【教學】《兩角和與差的三角函數(shù)公式》教學()

二倍角的三角函數(shù)公式第1課時導(dǎo)入新課問題1

這三個式子：sin2α＝2sinα，cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα，是否成立？不成立．需要研究α的三角函數(shù)值與2α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系．新知探究問題2

在公式Cα＋β，Sα＋β和Tα＋β中，若α＝β，公式還成立嗎？若成立，你能推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式嗎？成立，sin2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos（α＋α）＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan（α＋α）＝

．

新知探究問題3

二倍角公式中，角α的取值范圍分別是什么？正弦、余弦二倍角公式中α∈R，

正切二倍角公式中α≠kπ＋

且α≠．

新知探究問題4

能應(yīng)用tanα表示sin2α，cos2α嗎？sin2α＝2sinαcosα＝

cos2α＝cos2α－sin2α＝

新知探究問題5

已知角α是第二象限角，cosα＝

，如何求sin2α，cos2α和tan2α的值？

由角α是第二象限角且

，得新知探究★使用說明：本資源為《倍角公式》的知識解析，通過知識梳理、探究思考等環(huán)節(jié)幫助學生體會知識的形成過程，并會簡單應(yīng)用．注：此圖片為“微課”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．★資源名稱：【知識點解析】倍角公式．新知探究問題6

余弦的二倍角公式有哪些變形？正弦公式呢？因為sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以變形為：cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1，或cos2α＝

，sin2α＝

，

2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α．

例1

在△ABC中，已知AB＝AC＝2BC，求角A的正弦值．初步應(yīng)用ABDCθ解析：因為AB＝AC＝2BC，BC＝2BD，

所以

故sin∠BAC＝2sin∠BAD·cos∠BAD＝

方法總結(jié)：畫出圖形根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求解．例2

要把半徑為R的半圓形木料截成矩形，應(yīng)怎樣截取，才能使矩形面積最大？初步應(yīng)用解析：因為AB＝OAsinα＝Rsinα，OB＝OAcosα＝Rcosα，所以S矩形＝Rsinα×2Rcosα＝2R2sinαcosα＝R2sin2α，

方法總結(jié)：求最值的問題常轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有界性求解．αROBA例3

化簡：初步應(yīng)用（1）

（2）

解析：（1）原式＝

例3

化簡：初步應(yīng)用（1）

（2）

解析：（2）原式＝

初步應(yīng)用（1）公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn)．主要形式：2sinαcosα＝sin2α，cos2α－sin2α＝cos2α，（2）公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時融會貫通，有目的的活用公式．sinαcosα＝sin2α，

cosα＝

，

＝tan2α．

方法總結(jié)歸納小結(jié)問題7

回歸本節(jié)的學習，你有什么收獲？可以從以下幾個問題歸納．（1）含有三角函數(shù)的平方的式子如何進行處理？（2）如何對“二倍角”進行廣義的理解？（3）二倍角的余弦公式的應(yīng)用形式有哪些？（1）一般要用降冪公式：（2）對于二倍角應(yīng)該有廣義上的理解，6α是3α的二倍；如：8α是4α的二倍；cos2α＝

，sin2α＝

．

4α是2α的二倍；3α是

的二倍；

是

的二倍；

是

的二倍；

（n∈N?）．

歸納小結(jié)問題7

回歸本節(jié)的學習，你有什么收獲？可以從以下幾個問題歸納．（1）含有三角函數(shù)的平方的式子如何進行處理？（2）如何對“二倍角”進行廣義的理解？（3）二倍角的余弦公式的應(yīng)用形式有哪些？（3）在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應(yīng)用廣泛．二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝

；

③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝

．

作業(yè)布置作業(yè)：教科書第157頁，A組第1，2，3，4，9題，B組第1，2，3，6題．1目標檢測B的值等于（）A．C．D．B．

解析：

2目標檢測D已知sin2α＝

，則

＝（）A．C．D．B．

解析：

3目標檢測函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析：f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋

，

4目標檢測如圖，在平面直角坐標系中，角α，β的始邊都為x軸正半軸，終邊分別與圓O交于A，B兩點，若α∈

，β＝

，且點A的坐標為A(－2，m)．

（1）若tan2α＝

，求實數(shù)m的值；

（2）若tan∠AOB＝

，求cos2α的值．

解析：（1）由題意可得

tan2α＝

故tanα＝

或tanα＝2．

∵α∈

，∴

即

，故m＝1．

目標檢測

4如圖，在平面直角坐標系中，角α，β的始邊都為x軸正半軸，終邊分別與圓O交于A，B兩點，若α∈

，β＝

，且點A的坐標為A(－2，m)．

（2）若tan∠AOB＝

，求cos2α的值．

目標檢測4