森T規(guī)則念和35I(晨a)恢T規(guī)則以和36(?糧x)屈(N(券x)(Q(墳x)?E(縮慧x)偽))旅P規(guī)則7粘N(杏a)(Q(匹a)?E(添a)伏)麻US規(guī)則筆和６8每Q(辟a)?E(踩a)T規(guī)則譯３和縣７9(?終x)番((N(通x)E(厭x)軟)?I(腳x)施)稻P規(guī)則10骨(柱N(虹a)E(族a)禍)?I(跪a)US規(guī)則輸和９11(N霸(a藍(lán))E(愛a)汁)色T規(guī)則5和1012N(難a)E(白a)駐T規(guī)則綠和1113E(匯a)驚T規(guī)則4和1214憶Q屆(a攤)父T規(guī)則8和1315周N政(a譯)Q(掘a)魚T規(guī)則4和1416(?x學(xué))(N(塊x)Q(齒x)封)槐EG規(guī)則體和15問題黨得證徹。解法2：采咸用反晚證法退。證爆明過刃程如濤下1(?誦x)籍(N(載x)I(普x)景)P規(guī)則2(?x技)(N(航x)劉I(虛x)毛)兄T規(guī)則委和13達(dá)N(課a)甜I(痛a)通E杏S規(guī)則廈和24曾N(步a)瞧T規(guī)則岔和35I(東a)數(shù)T規(guī)則識(shí)和36(?x習(xí))(N(驗(yàn)x)Q(忘x)悠)都P規(guī)則(假設(shè)鴿前提)7(?廢x)夏(N(麻x)真Q(石x)賠)幻玉T規(guī)則詞和68N(真a)丑Q(處a)遮U就S規(guī)則凡和７9Q(秒a)托T規(guī)則鵝４和810(?個(gè)x)嫂(N(薄x)(Q(借x)?E(襯x)蜓))P規(guī)則11屠N香(a科)(Q(腥a)?E(暴a)瀉)適T規(guī)則須和1012婚Q夾(a憐)?E(呈a)頸T規(guī)則4和1113躺E作(a傅)劈燕T規(guī)則9和1214(?示x)鑄((N(功x)E(駛x)錢)?I(夕x)鞋)P規(guī)則15舅(特N(泥a)E(傾a)攤)?I(壁a)US規(guī)則初和14診16乖N疲(a稠)E(旱a)筍T規(guī)則4和1317壤I齒(a訪)促T規(guī)則15和1618躍I腥(a功)飼I(榆a)濤T規(guī)則5和1719(?x嗽)(N(返x)Q(嶼x)伸)魄F規(guī)則6和18問題胖得證攀．例2.錦2天鵝苗都會(huì)耐飛，至而癩隱蛤蟆印不會(huì)努飛；所以宣癩蛤叔蟆不焰是天測(cè)鵝。解：暫令TE育(x既):段x是天圣鵝l(敲x)榴:x是癩撇蛤蟆F(稍x)伶:x會(huì)飛于是令問題假可符丸號(hào)化絹為：(?英x)莊(TE酷(x沿)F(鳥x)筆),(?裝x)原(l(挑x)F(懼x)急)?(?裙x)鴿(l(潮x)TE啟(x暢))舉.證明補(bǔ)過程蠶如下班：1(?拳x)坊(l(途x)TE驢(x煩))P規(guī)則(假設(shè)灘前提)2(?x燥)(l(遞x)TE怪(x且))T規(guī)則頓和１3l(寒a(chǎn))TE朵(a廳)ES規(guī)則24l(期a)T規(guī)則35TE唉(a捆)T規(guī)則36(?地x)低(T遞E(對(duì)x)F(薯x)說)P規(guī)則7騾T蒙E(狂a)F(觸a)粘U稿S規(guī)則尋和68重F絞(a薯)論T規(guī)則5和79雞(?宣x)文(l北(x零)F(擾x)醋)井P規(guī)則10漸l濤(a壟)F(疤a)疏U悲S規(guī)則統(tǒng)和911俱F(從a)l(鉛a)堤T規(guī)則把和1012l(姥a(bǔ))災(zāi)T規(guī)則8和1113淡l競(jìng)(a惜)鐵l(晶a)暖T規(guī)則4和1214廉(煎?x旨)(襲l(襪x)TE緩(x蔑))F規(guī)則繁１和13問題弱得證膨。例2.斬3所有責(zé)牛都知有角池，有凡些動(dòng)憶物是蔽牛，距所以蔬有些搜動(dòng)物站有角解：折設(shè)Ｎ(x郵):鋸x是牛Ｊ(x征):棒x有角A(宿x)寸:x是動(dòng)睜物于是星問題劣可描替述成軌：(?粱x)吉(Ｎ(x和)→Ｊ(x理))擦,(?x努)(A(扣x)∧Ｎ(x映))?(?錄x)襖(A(策x)∧Ｊ(x婚))證明這：１、(?x粥)(A(占x)∧Ｎ(x渾))P規(guī)則２、A(融a)∧Ｎ(a坑)萄ES規(guī)則痛和１３、A(鑒a)T規(guī)則玩和２４、醫(yī)Ｎ(a嘉)T規(guī)則春和２５、(?蓮x)票(Ｎ(x伶)→Ｊ(x叛))P規(guī)則６、濤Ｎ(a餅)→Ｊ(a球)閘U追S規(guī)則主和５７、慢Ｊ(a導(dǎo))T規(guī)則山４和做６８、A(林a)∧J(雖a)T規(guī)則3和7９、(?軋x)券(A(目x)∧Ｊ(x易))EG規(guī)則污和８求解繡這一庫(kù)類問使題時(shí)困注意域：把衡實(shí)際塊問題制符號(hào)污化時(shí)漂，全艇稱量行詞對(duì)贈(zèng)應(yīng)邏灘輯聯(lián)棉結(jié)詞至“”距，存舞在量謠詞對(duì)膊應(yīng)邏證輯聯(lián)騾結(jié)詞岸“鵝”；餓推論貍時(shí)保填證ES規(guī)則鎮(zhèn)的首招先使拳用。暗使用UG規(guī)則領(lǐng)時(shí)，指由ES規(guī)則址引入妖的客咱體不判能進(jìn)斥行推貸廣，森即不達(dá)能加啄全稱厘量詞如。３、肅關(guān)系諷是笛敬卡爾辜積的方子集弄，因娘此關(guān)光系是吸集合或，是礎(chǔ)以序章偶為暑元素捕的集管合。絹關(guān)系?？梢哉?dòng)藐P(guān)艱系圖燙和關(guān)寄系矩傷陣來叼表示范。關(guān)連系是之集合快，所憂以集漫合上香的運(yùn)雹算可排以平踐移到綁關(guān)系葛上來拒，但水關(guān)系應(yīng)還有昌自己媽獨(dú)特偽的運(yùn)滑算：西求逆砌運(yùn)算梳，復(fù)否合運(yùn)便算(也叫曾關(guān)系家的合僚成運(yùn)晴算)，關(guān)就系的猶閉包積運(yùn)算憶等。設(shè)Ｒ疲為X到Y(jié)的二鮮元關(guān)緩系,S為Y到Z的二越元關(guān)義系：RoS竹={驅(qū)<x散,z恥>|粗(?y貫)<x助,y襪>∈R<牛y,平z>∈S}r(延R)題=R∪Ixs(素R)糞=R∪R顛~t(疲R)瓦=社∪i=蠻1nRi關(guān)系辭的性倚質(zhì)：1)狡R是自鼻反的稱＝(?x吹)(疊x∈X汽<志x,杰x>憶∈R舟)2)R是反遮自反存的＝(?x禮)(談x∈X目<左x,匙x>洪?R鵲)3)R是不上自反榮的(?x斑)(塌?y掠)(罷x,校y∈嘆X宜<x殘,x哭>∈孝R采<y健,y借>?源R)4)池R是對(duì)染稱的析＝(?x脾)(?y陶)(園x,捆y∈X榨極<x適,y暮>∈旅R您<響y,獵x>輛∈R貓)5)扔R是反鄙對(duì)稱表的=(?x說)(?y的)(愛x,徑y(tǒng)∈X抖<苦x,慮y>圓∈R惑斧<y惹,x副>∈膽R矮x=擔(dān)y)6)Ｒ是巴不對(duì)脈稱的=(?x1)(?y1)(?x2)(?y2)(霸x1,y1,x2,y2∈X矮<脖x1,y1>∈侄R至<華y1,x1>∈捆R們<裝x2,y2>∈踐R油<y2,x2>?R)7)貪R是可押傳遞荷的=(?x鐮)(僻?y什)(碌?z煮)(x宣,y根,z∈X絮<反x,慚y>變∈R腫<帽y,頂z>兼∈R樣<食x,躺z>覽∈R療)8)脫R是不塑可傳武遞的=(?x園)(?y偷)(?z況)(x,余y,嫩z∈R<x莊,y帽>∈蝦R乎<y看,z許>∈不R往<x珍,z蝴>?R)3-尋1設(shè)A=卡{1謠,2鮮,3堅(jiān)},旋R是ρ(A逐)上的庫(kù)二元兔關(guān)系脹，且R=仰{<弦a,戀b>距|a真,b∈ρ(A仙),使a∩編b≠Φ},則R不滿煮足下息列哪貫些性排質(zhì)？裂為什捆麼？1)自反蠟性2)反自葬反性3)對(duì)稱乎性4)反對(duì)妨稱性5)傳遞蟻性解：1)因?yàn)棣怠售Eρ(A夏)，但Φ∩Φ＝Φ所以<Φ,Φ>?R，即肺Ｒ不胖滿足秤自反鏟性。2)因?yàn)閧1條}∈ρ(A是)但{1蹈}∩斬{1絹}=陽(yáng){1吵}≠Φ即<{吃1}汪,{菊1}拳>∈R，因篩此Ｒ刷不是鋸反自偵反的稅．3)對(duì)任研意x,捆y∈ρ(A析),若x∩頑y≠Φ,即<x繪,y煮>∈R,則y∩噸x≠Φ即<y鉆,x布>∈R即R滿足候?qū)ΨQ雙性。4)取x=霞{1彩,2讀},倘y=脹{1扇,3眨}顯然x∩辛y=雜{1睡}=候y∩摩x即存胳在x,業(yè)y并且<x劈燕,y療>∈R<y估,x姿>∈R但x≠葵y即Ｒ辛不是狐反對(duì)街稱的啊。5)存在x=猾{1紐奉},形y=彩{1匠,2唱},答z=堂{2惹}并且x,輛y,面z∈ρ(A長(zhǎng))<評(píng)x,宅y>∈R<遞y,伴z>∈R但<x膽,z懼>?R即R不滿額足可鉗傳遞礦性。3-怖2設(shè)S為集茂合A上的題二元熊關(guān)系冊(cè)，證吩明S是自哄反的植，傳采遞的聯(lián)，則So蘇S=斃S。其臥逆為故真嗎君？證明齊：關(guān)感系是丹序偶令為元概素的西集合呀，所瞇以我貌們可亂以把譯證集捆合相涌等的狐方法爛用到劃證關(guān)斥系的頭相等駝上來拴。即魄證So夕S?SS福?So餐S即證閘明了So鏈S=膏S。對(duì)任檢意x,暢y,饑z∈A和<x統(tǒng),z綿>∈So學(xué)S,由復(fù)候合關(guān)惱系的桿定義拾知應(yīng)詢有<x衫,y她>∈S和<y章,z昂>∈S,而S是可爽傳遞膚的，透于是<x鵝,z離>∈S,由x,肅z的任備意性袖知So厭S?S，又Ｓ受是自嚴(yán)反的添和傳刃遞的濤，所扁以對(duì)悄任何<x毫,x半>∈S和<x面,y石>∈S應(yīng)有<x松,y鴿>∈So寶S即S墨?So采S,于是瓦有So桃S=談S。其逆珍不一舌定為舒真，建例如拘設(shè)A=球{1佩,2枯,3匪}S=位{<劍1,撿2>板,<姥2,向2>斬,<輩1,姿1>拍}我們個(gè)做Ｓ志的關(guān)頸系矩習(xí)陣如灶下：1矛2山31孟1搬1寺0Ms=絮2氏0撒1雪030腥0拆0于是MSo燭S=MsMs=請(qǐng)1帖1銀0并1耍1歲00吸1浩00耐1帶00躍0磨00往0街01托1賣0=匯0樹1喜0王=應(yīng)Ms0各0疫0顯然湖Ｓ不按是自燦反的訓(xùn)，主毛對(duì)角屈線不銀全是涌１。例3-餓3設(shè)R是復(fù)封數(shù)集輪合C上的核關(guān)系憶，定升義如客下：R=扛{<單x,惰y>陣|爽x,璃y∈C且x-吸y=膠a+化bi，其簡(jiǎn)中，a,裕b均為岸非負(fù)攔整數(shù)}試確舟定R的性巾質(zhì)，克并說春明原皂因。解:麗(1華)對(duì)于癥任意x∈C，因熟為x-者x=警0+島0i，所鎮(zhèn)以<x姻,x堪>食∈R，因毫此R是自唇反的殃；(2些)由(1略)知,<擇1,另1>飽∈釘R，因春此R不具錢有反責(zé)自反團(tuán)性；(3隸)取x=原3+嬌2i壯,僵y=畏2+斃i，此國(guó)時(shí)x-盛y=撐1+律i，<x飯,y浪>助∈R，但助是y-伴x=總-1他+(栽-1埋)i，<y泥,x右>不屬莊于R，因校此R不是詢對(duì)稱所的；(4作)任取x,撓y∈C，若<x脂,y吹>爛∈R且<y曬,x押>墳∈R，x-盲y=薪a釘+b逝i,孩y嘴-x輪=-枕a+劑(-慶b)撞i，則a,殺b,辨-a棉,-淺b都必指須是程非負(fù)調(diào)整數(shù)磨，于進(jìn)是a=究b=踢0，因擔(dān)而，x=油y。R是反梳對(duì)稱茅的。(5宴)對(duì)于獨(dú)任意避的x,壘y,治z∈C，若<x惡,y溪>里∈R且<y蒼,z沒>名∈R，則x-什y=依a+鍋bi醉(a和b都是蕉非負(fù)飯整數(shù)),娛y既-z連=c酒+d歡i(別c,腥d都是篇非負(fù)謊整數(shù))，于株是x-己z=貴(慈x-殃y)坊+(桃y-認(rèn)z)亦=(牌a+烈c)孟+(色b+負(fù)d)置i，由弊于a+蜓c,鬼b+疲d都是觀非負(fù)表整數(shù)夾，因售此<x損,z短>綢∈R吼.由x,掃y,猛z取值灑的任斜意性伐可知鎮(zhèn)，R是可煙傳遞棉的。故R具有格自反疫性、愉反對(duì)驢稱性烤、可認(rèn)傳遞頁(yè)性。3-定4確定扶三角寫形之蟲間的戶相似喝關(guān)系總具有耍哪些料性質(zhì)偽。解：孟自反蠶性、釣對(duì)稱桂性、榴可傳容遞性稿。3-譯5設(shè)R和S是集安合A＝{a,b,c,d}上的蘇關(guān)系祥，其抗中R＝{<a,a>,組<a,c>,胳<b,c>,鏈<c,d>}混,S＝{<a,b>,西<b,c>,好<b,d>,智<d,d>}雁.計(jì)算R?S,R∪S,R－1,S－1?R－1解法權(quán)１：R?S={<鋼a,繁b>珠,<臘c,帥d>逼}R∪S={<a,a>,心<a,c>,嬸<b,c>,榨<c,d>,呀<a溪,b命>,兆<b準(zhǔn),d史>,溪<d規(guī),d拜>}R－1={岔<a蔑,a而>,融<c仇,a加>,巖<c辯,b慎>,尚<d歉,c餃>}S－1?R－1={盟<b廈,a倘>,脫<d估,c毫>}解法2通過拉矩陣案求a繩b墨c扮da薦1斥0蛋1料0b鍵0霧0葬1御0MR=c峰0已0班0殼1d毫0臟0廣0昏0a房誠(chéng)b嚼c座da林0豬1衣0菌0b苗0雖0穿1撞1Ms=c0康0基0純0d隊(duì)0摧0同0暮1R?S=MRMs=1虧0送1染0兆0堤1廁0箏00隔0豈1帶00扔0木1舌10刃0拖0嬌1鴨0佩0幸0腦00走0窩0炊0業(yè)0婆0然0牲10催1鐘0貞0=0量0盲0錫00辱0鉗0汁10圖0怎0罷0R∪S=MR∨Ms=1紫0助1稿0墳0飼1尸0透00顧0隆1敞0∨0喜0淘1糧10絮0藝0危1衛(wèi)0鼻0氏0葡00路0級(jí)0值0繡0裕0已0貼11碧1并1志0=0合0德1桂100鄰0乏10辨0悄0嗓1R－1=(拐MR)T=1勻0遍0糖00武0尸0府01滲1誓0筐0001爸00添0省0肆01獨(dú)0順0盾0S－1=(蒼MS)T=0算1乒0皺00制1騎0窯1S－1?R－1=MS－1MR－1=0引0游0名0漫1踩0臘0佩01阿0瓣0膠0婦0澡0壓0倘00忍1熔0議01溝1縱0離00冷1營(yíng)0腎10稼0餃1絞00000=1降0成0狗00露0板0備00論0爺1凡03-愉6設(shè)R和S分別輪是集泛合A和集色合B上的色等價(jià)煩關(guān)系藥，令T=女{<痛<x1,y1>,胳<x2,y2>>注|聲<x1,x2>∈趕R智,欺<y1,y2>∈袖S}試證歷明：T是A×劍B上的薦等價(jià)驕關(guān)系衰。證明德：(1戴)任取<x攜,y管>∈咐A×才B，由倡于R和S是等張價(jià)關(guān)賊系，緒因此警，<x駕,x傲>∈霸R,肅<民y,役y>央∈S，于筑是<<蘋x,招y>住,<姻x,歐y>拴>∈聾T，于吹是T是自駝反的飄；(2摘)任取<x1,y1>,爸<x2,y2>∈號(hào)A×主B，若<<悠x1,y1>,呈<x2,y2>>越∈T，則<x1,x2>∈冠R唇,擔(dān)<y1,y2>∈梁S，由銜于R和S都是釘?shù)葍r(jià)仿關(guān)系拔，因?yàn)┐?lt;x2,x1>∈蝕R，<y2,y1>∈翁S，于高是可薄得<<揚(yáng)x2,y2>,丹<x1,y1>>躺∈T。由<x1,y1>,神<x2,y2>的任襯意性臘可知六，T是對(duì)宇稱的兼；(3載)任取<x1,y1>,域<x2,y2>,曾<x3,y3>∈判A×摩B，若<<頭x1,y1>,乏<x2,y2>>滑∈T且<<右x2,y2>,陳<x3,y3>>鈔∈T，則<x1,x2>∈尼R斥,盟<y1,y2>∈筆S，<x2,x3>∈塔R辭,袋<y2,y3>∈塘S。由莖于R和S是可暑傳遞仙的，關(guān)因此<x1,x3>∈科R徐,溪<y1,y3>∈狂S。于融是可乓得<<歉x1,y1>,何<x3,y3>>齊∈T。由<x1,y1>,賢<x2,y2>,缺<x3,y3>的任匠意性兵可知對(duì)，T是可宗傳遞雕得。綜上衡所述筋，T是A×常B上的彎等價(jià)滿關(guān)系壘。3-撿7設(shè)A=弓{a終,b鞏,c遮,d扔}，R=崗{<毯a,峽c>湯,<財(cái)c,叛a(bǔ)>墓,<并b,倡d>樣,<弱d,行b>襲}∪善IA，(1挽)驗(yàn)證R是A上的湯等價(jià)鴿關(guān)系致；(2資)求出匠商集A/禮R。解：(1脈)由于IA∈R，因芬此任計(jì)取x∈武A，<x筒,x刻>∈輝R，R是自僻反的啦；由裂于R=賠RT，因丟此R是對(duì)萄稱的才；由喬于<a歐,c橡>∈瀉R,毒<巷c,染a>赤∈R敗,<萄a(bǔ),爸a>屆∈R脊,濤<c菊,c咳>∈旬R;序<券b,請(qǐng)d>隨∈R備,托<d驕,b躺>∈爺R,滑<嚇b,裝b>朵∈R歸,<尼d,涂d>曠∈R，因參此R是可言傳遞錫的。長(zhǎng)因此R是A上的飯等價(jià)彩關(guān)系改。(2劉)由于[a蠶]R={拌a,逆c}穴=[漆c]R,油[b壘]R={腔b,斜d}呀=[芝d]R,因此A/跟R=類{[春a]R,[機(jī)b]R}=否{{糊a,責(zé)c}獎(jiǎng),{準(zhǔn)b,姨d}鳳}。3-糊8設(shè)R是偏蜜序關(guān)感系，冠指出條下列大運(yùn)算暑后的花關(guān)系焦是否能是偏倘序關(guān)瞎系。R∪S,完R∩S,閘R遣-S痕,療R⊕S,勸R?S解：(1浴)取A=凈{a紗,b慈},糞R惹={凍<a雞,a活>,掃<b臺(tái),b箱>,顯<a煤,b斃>}牲,系S=洞{<奧a,旨a>軟,<淺b,庸b>陰,<忍b,經(jīng)a>柿}，則R和S都是A上的鳴偏序退關(guān)系沾，而R∪S=穩(wěn){<業(yè)a,艱a>荒,<杯b,異b>鑰,<信a,環(huán)b>寧,冊(cè)<b挖,a磨>}不是彈反對(duì)或稱的乞，R∪S不是A上的劈燕偏序堂關(guān)系澡。(2午)任取x租∈A容,由R和S是偏忠序關(guān)革系，幣知<x者,x魯>慰∈R疏,<附x,步x>煤∈潤(rùn)S,因此<x關(guān),x塊>叫∈肚R∩S,賠R∩S是自通反的捎；任琴取x,拘y踐∈A沸,若<x守,y色>∈外R∩S,且<y籮,x顏>趴∈窗R∩S，則<x罰,y老>襲∈轉(zhuǎn)R,嬸<壯x,雷y>斗∈輔S屆,<藍(lán)y,徒x>聞∈袋R僵,浪<y槳,x務(wù)>墓∈部S，因計(jì)為R和S都是存反對(duì)劣稱的呈，因盒此x=拿y，于坦是R∩S是反趙對(duì)稱部的；(2圣)（續(xù)材）任用取x,恩y,者z短∈A聰,若<x犬,y看>∈測(cè)R∩S,且<y壓,z鉆>泡∈掃R∩S，則<x賣,y卸>住∈策R,捷<由x,幕y>條∈食S把,<倚y,方z>圣∈叉R憂,伶<y水,z蹄>霧∈輛S，因嶄為R和S都是條可傳針遞的拍，因黎此<x犧,z妙>筒∈探R,求<x堵,z梨>每∈杰S，于訪是<x殲,z愚>薯∈倚R∩S,蠻R∩S是可慕傳遞止的?；杈C上凝所述惡，R∩S是A上的貍偏序除關(guān)系仍。(3則)例子演同(1拜)，R-夸S=奇{<介a,澡b>改}，不敵具有確自反我性，暑因此R-趟S不是A上的甲偏序偽關(guān)系約。(4龍)例子隙同(1雨)，R⊕S=既{<退a,透b>取,<格b,現(xiàn)a>萄}，不劣具有婆自反板性和宮反對(duì)閃稱性賓，因骨此R⊕S不是A上的燥偏序垮關(guān)系蕩。(5它)取A=插{a自,b媽,c鐘},圓R跌={唇<a棋,b疼>,客<a星,c透>}∪IA,S駁={疤<求b,羞a>炕,史<b贏,c說>}∪IA,則R和S都是A上的非偏序詞關(guān)系攝，而R?S=伏{<圓a,逗b>擦,<影a,飄c>沾,<狹b,犧a>壓,<仔b,簽c>爺}，不忽具有太反對(duì)筍稱性論，因菌此R?S不是A上的樸偏序旗關(guān)系好。3-揭9設(shè)有揚(yáng)函數(shù)f:短I刻→I厘(I表示碑整數(shù)艷集)，定廈義為f(肉x)咱=|貫x|榮-2奪x，試鵲問f是否片為內(nèi)脊射(即單鼓射)，滿楚射或懲雙射決？解：托根據(jù)f的定巷義當(dāng)x=膚0時(shí)，f(動(dòng)0)繪=0趕-0億=0當(dāng)x>殲0時(shí)，f(底x)漢=x懷-2僅x=塘-x嗽(泡<0擴(kuò))當(dāng)x<才0時(shí)，f(糠x)屠=-興x-迷2x寒=-揪3x廊(謝>0抽)因此重，有弊如下險(xiǎn)對(duì)應(yīng)天關(guān)系心：x:歌……興-姑3耗-揮2騙-1線0史1皇2醬…冷…f(撲x)炎:灰…劇…孟9去6固3它0朵-爹1咸-腿2蟲……可知f是內(nèi)轉(zhuǎn)射，并不是貌滿射嫂，不鹿是雙洪射。3-庫(kù)10設(shè)有奔函數(shù)g:研A敵→B駱,侵h:繁A臂→B，函音數(shù)f:慎B來→C，已纏知f?逐g=獨(dú)f?自h，且f是單皺射，務(wù)試證蠟明g粥=摟h。證明蹤蝶：任沖取x∈宣A，令g(夢(mèng)x)良=b1,歲h(皮x)蜻=b2，則f?錦g=蘋f(次b1),渠f演?h瓦=f推(b2)。由f?宏g=筐f?爪h可知待，f(斤b1)=由f(柜b2)。因?yàn)閒是單撈射，害因此b1=b2，即g(桿x)河=h寇(x顧)。由x取值夫的任塔意性振可知耐，g域=終h3-炕11設(shè)有宮函數(shù)f:賭A佩→B和g:割B蛾→C，使畫得g?帖f是一茫個(gè)單噸射，陪且f是滿乎射。改證明g是一兩個(gè)單烏射。原舉出遙一個(gè)歲例子數(shù)說明皆，若f不是沃滿射茶，則g不一半定是極單射壘。證明傭：任俊取b1菊,b疑2∈果B，并露設(shè)b1安≠b能2，因街為f是滿坐射，酷因此狐一定栽存在a1胖,a山2∈向A，使志得f(桑a1態(tài))=每b1嗽,逮f(智a2拆)=境b2。由涌于b1貞≠b乖2，由格函數(shù)吼的定果義知a1季≠a捕2。又因臺(tái)為g是由B到C的函拐數(shù)，爬所以造一定膠有c1瞞,c佳2∈健C，使局得g(諷b1森)=拿c1夾,礦g(慶b2男)=膀c2。于是郵，g?牌f(尤a1墊)=獅g(棍b1肢)=狂c1乳,調(diào)g?西f(薪a2蛋)=床g(仔b2豆)=獲c2。因非為g?綱f是單日射，費(fèi)且a1泰≠a速2，因半此c1的≠c螞2，也否就是g(禍b1劍)≠勇g(么b2菜)。由b1稼,b員2取值斜的任法意性賓知，g是單維射。舉例揉如下奴：當(dāng)f不是糖滿射砌時(shí)，g不一川定是柄單射怪。3-否12設(shè)A＝{a緩,b盼,c液,d曲,e四}，回頃答下搏列問嘆題，謀并說秀明理捧由：1)個(gè)A上共霧有多層少種宏二元喬關(guān)系君？2)上述抽二元糠關(guān)系飾中有杰多少害個(gè)是撈等價(jià)頸關(guān)系退？解1)動(dòng)A上的揉二元驗(yàn)關(guān)系慨是Ax午A的子掌集，證而Ax粱A的基甩數(shù)＝25，所譯以Ａ國(guó)上有225種不斥同的斧二元睛關(guān)系地。解2)等價(jià)態(tài)關(guān)系震和劃薪分相領(lǐng)對(duì)應(yīng)應(yīng)，對(duì)債于Ａ喪的劃來分有挨下面孤幾種材情形賊：(1仙)分成母５塊池的一蘆種，禁每塊攤只含憑一個(gè)肅元素(2渡)分成界４塊陪，其螞中一純塊含斧有２啞個(gè)元拍素，左另3塊均菌含有備１個(gè)蠟元素垃有：C52=1庭0種(3喊)分成3塊，舉其中2塊含憲有2個(gè)元炕素,另一仿塊含丟有1個(gè)元雕素有(1圣/2覺)C51C42=1倉(cāng)5種分成3塊，卸其中1塊含蘿有3個(gè)元堆素，惰另2塊含溪有1個(gè)元棉素，惰共有C53=1稍0種(4逮)分成2塊，濃其中1塊含蚊有3個(gè)元煌素，我另一附塊含在有2個(gè)元墊素，魔共有C53=1漸0種分成2塊，脈其中1塊含皂有4個(gè)元圖素，繞另一站塊含身有１坡個(gè)元更素，喊共有C51=5種(5趣)分成1塊，呆共有古１種府。綜晃上,A上的繩等價(jià)賠關(guān)系禾共有分：1+跨10慣+1拒5+魚10閱+1服0+籮5+畢1=疾52種3-窮13設(shè)A為含桶有n個(gè)元籃素的耽集合岸，則A上有皇多少掀個(gè)不雅同的愁等價(jià)腎關(guān)系攏？其想中秩戰(zhàn)為2的劃遙分有篇多少帽種？解：A上有丘多少騰種劃固分就司有多被少種微等價(jià)康關(guān)系育，這減個(gè)劃限分的濾數(shù)叫Be蜜ll數(shù)。Be邀ll數(shù)沒唇有通項(xiàng)贊公式，但隔有一悲個(gè)遞推青公式：B(扭n+伏1)盟=C寒(0通,n學(xué))B手(0堂)+樣C(做1,毅n)燙B(減1)臣+.鄙..姻+C北(n孝,n淺)B恥(n)