2021屆北京市朝陽區(qū)高三上學期期中考試質量檢測數(shù)學試題

北京市朝陽區(qū)2020~2021學年度第一學期期中質量檢測高三數(shù)學試卷2020.11(考試時間120分鐘滿分150分)本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共40分)一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分?在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B2.已知則sin2x=（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C4.如圖，在△ABC中，D是BC的中點.若則（）A. B. C. D.【答案】C5.“l(fā)na>lnb”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A6.已知函數(shù)的圖象與直線y=1的相鄰兩個交點間的距離等于π，則f(x)的圖象的一條對稱軸是（）A. B. C. D.【答案】D7.在△ABC中，AB=4，AC=3，且則（）A.-12 B.-9 C.9 D.12【答案】B8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x∈(∞，0]時，則（）A. B.1 C. D.【答案】B9.已知函數(shù)若存在實數(shù)m，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[-1，+∞) B.(-∞，-1]∪[3，+∞) C.[-1，3] D.(-∞，3]【答案】C10.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為且是f(x)的導函數(shù).若對任意都有則滿足的θ的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D第二部分(非選擇題共110分)二?填空題共5小題，每小題5分，共25分11.已知向量，，若，則實數(shù)________.【答案】612.已知，則的最小值為________，此時x的值為________.【答案】(1).(2).13.在一個房間使用某種消毒劑后，該消毒劑中的某種藥物含量y(mg/m3)隨時間t(h)變化的規(guī)律可表示為如圖所示，則a=_____;實驗表明，當房間中該藥物含量不超過0.75mg/m3時對人體無害，為了不使人體受到該藥物傷害，則使用該消毒劑對這個房間進行消毒后至少經過________小時方可進入.【答案】(1).(2).14.設是公差為d的等差數(shù)列，為其前n項和.能說明“若d>0，則數(shù)列為遞增數(shù)列”是假命題的一組和的值為________.【答案】（滿足均可）15.公元前2世紀的古希臘天文學家和數(shù)學家希帕科斯是三角學的創(chuàng)立者之一，他因天文觀測的需要編制了有關三角比率的表格.后人推測希帕科斯在編制表格的過程中本質上使用了公式如圖是希帕科斯推導此公式時使用的幾何圖形，已知點B在以線段AC為直徑的圓O上，D為弧BC的中點，點E在線段AC上且AE=AB，點F為EC的中點.設OA=給出下列四個結論:①②AB=2rsinα;③CF=r(1-cosα);④其中，正確結論的序號是________.【答案】①③④三?解答題共6小題，共85分?解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程?16.已知函數(shù)（1）求及f(x)的最小正周期;（2）若求f(x)的值域.【答案】（1），最小正周期是；（2）．（1），∴，最小正周期為；（2）時，，，∴．值域為．【點睛】本題考查兩角差的正弦公式，考查正弦型三角函數(shù)的周期，值域，掌握正弦函數(shù)的性質是解題關鍵．解題方法是利用兩角和與差的正弦（余弦）公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式．17.已知是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇兩個作為已知.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）求數(shù)列的前n項和.條件①:；條件②:；條件③:【答案】選擇條件①和條件②：（1）設等差數(shù)列的公差為，，則，；（2）設等比數(shù)列的公比為，，，解得，設數(shù)列的前n項和為，.選擇條件①和條件③：（1）設等差數(shù)列的公差為，，則，；（2），設等比數(shù)列的公比為，，，解得，設數(shù)列的前n項和為，.選擇條件②和條件③：（1）設等比數(shù)列的公比為，，，解得，，設等差數(shù)列的公差為，，又，故，；（2）設數(shù)列的前n項和為，由（1）可知.18.在△ABC中，AB=2，AC=3.（1）若B=60°，(i)求BC;(ii)設D是邊BC上一點，且∠ADC=120°，求;（2）若AE是△ABC的內角平分線，求AE的取值范圍.【答案】（1）(i)；(ii)；（2）．（1）(i)由余弦定理得，解得（舍去）；(ii)∠ADC=120°，則，又，∴是等邊三角形，，∴，在中，，∴．（2）∵是角平分線，∴，設，則，由得．由余弦定理得，，又，∴，，∵．∴，∴．19.已知函數(shù)f(x)=x+alnx(a∈R).（1）當時，求函數(shù)f(x)的極值;（2）若不等式對任意x>0恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）極小值為1，無極大值；（2）（1）函數(shù)的定義域為，當時，.由，得.所以，在上單調遞減，上單調遞增，所以，函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）取,求導得，，所以，在上有，單調遞增；在上有，單調遞減；則，所以，在上，有，所以，當上時，，對，恒成立，即對，恒成立，由于,故，所以，對，恒成立，令，即，，則，令，則，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，即在上有，于是，在上單調遞增，在上單調遞減，，于是可得，所以，的取值范圍是20.已知函數(shù)b∈R).（1）當時，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間內的單調性;（2）已知曲線在點處的切線方程為(i)求f(x)的解析式;(ii)判斷方程1在區(qū)間(0，2π]上解的個數(shù)，并說明理由.【答案】（1）單調遞減函數(shù)；（2）(i)；(ii)3個，理由見解析.（1）當時，求得，進而得到，即可求得函數(shù)的單調性；（2）(i)求得函數(shù)的導數(shù)，求得，得到，求得的值，進而求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；(ii)令，求得，分，和三種情況討論，結合導數(shù)求得函數(shù)的單調性與極值，即可求解.【詳解】（1）當時，，可得，因為，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上為單調遞減函數(shù).（2）(i)由函數(shù)，可得，則因為函數(shù)在點處的切線方程為，所以，解得，當，代入切線方程，可得，所以函數(shù)的解析式為.(ii)令，則，①當時，可得，單調遞減，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；②當時，，可得恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點；③當時，令，可得，所以在區(qū)間單調遞增，，所以存在，使得在上單調遞增，在單調遞減，又由，所以函數(shù)在上有兩個零點，綜上可得，方程在上有3個解.21.已知數(shù)列是無窮數(shù)列，其前n項和為若對任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)，()使得，則稱數(shù)列是“S數(shù)列".（1）若判斷數(shù)列是否是“S數(shù)列”，并說明理由;（2）設無窮數(shù)列的前n項和且，證明數(shù)列不是“S數(shù)列";（3）證明:對任意的無窮等差數(shù)列，存在兩個“S數(shù)列"和，使得成立.【答案】（1）是“S數(shù)列"；理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解.（1）因為顯然是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以其前項和為，則對任意正整數(shù)，都有當時，，即存在，使得；當正整數(shù)時，取，，則，都是正整數(shù)，且，則；綜上對任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)，()使得，所以數(shù)列是“S數(shù)列"；（2）由且可知，當時，有，當時，；若數(shù)列是“S數(shù)列"，則對任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)，()使得，即對任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)，()使得，當時，對于任意的正整數(shù)，都有為奇數(shù)；而對于任意的正整數(shù)，()，都有和為偶數(shù)，即為偶數(shù)；因此；所以數(shù)列不